Máy Tính Dưới Góc Nhìn Của Những Viên Bi Kì 3: Lượng Tử

Bài viết kì trước:

Bây giờ chúng ta sẽ rời khỏi thế giới cổ điển và bước vào thế giới lượng tử. Thế giới lượng tử hoạt động rất khác so với những thành phần khác của thể giới ở chỗ nó luôn dính tới các số phức. Ví dụ như trong đồ thị thì trọng số không được phép là số thực p giữa 0 và 1. Thay vào đó nó phải là một số phức c sao cho |c| ^ 2 là một số thực trong khoảng từ 0 đến 1.

Tại sao lại có sự khác biệt ở đây? Có vấn đề gì nếu xác suất (trọng số) được đưa ra trực tiếp dưới dạng một số thực giữa 0 và 1, hoặc gián tiếp như một số phức có bình phương modun là một số thực giữa 0 và 1? 

Phép trừ chính là cốt lõi của lý thuyết lượng tử , xác suất của số thực chỉ có thể tăng lên khi được thêm vào. Ngược lại, các số phức có thể bù trừ lẫn nhau và giảm xác suất của chúng. Ví dụ, nếu p1 và p2 là hai số thực giữa 0 và 1, thì (p1 + p2) > p1 và (p1 + p2) > p2. Đối với trường hợp c1 và c2 là hai số phức với bình phương modulus |c1| ^ 2 và |c2| ^ 2, có thể |c1 + c2| ^ 2 sẽ không lớn hơn |c1| ^ 2 và |c2| ^ 2. Hiện tượng này thường được gọi là nhiễu và là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong lý thuyết lượng tử. 

Ví dụ: nếu c1 = 5 + 3i và c2 = -3 - 2i thì |c1} ^ 2 = 34 và |c2| ^ 2 = 13 nhưng |c1 + c2| ^ 2 = 5 nhỏ hơn 34 và 13.

Đối với một operator, thay vì nhấn mạnh rằng tổng của các hàng trong vector cột là 1 như lúc trước, chúng ta sẽ cần tổng bình phương modun của các phần tử là 1. (Điều này có nghĩa bởi vì chúng ta đang xem xét xác suất là bình phương modun). Một ví dụ về operator là:

Ví dụ, đồ thị M:

Bây giờ chúng ta hãy xem các ma trận unita hoạt động như thế nào trên các trạng thái. Tính UX = Y, ta nhận được:

Một vấn đề quan trọng liên quan đến hệ thống lượng tử là nhiễu.

Để xem hiện tượng nhiễu rõ ràng hơn, chúng ta sẽ xem xét lại thí nghiệm hai khe từ phần trước. Thay vì thí nghiệm đối với viên đạn, là những vật thể tương đối lớn và tuân theo các định luật vật lí cổ điển, chúng ta sẽ nghiên cứu các vật thể vi mô như photon tuân theo vật lý lượng tử. Thay vì súng, chúng ta sẽ có đèn laser bắn photon. Chúng ta sẽ bắn các photon qua các khe hở như trong hình trên, giả sử rằng cường độ đèn yếu đến nỗi chỉ có một photon được phát ra trong mỗi khoảng thời gian nhất định.

Một lần nữa, chúng ta biết rằng một photon sẽ đi qua một trong hai khe. Mỗi khe có 50% cơ hội. Ở bên phải của mỗi khe, có ba thiết bị đo lường. Người ta cho rằng photon phải mất một lần để đi từ laser đến tường và lần nữa để đi từ bức tường đến các thiết bị đo. 

Đồ thị có trọng số sau mô tả thí nghiệm:

Bình phương môdun của 1/sqrt(2) là 1/2, tương ứng là có 50 - 50 % photon đi qua một trong hai khe. |(+-1 +-i)/sqrt(6)| = 1/3 tương ứng là bất cứ khi nào khe photon đi qua, thì có 1/3 cơ hội đập trúng bất kỳ thiết bị đo nào ở bên phải của khe đó. Ma trận kề P (P cho “photon”) là:

Dễ dàng thấy rằng ma trận này không phải là unita. Lý do là vì chúng ta đã không điền đủ tất cả các mũi tên có thể có trong đồ thị. Bởi vì photon thực sự không di chuyển đơn giản như ta tưởng tượng. Nhưng khi thêm nhưng thành phần đó vào thì có lẽ đồ thị và ma trận sẽ trở nên quá phức tạp.

Bình phương modun của ma trận  giống hệt với ma trận của thí nghiệm bắn súng phần trước, là:

Cho đến đây, mọi thứ đều bình thường. Hãy xem điều gì sẽ xảy ra nếu tính toán ma trận sau một operator nữa.

Chúng ta hãy nhìn vào bình phương modun của mỗi phần tử.

Ma trận này gần giống y như B^2, nhưng có một khác biệt rõ ràng. B ^ 2[5, 0] = 1/3 vì hai đường bắt đầu tại vị trí 0 và kết thúc tại vị trí 5. Tuy nhiên, với một photon tuân theo định luật lượng tử cơ học, xác suất được biểu diễn dưới dạng số phức và khi cộng 2 xác suất lại thì chúng bù trừ lẫn nhau.

do đó P ^ 2 [5, 0] = 0 . Nói cách khác, mặc dù photon có 2 cách đi từ đỉnh 0 đến đỉnh 5 nhưng sẽ không có photon ở đỉnh 5 ??? Làm cách nào để hiểu được hiện tượng này? 

Trong 200 năm, các nhà vật lý đã có một lời giải thích đơn giản về nhiễu: sóng. Chúng ta cũng đã được biết về nó từ lớp 12, khi hai hòn đá được ném vào một hồ nước, sóng do mỗi hòn đá tạo ra các vân giao thoa, ở chỗ cùng pha thì tăng cường lẫn nhau, ngược pha thì triệt tiêu lẫn nhau. Ngoài ra có một thí nghiệm về hiệu ứng quang điện, hướng tới cách giải thích khác: ánh sáng được hấp thụ và phát ra trong các đại lượng rời rạc - photon. Ánh sáng được kết luận là có lưỡng tính: đôi khi nó hoạt động như một chùm hạt, và vào những lúc khác nó hoạt động như sóng.

Điều quan trọng là thử nghiệm có thể được thực hiện với chỉ một photon được bắn duy nhất từ đỉnh 0. Ngay cả trong trường hợp này, nhiễu vẫn có. Việc giải thích xác suất về vị trí của photon sau phép ẩn dụ viên đạn của phần trước là không hoàn toàn đầy đủ bởi vì 1 viên đạn không thể đi qua nhiều vị trí cùng một lúc. 

Như đã nói từ đầu, trạng thái của hệ thống được xác định bởi X = [c0, c1, c2, ... cn]. Có lẽ nhiều người sẽ hiểu sai khi nói rằng xác suất của photon ở vị trí k là |ck| ^ 2, thực tế là trạng thái X cho biết rằng hạt đó là ở tất cả các vị trí cùng một lúc, và xác suất xuất hiện ở vị trí k sau khi đo đạc mới là |ck| ^ 2. Hay nói cách khác, photon đi qua khe trên và khe dưới cùng một lúc, và khi nó thoát ra cả hai khe, hiện tượng sụp đổ của hàm sóng xảy ra, thành ra chúng ta chỉ thấy photon ở một vị trí duy nhất sau đó. Một photon rõ ràng không ở trong một vị trí duy nhất và hiện tượng này được gọi là chồng chất (superposition). 

Điều này có thể làm nhiều người cảm thấy vô lý. Xét cho cùng, chúng ta không thể thấy một thứ ở nhiều vị trí khác nhau cùng một thời điểm. Các nhà vật lý giải thích rằng lý do chúng ta thấy các hạt ở một vị trí cụ thể là bởi vì chúng ta đã thực hiện một phép đo. Khi chúng ta đo lường điều gì đó ở cấp lượng tử, vật thể lượng tử mà chúng ta đo được không còn ở trạng thái chồng chất, mà suy sụp thành một trạng thái cổ điển đơn lẻ. 

Tại sao lại phải sử dụng ý tưởng điên rồ này? Chính xác ý nghĩa của hiện tượng chồng chất đó là sức mạnh thực sự đằng sau tính toán lượng tử. Máy tính cổ điển ở trong một trạng thái ở mọi thời điểm. Hãy tưởng tượng chúng ta có một máy tính ở nhiều trạng thái cổ điển khác nhau cùng một lúc và sau đó xử lý với tất cả các trạng thái cùng một lúc. Một máy tính như vậy chỉ có thể được hình thành trong thế giới lượng tử.

Ví dụ như bài toán tìm số nguyên tố, để kiểm tra 7 có phải là số nguyên tố máy tính cổ điển cần đến 7s để thực hiện 7 phép mod (giả sử mỗi phép tính thực hiện 1s), trong khi đó máy tính lượng tử có thể giải nhanh hơn 1s với chỉ 3 qubit (tương ứng với 8 trạng thái khác nhau trong cùng một thời điểm).

Tóm tắt:

Tài liệu tham khảo: Quantum Computing for Computer Scientists (Noson S. Yanofsky, Mirco A Mannucci).