“TA THẤY” – TỪ TOÁN HỌC ĐẾN ĐỜI THƯỜNG HỌC SINH
Một chút suy nghĩ về toán học của cậu học sinh năm cuối phổ thông
“Ồ lại gì nữa đây hỡi chàng trai của tôi! Lại một công trình toán học mới lạ mang đến cho mọi người à? Vậy hãy trình bày một cách dễ hiểu cho mọi người như cách Albert Einstein dặn mày nhé..........”
Một công trình toán học về một lĩnh vực nào đấy gắn với thực tiễn mang đến vẻ đẹp cuộc sống cho mọi người ư? Tôi thở dài mà cắn bút suy nghĩ. Khi tôi đang nghĩ đến liệu mình có thể trình bày gì về toán học cho nhà nhện, cũng như sắp tới có một bài thuyết trình tiết toán cho lớp. Chợt nhận ra một công trình mà tôi đã dở dang vứt nó đi. Mà khi ngẫm về, đặt vị trí bản thân vào cách nhìn của bạn bè xung quanh. Cho rằng bản thân mình thuyết trình hay, hấp dẫn đi (thật ra tùy môn mới có thể). Về mặt kiến thức sau mỗi bài giảng trình bày, tôi lại tự hỏi với bản thân rằng:“Các bạn ấy thấy gì về bài giảng của mình nhỉ?”. Và rồi cũng quy về góc nhìn trực diện thật thà của bạn thân “tôi thấy......”
Hai từ “tôi thấy” bắt đầu từ cái thời chập chững làm quen với toán nâng cao khi học lớp bốn. Tôi nhớ, gần như bài giải nào cũng bắt đầu bằng hai từ “ta thấy”. Chính những “ta thấy” ấy đã cuốn hút tôi, làm tôi mê với toán.
Tôi nhớ có một bài toán hồi lớp năm, thầy đưa ra cơ bản như thế này:
“Tính tổng tất cả các sô nguyên từ 1 đến 100”
Tôi tự đắc đặt bút xuống làm bài. Cũng dễ hiểu cho tôi lúc lớp 5 khi nghĩ đến bài toán yêu cầu tính tổng từ một đến một trăm cũng giống tính tổng số viên kẹo mà bạn A, bạn B cho tôi vậy. Nhưng cũng phải ba, bốn phút gì đấy mới cho ra được đáp án vì khi tính, các dãy cũng khá dài. Thầy thấy tôi hơi tự đắc sớm nên cho thêm một bài như vậy, nhưng chỉ khác lần này thay vì từ một đến một trăm thì lại là từ một đến mười ngàn. Tôi lại thấy hơi nhức nhức cái răng tự nhủ:
“Sao mà được tặng kẹo nhiều đến vậy”
Tôi vẫn bắt tay vào làm phương pháp như cũ, nhưng cũng bắt đầu dần nhụt chí vì số khi cộng lại ngày càng dày đặc hơn. Thế là tôi đến chỗ thầy và nêu khúc mắc của mình. Thầy chỉ cười, giảng cho tôi về hướng giải quyết đỉnh cao hơn thông thường tôi nghĩ. Thầy ghi trên bảng lại đề bài, sau đó sắp xếp chúng lại như hình dưới đây:
Thầy chỉ tôi như sau:
“Ta thấy 100 số nguyên có thể được sắp xếp thành 50 cặp. Mỗi cặp tổng là 101 và có 50 cặp như vậy, vì thể tổng sẽ là 101. 50 = 5050”
Chỉ với một “ta thấy” đó thôi, xua tan đi cái đinh ninh trong trí óc của cậu bé rằng phải làm như thế, phải cộng một trăm số trên lại chứ sao nữa, đề bài yêu cầu thế mà! Ấy vậy mà lại có những cách giải chẳng hề làm như thế. Từ cái “ta thấy” đã tạo ra một cách độc đáo để tạo nên một bài toán thú vị, hấp dẫn. Cái “ta thấy” mở ra một cái mới về cái “tôi thấy” được những ý tưởng tinh tế, ý vị. Những suy nghĩ sáng tạo mới mẻ mà lại cũng thật là gần gủi giản đơn.
Lên lớp bảy, tình cờ một ngày tôi được các bạn trong lớp rủ xem một bài toán rất hay (lấy từ một tạp chí nổi tiếng mãi về sau lớp cấp ba tôi mới biết đến) mà thầy gửi, có kèm theo đáp án để khi bí có thể lật ra phân tích. Thầy còn chú thích thêm ở dưới đề rằng: “Một bài toán đã mang lại giải đặc biệt cho thầy Lê Bá Khánh Trình trong kì thi Olymic Toán học Quốc tế (IMO) năm 1979”. Bài toán như sau:
“Trong mặt phẳng, cho hai đường tròn tâm O1 và O2 cắt nhau tại A và B. Hai điểm M1, M2 đồng thời di chuyển từ A với tốc độ không đổi, mỗi điểm theo một đường tròn và cùng hướng. Hai điểm trở lại A cùng một lúc (tức là sau một vòng). Chứng minh rằng tồn tại một điểm P cố định trong mặt phẳng sao cho hai điểm chuyển động M1, M2 luôn cách đều P”
Vì chỉ là bài toán hình học phẳng nên cả đám hào hứng bắt tay vào chứng minh. Nhưng cái khó của bài toán là M1, M2 chuyển động, mà cả đám thì lại chỉ quen làm các bài toán với các điểm cố định. Tất nhiên, lớp cấp hai đã có những bài quỹ tích, nhưng trước khi những điểm đó chuyển động ( theo quỹ tích), thì chúng đứng yên. Thế là sau khi bí bách gần một tiếng, ai ai cũng chịu thua, đánh thống nhất phải lật ra xem lời giải trong đề có đính kèm. Trầm tư xem lời giải, một lần nữa: Ta thấy(!!), hai điểm M1, M2 chuyển động cùng hướng với cùng một vận tốc góc, nghĩa là hai góc AO1M1 và góc AO2M2 luôn bằng nhau (Xem hình vẽ)
Chỉ một từ “ta thấy” của Lê Bá Khánh Trình, bài toán IMO đã trở thành bài toán cấp hai, không quá khó. Cả lũ ngồi làm lại trên bảng và phân tích cho nhau nghe. Lúc đấy tôi chỉ ước giá như mình cũng nhìn thấy được như thầy Trình.
Cấp ba, trong khi lũ bạn đều học trường chuyên thì tôi chỉ học trường thường. Đó là những ngày tháng chu du mệt mõi đi tìm lại cái “ta thấy”, cái niềm cảm hứng ấy. Một hôm, tôi bắt gặp được một bài toán khi đang rảnh hơi trên mạng giải trí:
“Sáu giờ sáng, một nhà sư khởi hành từ chùa trên núi xuống một chùa khác dưới núi. Sáu giờ sáng hôm sau, ông lại khởi hành ngược trở lại. Trên đường đi,tại một điểm, ông ngạc nhiên nhận ra là ngày hôm qua mình cũng tới đây vào đúng thời điểm này. Chứng minh rằng, không phụ thuộc vào tốc độ đi nhanh chậm của nhà sư ở mỗi chiều đi về, luôn luôn tồn tại một điểm như vậy trên đường đi”
Bài toán thật ngộ nghĩnh, cảm giác lời giải chỉ quanh quẩn đâu đây, nhưng rồi loay một hồi vẫn không tìm ra manh mối nào cả, đành đi tìm câu trả lời ở khắp nơi trên trên google. Và tìm được lời giải ở diễn đàn toán học – VMF. Và đây là cái mà tôi chờ đợi: Giả sử, vào sáu giờ sáng cái ngày hôm đấy, có một nhà sư thứ hai, giống hệt nhà sư ban đầu, khởi hành từ chùa trên núi xuống chùa dưới núi theo một lộ trình giống hệt lộ trình mà nhà sư ban đầu đã đi vào hôm trước. Sau cái giả sử này thì chẳng còn bài toán nào cả, chỉ còn lại một logic đời thường, hai nhà sư (giống hệt nhau) chắc chắn phải gặp nhau. Giả sử không phải là “ta thấy”, giả sử còn trên cả “ta thấy”!
Giai đoạn cuối học kì hai lớp mười. Trong chương trình mới của bộ có quyển sách chuyên đề giảng dạy về chủ đề “ba đường conic”. Cô có giảng cho lớp tôi về cách nhà toán học Pháp B.Pascal chứng minh thiết diện của một mặt phẳng nghiêng với một hình trụ là hình elip. Giả thiết này đã có từ lâu, ta đơn giản chỉ cần nghiêng cốc nước sẽ thấy mặt nước bên trong cốc có hình elip, nhưng trước ông thì chưa có ai chứng minh đều này bằng các lập luận toán học chặt chẽ, chính xác. Và cách ông chứng minh qua lời kể của cô thật không tưởng (xem hình bên dưới):
Từ hai đầu hình trụ, ta cho hai quả cầu lọt vừa khít vào trong hình trụ (đường kính của quả cầu bằng đường kính của hai đáy vũ trụ); tiếp tục đẩy chúng vào cho đến khi chạm với mặt phẳng (được biểu diễn bằng đường cong khép kín qua M, N) và chúng tiếp xúc với mặt phẳng tại hai điểm C1, C2 nằm trên đoạn thẳng MN. Ta nhận thấy (lại “ta thấy”!!!), thiết diện của mặt phẳng với hình trụ là hình elip với hai tiêu điểm C1, C2 và trục lớn MN. Thật vậy, tổng khoảng cách từ một điểm bất kì trên thiết diện đến C1 và C2 cũng bằng tổng khoảng cách từ M (hoặc N) đến C1 và C2 và bằng A1, A2 (hoặc B1B2).
Tôi ghi chép và ngẫm nghĩ một thời gian về cách chứng mình Pascal đưa ra. Không hiểu Pascal đã thấy gì khi dùng hai quả cầu để trợ giúp mình. Phải chăng cái răng đau đã tặng cho ông ý tưởng độc đáo này, vì khi tôi tra cứu tìm hiểu tiếp bài toán có kể lại, trong một ngày bị cơn đau răng hành hạ, Pascal đã lấy giả thuyết này ra để chứng minh!
Những “ta thấy” tuyệt đẹp như vậy luôn là mơ ước của tôi, nhưng nó luôn quá ít so với rất nhiều bài tập đã giải, rất nhiều định lý đã học. Vậy câu hỏi là:
“Tại sao ta không thấy, những người khác thấy như thế nào, phải tìm những cái “ta thấy” cho riêng mình, những “tôi thấy, ở đâu?”
Quay trở lại với bài toán tình tổng lớp năm của tôi. Bài toán ngỡ khó khăn giông dài mà lời giải lại ngắn gọn, súc tích lạ kì. Nó làm chúng ta quên mất những điều đơn giản nhất. Người ta thường nói nhiều đến niềm vui khi học toán, tuy nhiên không nhất thiết bạn phải phát minh ra những ý tưởng độc đáo, chỉ cần cảm nhận được một cách sâu sắc, chỉ cần thấy tâm trí như sáng bừng lên khi hiểu được một ý tưởng thú vị…Nhưng thường thì chúng ta vẫn sẽ bị lôi vào cái bẫy dành cho sẵn cho mình, đi theo con đường phức tạp để giải bài toán.
Với bài toán IMO năm 1979, không một thí sinh nào khác nhìn thấy cái “ta thấy” của Lê Bá Khánh Trình. Phải chăng thói quen phải giải những bài toán phức tạp, cũng như áp lực phải tải một lượng lớn kiến thức cần thiết cho các kì thi đã không cho họ cái nhìn “đơn giản”. Đến chính người ra đề còn không thấy! Tôi nhớ các bạn hồi đấy có kể, chỉ là kể thôi, bài toán này xuất phát từ một bài toán hình học không gian. Phải chăng vì vậy mà người ra đề vẫn tư duy theo lối cũ và không thấy hai điểm chuyển động với cùng một vận tốc góc, một phát hiện dẫn đến lời giải độc đáo cho bài toán.
Về bài toán “nhà sư”. Khi đã đọc lời giải bài toán, ta có cảm giác nó quá đơn giản! Nhưng thực sự không hề như vậy. Mối liên hệ giữa hai sự việc (đi và về) là quá rời rạc, đành rằng chúng diễn ra trong cùng một không gian (con đường), nhưng thời gian thi gần như chẳng liên quan gì, chúng xảy ra trong hai ngày khác nhau. Có những định kiến đã ăn sâu vào suy nghĩ của ta và ta không bao giờ có thể thay đổi, ví như “thời gian không quay trở lại!”. Nếu chúng ta có thể vượt qua được định kiến về thời gian với một chút “tư duy ngoài chiếc hộp” rằng “ngày hôm nay sẽ trở lại vào ngày mai”, thì khi đó, vấn đề sẽ được giải quyết, đơn giản đến không ngờ.
Vậy là không phải chúng ta không có năng lực để thấy, cũng không phải là không có cơ hội. Theo tôi, chúng ta không thấy cái “ta thấy” là vì bị mắc kẹt vào những cái bẫy (hiểu theo nghĩa rộng), những định kiến, những chân lý “tuyệt đối đúng”, mặc kẹt vào chính khối kiến thức mà ta đã có. Tôi nhớ, có một câu nói, đại ý là:
Kiến thức là kết quả của quá trình học hỏi, nhưng cũng là vật cản, ngăn ta tiến xa hơn
Với bài toán của Pascal, đúng là lời giải như từ trên trời rơi xuống, nhưng đó chỉ là cảm giác của chúng ta, chúng ta bị choáng ngợp bởi lời giải quá đẹp này. Với Pascal thì ý tưởng này không nảy sinh từ hư không. Có một bài toán, đúng hơn là tính chất của đường tròn trong hình học phẳng, có lẽ đã gợi ý cho ông:
“Với hai đường tròn tâm O1, O2 không giao nhau, vẽ hai tiếp tuyến chung ngoài A1A2 và B1B2: sau đó, vẽ tiếp tuyến chung trong MN, cắt A1A2 và B1B2 tương ứng, tại M và N, và tiếp xúc với hai đường tròn tại C1C2 “ (Hình vẽ bên dưới)
Dễ thấy:
MC1+MC2 = MA1+MA2 =A1A2 ( Tính chất tiếp tuyến đường tròn) = NC1+NC2=NB1+NB2 = B1B2
Tức là C1, C2 và MN có thể là hai tiêu điểm và trục lớn của một elip.
Nếu hai đừng tròn O1, O2 có cùng bán kình thì hai tiếp tuyến A1A2 và B1B2 song song với nhau và cách đều O1, O2 . Vì thế, qua phép quay quanh trục O1, O2 , hai đường tròn đó sẽ vẽ nên hai mặt cầu tâm O1, O2 , còn A1A2 và B1B2 sẽ vẽ nên mặt xung quanh của hình trụ, tiếp xúc với hai mặt cầu theo hai đường tròn: một đường đi qua A1 , B1 và một đường tròn đi qua A2 , B2 . Với MN, ta sẽ không quay nó quanh trục O1, O2 , mà coi nó như mặt cắt đứng của mặt phẳng giao với hình trụ. (Hình vẽ bên dưới)
Ta thấy, các đẳng thức:
MC1+MC2 = A1A2 = NC1+NC2 = B1B2
vẫn còn nguyên, và bất kì điểm K nào trên thiết diện, ta có KC1 và KC2 lần lượt là tuyến tiếp của các hình cầu tâm O1, O2 , và đường thẳng K1K2, đi qua K và song song với A1A2 ,B1B2 cũng là tiếp tuyến của hai hình cầu (K1 , K2 lần lượt nằm trên đường tròn qua A1, B1 và đường tròn qua A2, B2 xem qua hình dưới)
Dễ thấy:
KC1+KC2 = A1A2
Ta có điều phải chứng minh.
Ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh tương tự , ta có: thiết diện của một mặt phẳng nghiêng với một hình nón tròn xoay (mặt phẳng không đi qua đỉnh hình nón và không song song với đường sinh) cũng là hình elip.
Lời giải tinh tế đến hoàn hảo mà Pascal đưa ra thể hiện sự nhảy cảm thiên bẩm của ông. Nhưng để làm toán, theo tôi nghĩ,chỉ một sự nhảy cảm thôi chưa đủ. Khi những cái “ta thấy” mà ta biết là chưa nhiều, khi ta chưa hiểu chúng một cách sâu sắc thì thật khó để tìm được những “ta thấy” cho riêng mình. Có những sự khác nhau giữa biết và hiểu.
Vì dụ qua một bài vật lý về phần cơ học (tất nhiên lý phải có toán) rằng: “Tại sao đi xe đạp khi trời mưa nhỏ, ta chỉ cần mặc áo mưa ở phía trước mà lưng vẫn không bị ướt không?. Rồi bằng vectơ vận tốc, ta có thể chứng minh được điều đó (xem hình bên dưới)
Trong hình: Vector Vm là vận tốc rơi của giọt nước mưa, vector Vxd là vận tốc của người đi xe đạp. Vì mọi chuyển động là tương đối nên ta có thể coi là người đi xe đạp đứng yên, còn giọt mưa sẽ rơi với vector V, tổng của hai vector Vm và vector Vxd . Theo hướng rơi vecto V của giọt mưa thì rõ ràng ta chỉ cần che áo mưa mặt trước mà lưng vẫn không bị ước. Nhưng tôi vẫn thoải mãn với góc nhìn ban đầu là hướng rơi vector V của giọt mưa chỉ là kêt quả của phép cộng vector. Trên thực tế thì giọt mưa vẫn rời thẳng, và khi người đi xe đạp đi đến vị trí A thì chẳng có gì ngăn cản mưa rơi ở vị trí đó, ngang tầm với lưng họ. Nhưng đúng là nếu trời mưa nhỏ thì ta chỉ cần mặc áo mưa đằng trước khi đi xe đạp.
Phép cộng vectơ hoàn toàn dễ hiểu, nhưng có thể thấy, ta vẫn chưa thực sự hiểu ý nghĩa vật lý của nó trong trường hợp cụ thể này. Sẽ rất khập khiễng nếu so sánh, nhưng việc phát minh ra thuyết tương đối cũng phảng phất nét gì đó tương đồng. Phép biến đổi Lorentz được tìm ra bởi Lorentz, và đồng thời, bởi một số nhà khoa học khác. Nhưng chính Einstein mới là người đem đến ý nghĩa vật lý cho nó, và ông mới được coi là người phát minh ra thuyết tương đối, đưa ra cách nhìn mới về không gian và thời gian.
Còn lại câu hỏi, có thể tìm những “ta thấy” ở đâu?
Cùng là học sinh với nhau nên tôi hiểu, hầu hết các bạn học sinh đều chỉ muốn khoe điểm tốt, còn bài kiểm tra điểm xấu là giấu biệt. Nhưng thực sự thì những điểm tốt chỉ giúp chúng ta khoe thành tích, còn cái có thể giúp chúng ta tiến bộ lại chính là những bài điểm kém. Làm lại những bài làm sai hoặc không làm được, ta sẽ tìm được những điều hết sức thú vị mà ta quên hoặc hoàn toàn không biết, ta sẽ có cơ hội lấp đầy những lỗ hổng trong kiến thức của mình.
Nói cách khác, cách dễ nhất để tìm những “ta thấy" là tìm trong sai lầm, trong thất bại, trong mâu thuẫn giữa các hiện tượng, trong tranh luận (không phải tranh cãi nhé). Tóm lại là tìm trong những vẫn đề nổi cộm, vì tìm được điều gì mới trong những điều “đương nhiên đúng” là rất khó. Sẽ rất ít ai có thể nghi ngờ sự tồn tại tuyệt đối độc lập của thời gian, nghi ngờ về một không gian tĩnh tuyệt đối mà vũ trụ của chúng ta vận động trong đó, để nhận ra rằng, không có cái tuyệt đối nào cả, thời gian và không gian cũng chỉ là tương đối, và chúng co giãn tương đối trong các hệ quy chiếu khác nhau.
Sau mỗi bài giảng hay là những cuộc nói chuyện vu vơ, tôi có hỏi han với những người bạn tôi hay chơi thân, các bạn chỉ nói với tôi là trước giờ làm toán chỉ nghe mỗi “ta có” thôi, chưa nghe “ta thấy” bao giờ cả. Và tôi cũng để ý thêm rằng, các bạn thường xuyên làm bài bằng công thức mà bạn chỉ hiểu lờ mờ ý nghĩa của nó và của những khái niệm chứa trong nó, dù điểm số cũng khá cao. Thế hệ thầy, cô, bố, mẹ tôi đi học thường được gọi là những “thợ làm toán”. Thế hệ bây giờ xung quanh tôi (tất nhiên có tôi nằm ở thế hệ đó) còn tiến xa hơn thành “máy làm toán”, “máy làm văn”, “máy học”. Và có lẽ vì thế mà câu hỏi “học để làm gì?” cũng xuất hiện nhiều hơn. Dù rằng cải cách về kiến thức đấy, sách học về nhiều ứng dụng đấy, nhưng vẫn thế.
Câu trả lời của ngành giáo dục nói riêng và của xã hội nói chung thì lại luôn mang tính tư tưởng cao, “học để làm người”, hoặc “phải biết sống để làm gì mới biết học để làm gì”. Tôi nghĩ những bạn bè cùng lứa tôi đâu có quan tâm vấn đề ở tầm vĩ mô như vậy, các bạn hỏi cụ thể hơn, học để làm gì nghĩa là học đạo hàm, tích phân, truyện kiều, học lịch sử...để làm gì.
Tôi thì luôn nghĩ rằng, mục đích cao nhất của học là để thấy, nếu ta thấy được những điều ẩn chứa đằng sau mỗi công thức toán, lý, hay hóa, đằng sau mỗi câu chuyện lịch sử, mỗi tác phẩm văn học, đằng sau mỗi sự việc thường ngày thì việc học để làm người hay làm gì đi nữa cũng dễ dàng hơn rất nhiều.
Tôi rất ấn tượng với câu chuyện về đời thật của Stephen Hawking trong phim Thuyết vạn vật (The Theory of Everything). Sau khi nghe một bài giảng về công thức toán học đưa đến giả thuyết về sự hình thành và tồn tại của hố đen, ông đã lập tức muốn áp dụng công thức đó cho toàn bộ vũ trụ, và nếu đúng là vũ trụ đang giãn nở theo Thuyết tương đối rộng của Einstein, thì khi ta quay ngược thời gian, sẽ thấy nguyên thủy của vũ trụ là một hố đen, là nơi vật chất sẽ biến mất khi rơi vào đó.
Nhưng vũ trụ không những không biến mất trong hố đen mà còn được hình thành nên từ nó, vậy phải có cái gì chưa được tìm thấy? Và ông đã tìm ra bức xạ mang tên chính mình, bức xạ Hawking, là cái khiến cho hố đen không hoàn toàn đen, và là cái dẫn đến Big Bang, điểm khởi đầu của vũ trụ. Sức mạnh vô cùng của cái thấy thể hiện ở chỗ, toàn bộ thuyết Big Bang được “thấy” chỉ qua các công thức toán học!
Chính vì thế tôi muốn bắt đầu một cách học mới, cùng với bạn học sinh, học thông qua ta thấy, lấy ta thấy làm đơn vị để đo kiến thức của người học, người dạy, và của bài giảng, với hy vọng là bạn ý sẽ thấy nhiều hơn, áp dụng được vào cuộc sống nhiều hơn và không phải học đi học lại, không phải bò ra học trước mỗi kỳ thi
Tham khảo:
Quan điểm - Tranh luận
/quan-diem-tranh-luan
Bài viết nổi bật khác
- Hot nhất
- Mới nhất