Nếu là ở cấp phổ thông thì mục đích sẽ là giải quyết được những bài toán ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Ở cấp độ cơ bản nhất, chúng ta cần sử dụng 4 phép toán cơ bản cộng trừ nhân chia để tính toán lượng thức ăn, hàng hóa. Không những vậy, học toán giúp ta giao lưu với những con số và tỉ lệ. Từ đó, toán là công cụ giúp ta quản lý tài chính cá nhân. Một cách khái quát, toán giúp ta định lượng vật chất. Ví dụ, ta đo chiều cao, cân nặng bằng metre và kilogram. Ta đánh giá kết quả học tập bằng GPA.

Còn ở các cấp bậc cao hơn như nhà toán học thì mục đích là để khám phá những chân trời mới của toán. Ở đây, xin mời bạn đọc hãy đến với những bài viết của giáo sư Vũ Hà Văn và kỹ sư bảo mật Dương Ngọc Thái để có thêm góc nhìn[1].

Toán dạy ta cách suy nghĩ thông suốt, có hệ thống logic và chặt chẽ.  Chúng ta đã từng học phương pháp chứng minh phản chứng hay quy nạp trong toán học. Và những phương pháp này hoàn toàn có thể được áp dụng để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống. Ví dụ, trong phép chứng minh phản chứng, ta phải giả sử điều ngược lại và chứng minh rằng nó mâu thuẫn với dữ kiện ban đầu. Thực tế, khi ta phải giải quyết một vấn đề theo nhóm, ta cần phản biện giải pháp của một thành viên. Lúc này, ta sẽ đi theo hướng chứng minh phản chứng bằng cách đưa ra ít nhất một ví dụ cụ thể mà giải pháp đó không khắc phục được. Cách chứng minh này còn giúp ta tránh phạm phải lỗi tư duy Confirmation Bias.

Mặt khác, toán học dạy ta rằng có nhiều cách để giải quyết một bài toán. Ví dụ, có đến hơn 6 cách để chứng minh có vô hạn số nguyên tố[2]. Trong cuộc sống, có nhiều cách để đi từ địa điểm A đến B bằng nhiều phương tiện khác nhau. Vậy học toán là để học được cách tối ưu những lựa chọn. Học toán để hiểu rằng không nên đầu tư tiền vào những trò chơi có tính may rủi như jackpot, cờ bạc, cá độ[3].

Ở bất cứ nơi đâu, ta đều có thể bắt gặp định lý Pytago, hình học Euclide, hằng số π và e. Một điều nữa ta nên nhớ, là mọi môn khoa học cơ bản như vật lí, sinh học, hóa học đều sử dụng toán như là công cụ để xây dựng nên những học thuyết góp phần giải thích sự vận hành của vũ trụ này từ cấp độ vi mô như phân tử ADN đến cấp độ vĩ mô như sự giãn nở của vũ trụ và sự hình thành của các sao Neutron. Nếu không có toán học, làm sao Gregor Mendel có thể thống kê kết quả của các phép lai để từ đó khám phá ra quy luật phân ly độc lập? Nếu không có toán học thì làm sao Einstein có thể phát triển học thuyết tương đối làm thay đổi góc nhìn của nhân loại về tính tương đối của thời gian và bản chất của không gian(Space)?

Toán học hiện hữu ở nhiều cấp độ khác nhau từ thực tiễn chân chất mộc mạc như phép đếm số gà, vịt như ông bà ta thường làm và đúc lại thành bài thơ:

Cho đến cấp độ phức tạp hơn như các bài toán về tối ưu hóa và trừu tượng như hình học Topo. 

Toán học tương giao với nghệ thuật. Thật vậy, trong bức họa "Nàng Mona Lisa" và ngôi đền Parthenon ở Hi Lạp, ta tìm thấy tỉ lệ vàng. Ta sẽ thấy có sự liên kết chặt chẽ trong kiến trúc Gothic và môn hình học. Trong âm nhạc, những bản nhạc của nhà soạn nhạc thiên tài Beethoven đều hiện diện những quy luật toán học rất đẹp ở trong đó. Hay những quy luật như bao nhiêu nhịp trong một nốt đen, biểu diễn bản nhạc ứng dụng hệ tọa độ Descartes[4]. Hay trong Origami của người Nhật, ta thấy sự kết hợp hài hòa giữa toán học và nghệ thuật[5]. Vậy ta học toán là để cảm nhận và hiểu được sự hiện diện và vai trò của nghệ thuật trong mọi ngóc ngách của cuộc sống. Và sẽ diễm phúc thay cho những ai thấy được vẻ đẹp huyền diệu đó. Vậy nên chúng ta, ở mỗi cấp độ, sẽ có những mục đích khác nhau và cảm nhận cũng khác nhau về vẻ đẹp của toán học. 

Và cuối cùng, học toán giúp ta bền bỉ, kiên trì và sáng tạo. Ta thừa nhận rằng, giải quyết bài toán không hề dễ. Thực tế, giải một bài toán khó sẽ cần rất nhiều thời gian để loại bỏ những phương pháp không phù hợp và khám phá ra những phương pháp phù hợp. Nhưng nhờ vậy mà ta có những phút giây thỏa mãn sau những lần giải được bài toán. 

Ở đây, ta thấy rằng ý niệm về toán của họ đã bị bóp méo. Trước hết, chúng ta thừa nhận rằng, chương trình dạy toán ở Việt Nam chưa đi đúng hướng. Nghĩa là, chương trình còn mang nặng tính hàn lâm như nặng về tính toán, nhớ công thức để giải, nặng về điểm số, thi cử. Ở đây, ta cần nhớ rằng tính toán chỉ là một phần rất nhỏ trong toán học, nó chỉ là công cụ. Phần còn lại là khái quát vấn đề và diễn giải vấn đề bằng toán học.

Ta sẽ có được công cụ để khám phá ra những bí ẩn đằng sau mọi vật xung quanh ta. Và đây, trên chính hành trình khám phá đó ta sẽ trải qua những cung bậc cảm xúc. Đó có thể là sự hứng khởi ban đầu khi tiếp cận bài toán, sự chán chường sau nhiều lần thử nghiệm, và cuối cùng là hạnh phúc vỡ òa khi đã giải được. Và sau đó, ta hoàn toàn có thể chia sẻ những khám phá này đến với mọi người, như vậy là ta đã tạo ra giá trị cho cộng đồng thông qua việc học toán đó. Ta cũng có thể ứng dụng những mô hình toán học vào công việc chuyên môn của ta hoặc giải quyết vấn đề trong cuộc sống. Tóm lại, ta đừng nghĩ rằng học toán để làm việc A,B,C. Như vậy thì thực dụng nhưng mộng tưởng lắm. Vì suy cho cùng, sẽ không ai thật sự hiểu học gì để làm gì cả. Tất cả chỉ là lý do tạm thời để ta bắt đầu, phần còn lại là hành trình và chiêm nghiệm sau đó.

Đúng, như tôi đã nói ở trên, giải quyết một bài toán rất khó. Nhưng học toán thì không khó nếu ta tự tạo cho mình một phương pháp riêng để học toán. 

Cái cốt của học toán là đi từ bản chất. Ví dụ, hãy tự đặt câu hỏi “vì sao”. Vì sao phương trình đường thẳng được miêu tả dưới dạng y=ax+b? Hay vì sao ta có được công thức tính tổng của cấp số cộng? Ứng dụng của tích phân để suy từ chu vi ra diện tích, từ diện tích ra thể tích? 

Rồi lấy giấy và bút - viết ra những ý tưởng của mình. Thử - Sai - thử. Nếu không được, hãy sử dụng Internet.

Trong quá trình tìm hiểu bản chất, ta sẽ tìm đến lịch sử toán học. Nhờ đó, ta biết được thêm tranh cãi về nhà phát minh phép tính vi-tích phân - Là Newton hay Leibniz? Ta sẽ bắt gặp Gauss và câu chuyện kỳ khôi năm 10 tuổi của ông ấy[6]. Trong những câu chuyện về thiên tài bạc mệnh Galois hay hành trình đi chứng minh định lý cuối cùng của Fermat của Andrew Wiles, ta sẽ khám phá ra được tư duy và những góc khuất đằng sau tâm hồn của nhà toán học. Ta cũng sẽ học được nhân cách từ Grothendieck- thiên tài kỳ lạ của thế kỷ 20. Và ta sẽ thấy rằng, quá trình học toán sẽ góp phần hình thành nên nhân cách của ta.

Sẽ có lúc ta thấy toán học thật khô khan và chán. Nhưng không có nghĩa là nó sẽ mãi như vậy. Mà nó sẽ thay đổi, khi trong một khoảnh khắc cuộc đời, ta lại đến với toán. Và góc nhìn về toán học sẽ phát triển theo nhận thức của ta[7].

Vậy người học toán ngày nay và tương lai nên học toán và sử dụng toán như thế nào? Câu hỏi nằm trong chính mỗi người.

Và thay vì hỏi học toán để làm gì? Ta hãy hỏi: Học toán như thế nào để cảm nhận cái đẹp của nó?

1. Sacred Mathematics - Hidetoshi Fukagawa and Tony Rothman.

2. The Art of Problem Solving - Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky.

3. Proofs from THE BOOK - Martin Aigner.