Buổi trưa Sài Gòn nắng nóng, vô tình lướt facebook thấy các bạn than phiền về toán xác suất thống kê, chợt nhớ ra một bài toán vô cùng thông minh ứng dụng toán xác suất thống kê. Thế là ngồi viết lại cái bài này.
Nguồn gốc bài toán
Vào thế chiến thứ 2, phe đồng minh tiến hành tìm cách tính toán số lượng xe tăng được sản xuất mỗi tháng của Đức.
Để làm điều đó, họ dùng đến xác suất thống kê, và sử dụng 2 phương pháp được gọi là: ước lượng thống kê và tính toán từ dữ liệu thu thập được.
Trong 2 phương pháp đó, đặc biệt phương pháp ước lượng thống kê là vô cùng thông minh và hiệu quả trong hoàn cảnh này.
Bài toán cụ thể
Giả sử phe đồng minh đánh dấu xác định mỗi chiếc xe tăng bị bắn hạ, bị bắt hoặc bị nhìn thấy bằng 1 số hiệu cụ thể. Và giả sử họ nhìn thấy 5 chiếc xe tăng với số hiệu lần lượt là 20, 31, 43, 78, và 92. Bây giờ, họ tìm cách tìm số N là số xe tăng mà Đức sản xuất???
Giải bài toán
Bằng cách dùng phương pháp ước lượng thống kê, phe đồng minh có thể ước lượng được gần đúng số N. Phương pháp này hiểu đơn giản như sau: dùng một công thức nào đó mà cho ra kết quả có phương sai là nhỏ nhất. Trong đó, phương sai là độ sai số của một kết quả ước lượng so với giá trị thực tế, phương sai càng nhỏ, kết quả ước lượng càng chính xác.
Và công thức cụ thể mà phe đồng minh dùng như sau, gọi số hiệu xe tăng lớn nhất là n (n=92), gọi k là số xe tăng phát hiện được (k=5)
Theo như công thức trên, kết quả ước lượng là 109.4, tức là 109 chiếc xe tăng mà Đức sản xuất mỗi tháng.
Trong thực tế
Quân đồng minh áp dụng phương pháp trên và có kết quả là 246 xe tăng mỗi tháng từ tháng 6 năm 1940 đến tháng 9 năm 1942 (Nguồn: wikipedia).
Trong cùng thời điểm, phương pháp thứ 2 cho ra kết quả là 1400 xe tăng mỗi tháng.
Khi kết thúc chiến tranh, theo kết quả từ người Đức, số xe tăng chính xác mỗi tháng là 245.
Công thức thông minh?
Chúng ta thấy rằng công thức trên gần như chính xác với số lượng thực tế. Ở phương pháp thứ 2, không phải phương pháp sai mà do phương pháp 2 cần số lượng lớn mẫu, càng nhiều mẫu càng chính xác, mà trong trường hợp này, số mẫu chỉ là 5/245, rõ ràng là không thích hợp dùng phương pháp 2.
Thú vị?
Một câu chuyện nhỏ nhưng tầm vóc lớn. Một công thức toán quyết định cuộc chiến. Toán học vẫn vô cùng thú vị, chỉ là cách học hiện nay của chúng ta quá là khô khan, hãy tìm cho mình cách học phù hợp, bạn sẽ thấy rằng “thế giới này tồn tại là vì có toán”.