Nghịch lý Ngày sinh và bài tập đếm tóc

Hãy tính xác suất để có ít nhất 2 người ở trong tòa nhà 1200 người, vào cùng một thời điểm, có cùng số sợi tóc.


Tập đếm là cột mốc quan trọng đánh dấu sự tiếp xúc đầu tiên của trẻ với toán học. Từ giữa năm 3 tuổi, Bé đã biết đếm tới 3, và bắt đầu hình thành những nhận thức trừu tượng đầu tiên về quy tắc đếm. Khi lên 4, Bé có thể đếm chính xác số lượng đồ vật trong bài toán đếm đồ đơn giản – một con búp bê, hai chú lính chì, năm quả bóng bay. Đấy là lúc khái niệm “số lượng” bắt đầu được vun đắp trong nhận thức của trẻ. Theo thời gian, Bé lớn dần, và những trò đếm đồ thuở nhỏ không còn thú vị nữa. Nhưng toán học thì còn ở đấy, và dù vẫn chỉ xoay quanh việc đếm, nó có thể đưa ra hàng loạt vấn đề hấp dẫn khác.
Năm lớp 6, lần đầu tiên Bé được cô giáo giới thiệu về nguyên lý Dirichlet (đọc vui là nguyên lý “đi dép lẻ”). Nguyên lý này có tên khác là nguyên lý chuồng bồ câu, nguyên lý hộp, hay nguyên lý ngăn kéo, có nội dung như sau: 

Nếu m vật thể được đặt vào n hộp chứa, thì

+ ít nhất một hộp chứa sẽ mang không dưới phần nguyên trần của phép tính m/n (vật thể), và

+ ít nhất một hộp chứa sẽ mang không quá phần nguyên sàn của m/n (vật thể). 

Trong đó, phần nguyên trần của phép tính m/n có giá trị bằng số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hay bằng kết quả của m/n, và phần nguyên sàn của phép tính m/n có giá trị bằng số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hay bằng kết quả của m/n. 
Để dễ nhớ, Bé minh họa định lý này một cách đơn giản: 

Trong 3 chiếc dép, phải có ít nhất 2 chiếc cùng bên trái hoặc 2 chiếc cùng bên phải.

Năm năm sau, Bé gặp lại nguyên lý này, nhưng lần này nó được diễn đạt theo ngôn ngữ của xác suất thống kê. Có lần, thầy giáo dạy toán của Bé đã khẳng định với cả lớp rằng: tôi cá ít nhất 2 trong số những em ngồi đây có cùng ngày tháng sinh. Lớp học chỉ có 40 người, mà một năm (không nhuận) tận 365 ngày, làm sao thầy lại khẳng định chắc nịch như vậy chứ. Thế mà, xét theo phương pháp toán học, nhận định của thầy là hoàn toàn có cơ sở, nếu không nói là có khả năng xảy ra rất cao. Các nhà toán học gọi bài toán này là nghịch lý ngày sinh.

Giả sử P(A) là xác suất không ai trong lớp sinh cùng ngày, thì 1 - P(A) là xác suất có ít nhất 2 người trùng ngày sinh.

Trong trường hợp không ai trong lớp trùng ngày sinh, học sinh số 1 có thể sinh vào bất kì ngày nào trong 365 ngày, học sinh số 2 có thể sinh vào bất kì ngày nào trong 364 ngày còn lại (trừ ngày sinh của bạn số 1), học sinh số 3 vào một trong số 363 ngày (trừ ngày sinh của bạn 1 và 2), … cứ thế tới học sinh thứ n, có thể sinh vào bất kì ngày nào trong số 365 - n + 1 ngày còn lại.

⇒ Số cách để cả 50 người này có sinh nhật khác nhau là: 

N = 365 * 364 * 363 * … * (365 - 50 + 1) = 365! / (365 - 50)!

Trong khi đó, kích thước không gian ngày sinh nhật của tất cả mọi người, tức là không quan tâm ngày sinh có trùng nhau hay không, là 

D = 365 * 365 * 365 * … * 365 = 365^50

=> Như vậy, xác suất không ai trong lớp sinh cùng ngày là 

P(A) = N/D = 365! / ((365-50)! * 365^50) ≅ 2.3%

Tức là, xác suất để có ít nhất 2/50 học sinh trong lớp cùng ngày sinh là 97.7%, đủ cao để thầy giáo đưa ra nhận xét như vậy.
Nghịch lý ngày sinh đủ đơn giản và tổng quát để có thể mở rộng sang các vấn đề toán học ứng dụng có liên quan, nhưng lại dễ đánh lừa người giải vào cái gọi là “appeal to probability" (ảo tưởng xác suất, và có lẽ vì sao chúng ta gọi là nó “nghịch lý," chứ không phải là “định lý” dù nó đúng về mặt toán học).
Một trong những câu hỏi “trêu ngươi" áp dụng nghịch lý này, mà nay được sử dụng trong phỏng vấn nghề nghiệp nhằm đánh giá khả năng suy luận của ứng viên (hay đánh đố?!) là bài toán ... đếm tóc: 

Hãy tính xác suất để có ít nhất 2 người ở trong tòa nhà, vào cùng một thời điểm, có cùng số sợi tóc.

Bỏ qua các yếu tố về sắc tộc, giới tính, và độ tuổi, giả sử một người trưởng thành có nhiều nhất 150.000 sợi tóc trên đầu. Biết rằng trong toà nhà đang có 1.200 người, theo bạn xác suất để tìm thấy những người có cùng sợi tóc như mình là bao nhiêu?
P/S: cách giải: đếm tóc của từng người (nếu bạn nhanh như Quicksilver hay The Flash), hoặc vắt não dưới comment nhé.

Thích bài này? Hãy theo dõi Facebook của zeal để đọc ngay khi bài lên sóng, và đừng quên vào web nhà zeal để tìm kiếm những thử thách xoắn não hơn nữa nhé.


Tham khảo:
Nguồn ảnh: A West Security
34
2571 lượt xem
34
2
2 bình luận