Trong cơ học lượng tử, luôn có sự bất định (không thể biết chính xác) về trạng thái vật lý của một đối tượng. Đó là các trạng thái luôn thay đổi theo quy luật xác suất. Để nắm bắt câu chuyện xác suất này, thay vì xét một loạt các viên bi như ví dụ trước, chúng ta sẽ chỉ nói chuyện với chỉ một viên bi.
Giả sử chúng ta đang có một viên bi và 3 vị trí cố định, nhưng không biết viên bi chính xác sẽ nằm ở vị trí nào tại thời điểm xác định t. Để dễ dàng, thông tin về trạng thái của viên bi sẽ là xác suất của viên bi ở trên mỗi vị trí (đỉnh). Một trạng thái cơ bản ví dụ như X = [1/5, 3/10, 1/2]. Tương ứng là sẽ có xác suất 1/5 viên bi nằm trên đỉnh 0, 1/3 nằm trên đỉnh 1 và một nửa trên đỉnh 2. Bởi vì viên bi phải ở đâu đó trên đồ thị, nên tổng của tất cả các xác suất là 1 (1/5 + 3/10 + 1/2 = 1) và chúng ta không thể biết chính xác viên bi luôn nằm ở đâu.
Cách mà viên bi di chuyển không đơn giản so với hệ thống trước. Thay vì chỉ có một vector đi ra mỗi đỉnh, giờ đây sẽ có nhiều vector hơn với trọng số là số thực giữa 0 và 1. Những trọng số này mô tả xác suất viên bi của chúng ta di chuyển như thế nào, hay đích đến sẽ có thể là đâu.
Đồ thị trong hệ thống xác suất luôn có trọng số đáp ứng hai điều kiện sau:
a) Tổng tất cả các trọng số của vector đi vào một đỉnh là 1.
b) Tổng tất cả các trọng số của vector đi ra một đỉnh cũng là 1.
Điều kiện này bắt buộc viên bi phải đi và đến từ đâu đó (có thể có vòng) chứ không bao giờ bất động.
Ví dụ về đồ thị của hệ thống xác suấtMa trận kề của đồ thị này là:
Ma trận kề của đồ thị của chúng ta sẽ có các phần tử là số thực giữa 0 và 1 mà trong đó tổng của hàng và cột là 1. Các ma trận như vậy được gọi là ma trận ngẫu nhiên kép.
Chúng ta hãy xem trạng thái của viên bi thay đổi như thế nào. Giả sử chúng ta có một trạng thái X = [1/5, 3/10, 1/2] và đồ thị M.
Với cách giải thích này, chúng ta sẽ tính toán cách M áp dụng lên X:
Lưu ý rằng tổng các phần tử của Y vẫn là 1. Có thể diễn đạt hệ quả của phép tính này bằng cách nói:
Nếu vị trí của viên bi đang là
1/6 trên đỉnh 0,
1/6 trên đỉnh 1, và
2/3 trên đỉnh 2, thì
sau đó, vị trí của viên bi là
21/36 trên đỉnh 0, và
9/36 trên đỉnh 1, và
6/36 trên đỉnh 2.
Nếu chúng ta có X thể hiện xác suất vị trí của viên bi và M thể hiện cách viên bi di chuyển xung quanh, thì Y sẽ là thể hiện xác suất vị trí của viên bi sau đó. Nếu X là xác suất của viên bi tại thời điểm t, thì MX = Y là xác suất của viên bi tại thời điểm t + 1.
Ngoài ra, chúng ta có thể nhân vectơ không chỉ ở bên phải của một ma trận, mà còn ở bên trái (một vector hàng cũng có thể xem như là một trạng thái của một hệ thống). Lấy một vector hàng có tổng cột là 1 (W = [1/3, 0, 2/3]). Nhân nó ở bên trái của M. Sau đó chúng ta có:
Tổng các phần tử của Z cũng là 1. Điều này có nghĩa là gì?
Ta có chuyển vị của M là:
tương ứng với đồ thị cũ với các mũi tên được đảo ngược:
Đảo ngược các mũi tên giống như du hành về quá khứ. Một phép tính đơn giản cho thấy rằng:
Nếu nhân ở bên phải của M để lấy thông tin trạng thái từ thời gian t đến thời gian t + 1, thì nhân ở bên trái của M sẽ cho phép chúng ta lấy trạng thái từ thời gian t đến thời gian t - 1. Có thể nói rằng, đối xứng thời gian là một trong những tính chất của hệ thống xác suất.
Một vài phép tính khác với hệ thống này, giả dụ như nhân ma trận M với chính nó, ta được:
Phép tính này tương ứng với hình vẽ sau:
Để đi từ đỉnh j đến đỉnh i trong hai bước,
ta có thể đi từ đỉnh j đến đỉnh 0 và đi đến đỉnh i hoặc
ta có thể đi từ đỉnh j đến đỉnh 1 và đi tới đỉnh i hoặc
.
.
.
ta có thể đi từ đỉnh j đến đỉnh n - 1 và đi đến đỉnh i. Chúng ta có thể biết M[i, j] ^ 2 là xác suất đi từ đỉnh i đến đỉnh j trong 2 operator.
Tổng quát, đối với một số nguyên dương tùy ý , chúng ta có M[i, j] ^ k là xác suất đi từ đỉnh i đến đỉnh j trong k operator và nếu M là ma trận ngẫu nhiên kép n x n và X là một vectơ cột n x 1 có tổng các phần tử là 1, thì X x M^k = Y biểu thị xác suất vị trí của viên bi sau k operator.
Ngoài ra, chúng ta cũng có thể nhân M với nhiều ma trận ngẫu nhiên kép khác cùng lúc. Cho M và N là hai ma trận ngẫu nhiên kép n x n tương ứng với các đồ thị n đỉnh có trọng số tương ứng là Gm và Gn. M x N sẽ tạo ra đồ thị n đỉnh mới có trọng số là:
Xét trên mô hình viên bi, đồ thị n đỉnh này tương ứng với tổng xác suất chuyển dịch của nó từ đỉnh k đến đỉnh i (Gm) và sau đó chuyển từ đỉnh k tới đỉnh j (Gn) . Nếu M và N mô tả trạng thái của hệ thống sau 1 operator, thì M x N sẽ mô tả quá trình chuyển đổi xác suất chuyển từ thời gian t sang t + 1 và sang t + 2.
Trước khi chuyển sang phần tiếp theo, có một ví dụ thú vị khác được gọi là xác suất kép.
Có hai khe hở trên tường. Người bắn tốt sẽ bắn lọt qua một trong hai khe. Có 50% khả năng viên đạn sẽ di chuyển qua khe trên cùng. Tương tự, có 50% cơ hội viên đạn sẽ di chuyển qua khe dưới cùng. Khi một viên đạn xuyên qua một khe, có ba bia ở bên phải của mỗi khe mà viên đạn có thể trúng với xác suất bằng nhau. Bia ở giữa có thể bị bắn theo một trong hai cách: từ khe trên xuống hoặc từ khe dưới lên. Viên đạn phải mất một lần để đi từ súng vào tường và một lần để di chuyển từ tường đến các mục tiêu. Tóm tắt quá trình viên đạn di chuyển tương ứng với biểu đồ có trọng số sau:
Chú ý rằng đỉnh được đánh dấu (5) có thể nhận các viên đạn từ một trong hai khe. Khi một viên đạn ở vị trí 3, 4, 5, 6, hoặc 7 thì nó sẽ không thể di chuyển, do đó xác suất tại mỗi bia sẽ là 1. Tương ứng với đồ thị này là ma trận B (cho “bullets”):
B mô tả cách một viên đạn sẽ di chuyển sau một lần bắn và B không phải là ma trận ngẫu nhiên kép. Tổng các trọng số vào đỉnh 0 không phải là 1. Tổng các trọng số các đỉnh 3, 4, 5, 6 và 7 lại lớn hơn 1. Để chuyển đổi thành ma trận ngẫu nhiên kép, các mục tiêu và các khe sẽ phải được làm bằng một số loại vật liệu có thể làm cho các viên đạn đàn hồi như bàn bida. Thay vì xem xét một bối cảnh phức tạp như vậy, chúng ta sẽ đi theo ví dụ đơn giản này.
Xác suất cho vị trí của viên đạn sau hai lần di chuyển sẽ là B x B.
Nếu chúng ta chắc chắn rằng nếu bắt đầu với viên đạn ở vị trí 0, sau hai lần di chuyển, trạng thái của viên đạn sẽ là:
Ý tưởng chính là để ý rằng B ^ 2 [5, 0] = 1/6 + 1/6 = 1/3 vì súng bắn viên đạn từ vị trí 0; do đó, có hai cách có thể để có được vị trí 5. Đấy là những gì chúng ta đã giả sử từ ban đầu về phép tính cũng cho kết quá đúng. Chúng ta sẽ xem lại ví dụ này trong phần tiếp theo, nơi những điều kỳ lạ bắt đầu xảy ra!
Tóm tắt những gì ở phần này:
Các vectơ đại diện cho các trạng thái của một hệ thống vật lý xác suất không xác định chính xác về trạng thái mà chỉ mang tính tương đối.
Ma trận đại diện cho operator thể hiện sự bất định về cách hệ thống sẽ thay đổi theo thời gian. Ngoài ra, các phép tính trên ma trận cho biết thông tin từ trạng thái này sang trạng thái tiếp theo.
Cách thức mô phỏng trạng thái bằng phép nhân ma trận giống như trong hệ thống xác định.
Tài liệu tham khảo: Quantum Computing for Computer Scientists (Noson S. Yanofsky, Mirco A Mannucci). To be countinued ...
Ma trận kề của đồ thị của chúng ta sẽ có các phần tử là số thực giữa 0 và 1 mà trong đó tổng của hàng và cột là 1. Các ma trận như vậy được gọi là ma trận ngẫu nhiên kép.
Lưu ý rằng tổng các phần tử của Y vẫn là 1. Có thể diễn đạt hệ quả của phép tính này bằng cách nói:
Tổng các phần tử của Z cũng là 1. Điều này có nghĩa là gì? 
tương ứng với đồ thị cũ với các mũi tên được đảo ngược:
Đảo ngược các mũi tên giống như du hành về quá khứ. Một phép tính đơn giản cho thấy rằng:
Nếu nhân ở bên phải của M để lấy thông tin trạng thái từ thời gian t đến thời gian t + 1, thì nhân ở bên trái của M sẽ cho phép chúng ta lấy trạng thái từ thời gian t đến thời gian t - 1. Có thể nói rằng, đối xứng thời gian là một trong những tính chất của hệ thống xác suất. 
Phép tính này tương ứng với hình vẽ sau:
Để đi từ đỉnh j đến đỉnh i trong hai bước,
Xét trên mô hình viên bi, đồ thị n đỉnh này tương ứng với tổng xác suất chuyển dịch của nó từ đỉnh k đến đỉnh i (Gm) và sau đó chuyển từ đỉnh k tới đỉnh j (Gn) . Nếu M và N mô tả trạng thái của hệ thống sau 1 operator, thì M x N sẽ mô tả quá trình chuyển đổi xác suất chuyển từ thời gian t sang t + 1 và sang t + 2.
Viên đạn phải mất một lần để đi từ súng vào tường và một lần để di chuyển từ tường đến các mục tiêu. Tóm tắt quá trình viên đạn di chuyển tương ứng với biểu đồ có trọng số sau:
Chú ý rằng đỉnh được đánh dấu (5) có thể nhận các viên đạn từ một trong hai khe. Khi một viên đạn ở vị trí 3, 4, 5, 6, hoặc 7 thì nó sẽ không thể di chuyển, do đó xác suất tại mỗi bia sẽ là 1. Tương ứng với đồ thị này là ma trận B (cho “bullets”):
B mô tả cách một viên đạn sẽ di chuyển sau một lần bắn và B không phải là ma trận ngẫu nhiên kép. Tổng các trọng số vào đỉnh 0 không phải là 1. Tổng các trọng số các đỉnh 3, 4, 5, 6 và 7 lại lớn hơn 1. Để chuyển đổi thành ma trận ngẫu nhiên kép, các mục tiêu và các khe sẽ phải được làm bằng một số loại vật liệu có thể làm cho các viên đạn đàn hồi như bàn bida. Thay vì xem xét một bối cảnh phức tạp như vậy, chúng ta sẽ đi theo ví dụ đơn giản này.
Nếu chúng ta chắc chắn rằng nếu bắt đầu với viên đạn ở vị trí 0, sau hai lần di chuyển, trạng thái của viên đạn sẽ là:
Ý tưởng chính là để ý rằng B ^ 2 [5, 0] = 1/6 + 1/6 = 1/3 vì súng bắn viên đạn từ vị trí 0; do đó, có hai cách có thể để có được vị trí 5. Đấy là những gì chúng ta đã giả sử từ ban đầu về phép tính cũng cho kết quá đúng. Chúng ta sẽ xem lại ví dụ này trong phần tiếp theo, nơi những điều kỳ lạ bắt đầu xảy ra!