Lời xin lỗi của một nhà toán học (“A mathematician's apology” ) là một bài tiểu luận ngắn nói lên tâm sự của nhà toán học nổi tiếng người Anh Godfrey Harold Hardy (1877-1947) về nghề nghiệp và niềm đam mê của ông trong Toán học. Có hai điểm chính yếu (lý do) mà tác giả muốn gửi đến người đọc là:

Đầu tiên tác giả viết cuốn tiểu luận này vào năm 1940, nhưng trước đó một năm tác giả đã trải qua một cơn đau tim, và tại thời điểm đó, tức năm 1939, tác giả 62 tuổi, phần nào đó ông đã cảm nhận được sự tác động của tuổi tác đến việc làm toán, ông thấy mình không còn một bộ óc đủ sáng tạo, không còn nhiều năng lượng để tiếp tục công việc của mình một cách hiệu quả.

Điểm thứ hai là tác giả muốn gửi gắm đến những nhà toán học trẻ và những người khác nói chung rằng toán học vốn mang vẻ đẹp của nó, nên được theo đuổi theo cách riêng của nó hơn là vì những lợi ích của những ứng dụng mà nó mang lại. Ông muốn truyền tải triết lý toán, về giá trị của toán học thuần túy hơn là dùng các ứng dụng toán học để nói về tầm quan trọng của nó, điều đó sẽ truyền cảm hứng cho các thế hệ các nhà toán học trẻ hơn.

Một cuốn sách hay càng đọc càng thấm, mới thấy trân trọng và kính nể các nhà toán học thuần túy (pure mathematicians, 'real' mathematicians) và chính bản thân Toán học. Từng trang sách toát lên niềm kiêu hãnh của một nhà toán học như người lữ hành trên sa mạc mênh mông rộng lớn của tri thức, như nhà thám hiểm trong khu rừng chông gai và huyền bí của thử thách.

Dù một số bài học trong đó đã bị lu mờ vì những thái độ lỗi thời và chúng ta cần xem xét lại kiến trong đó trong bối cảnh lịch sử của chúng. Song, tác phẩm kinh điển của Hardy vẫn soi rọi cho ta thấy các nhà toán học hàn lâm nhìn nhận bản thân họ và môn học của họ như thế nào vào năm 1940. Nó chứa đựng những bài học quan trọng cho bất kỳ người nào có khả năng trở thành toán học, có khi chính cả những nhà toán học thực thụ hay chỉ đơn giản là những nhà toán học nghiệp dư đam mê với bộ môn này.

Bài viết được đăng trên nhà nhện này tựa như một cuốn sách nhỏ mà mình biên tập từ bản dịch ở web "diễn đàn toán học" đến những người bạn học cùng lớp bồi dưỡng toán năm cấp 2 và những bạn chuyên anh đam mê với toán học mà mình có dịp ngồi lại thảo luận chung. Các bài dịch cũng được đưa thành từng phần như trong tác phẩm (bản gốc tiếng Anh mình sẽ để ở dưới bài viết) để độc giả tiện so sánh, đối chiếu.

Tôi rất biết ơn Giáo sư C. D. Broad và Tiến sĩ C. P. Snow vì đã đóng góp nhiều ý kiến phê bình quý giá khi đọc bản thảo ban đầu của tôi. Tôi đã tiếp thu phần lớn những gợi ý của họ vào bài viết, nhờ đó loại bỏ được nhiều điểm còn thô sơ và mơ hồ.

Tuy vậy, trong một số trường hợp, tôi đã xử lý theo cách khác. Mục 28 của tôi dựa trên một bài viết ngắn mà tôi đã đóng góp cho Eureka (tạp chí của Hội Archimedean Cambridge) vào đầu năm nay, và tôi nhận thấy không thể chỉnh sửa lại nội dung mà tôi vừa viết gần đây với rất nhiều tâm huyết. Hơn nữa, nếu tôi cố gắng nghiêm túc đáp ứng những ý kiến phê bình quan trọng đó, tôi sẽ phải mở rộng mục này đến mức làm mất cân bằng tổng thể của bài tiểu luận. Vì vậy, tôi quyết định giữ nguyên nội dung, nhưng đã bổ sung một tuyên bố ngắn gọn về các điểm chính được đưa ra bởi những người phê bình trong một chú thích ở cuối bài.

Đó là một trải nghiệm buồn cho một nhà toán học thực thụ khi thấy mình đang viết về toán học. Nhiệm vụ của một nhà toán học là làm một cái gì đó, chứng minh những định lý mới, để làm phong phú nền toán học, chứ không phải là đi nói về những cái mình hay người khác đã và đang làm. Những chính khách coi thường các nhà xuất bản, những nhà hội họa thì coi thường các nhà phê bình nghệ thuật, còn những nhà sinh-lý học, vật lý học và toán học cũng thường mang những cảm giác tương tự. Không có sự khinh miệt nào sâu sắc hơn, hay nói chung chính đáng hơn, của những người làm ra những thành quả và để cho những người khác đi giải thích. Sự bày tỏ, phê bình, đánh giá là dành cho những người mang bộ óc thấp hơn.

Tôi có thể nhớ là đã thảo luận vấn đề này một lần trong một vài cuộc nói chuyện của mình với Housman. Housman, trong bài giảng Leslie Stephen của anh ấy về ‘Tên gọi và bản chất của thơ ca (The name and nature of poetry)’, đã phủ nhận một cách dứt khoát rằng anh ấy là một ‘nhà phê bình’; nhưng những lời phủ nhận của Housman lại có cảm giác rất ngoan cố và cho thấy một sự ngưỡng mộ cho những phê bình văn học đã từng khiến tôi giật mình.

Liệu Housman có thật sự nghĩ như những gì ông đã nói? Chả nhẽ với ông cuộc đời của nhà phê bình xuất sắc nhất lại có thể so sánh với của một nhà học giả hay một nhà thơ? Chúng tôi đã tranh luận suốt cả bữa ăn, và tôi nghĩ cuối cùng thì Housman cũng đồng ý với tôi. Không phải tôi đang tuyên bố chiến thắng với một người đã không còn bao giờ có thể tranh cãi với tôi được nữa; nhưng đến cuối buổi tranh luận, câu trả lời của Housman cho câu hỏi đầu là "Có lẽ không hoàn toàn như vậy" và "Có thể không" cho câu hỏi thứ hai.

Có một vài điểm còn nghi ngờ trong suy nghĩ của Housman, và tôi cũng không muốn lôi kéo ông về phía mình; nhưng đó là điều chắc chắn trong suy nghĩ của những người làm khoa học; tôi cũng không phải ngoại lệ. Nếu như một lúc nào đó tôi thấy mình không viết toán mà là viết "về" toán học, thì đó là một lời thú tội về sự yếu kém, điều mà nhiều người trẻ tuổi và những nhà toán học thực thụ cảm thấy tiếc cho bản thân tôi. Tôi đang viết về toán học bởi vì, như những nhà toán học khác khi đã qua tuổi 60, tôi không bao giờ còn có thể suy nghĩ một cách sảng khoái, còn năng lực hay kiên nhẫn để tiếp tục một cách có hiệu quả công việc thực thụ của tôi.

Tôi định đưa ra một lời xin lỗi cho toán học; và có thể ai đó sẽ nói điều đó là không cần thiết, bởi vì ngày nay đã có một số công trình được công nhận rộng rãi là có ích và rất đáng ca tụng, với lý do tốt hoặc xấu. Điều đó có lẽ là đúng; thực ra kể từ thành công vang dội của Einstein , thiên văn học các vì sao và vật lý nguyên tử dường như là hai ngành khoa học duy nhất trội hơn hẳn trong đánh giá của mọi người. Một nhà toán học không cần thiết phải coi mình như đang thủ thế. Không nhất thiết gặp phải sự đối nghịch như Bradley miêu tả việc bảo vệ của thần học trong phần giới thiệu của cuốn "Bề ngoài và thực tế (Appearance and Reality)?”

Một nhà thần học, như Bradley viết, sẽ luôn được nghe mọi người nói "toàn bộ lý thuyết thần học là không thể có được", hoặc "thậm chí nếu nó có thể đúng một phần nhỏ nào đó, nó cũng hoàn toàn không thể đưa ra một ứng dụng thực tế nào". Cũng như vậy, "những vấn đề tương tự, những cuộc tranh luận như nhau, những thất bại hoàn toàn giống nhau. Sao không quên chúng đi và thoát ra khỏi vòng luẩn quẩn? Chả nhẽ không còn việc gì trên đời đáng giá hơn để làm nữa hay sao?". Chắc chắn sẽ không có ai ngu ngốc đến mức dùng những lời đó cho toán học. Khối lượng đồ sộ của chân lý toán học là hiển nhiên; những ứng dụng thực tế như cầu, động cơ và máy hơi nước là không thể chối cãi. Có lẽ không ai cần phải thuyết phục là toán học có lợi ích thực tế nào đó cho cuộc sống. Tất cả, nếu hiểu như thế này, dường như rất thỏa mãn cho những nhà toán học, nhưng thực sự một nhà toán học khó mà có thể chấp nhận được nó. Bất cứ nhà toán học thực thụ nào cũng phải cảm thấy rằng toán học không phải dựa trên những kết quả, những điều tầm thường như vậy, rằng danh tiếng và sự phổ biến rộng rãi của toán học đã được xây dựng phần lớn trên sự nhầm lẫn và thiếu hiểu biết của đa số người, và rằng có cách bảo vệ toán học hợp lý hơn như vậy. Dù thế nào đi nữa, tôi cũng quyết định sẽ đưa ra một lời giải thích. Điếu đó chắc sẽ là một công việc dễ dàng hơn lời xin lỗi của Bradley rất nhiều. Để như vậy, tôi sẽ hỏi tại sao nghiên cứu về toán học lại thực sự đáng giá? Điều gì là lời giải thích hợp lý nhất cho cuộc đời của một nhà toán học? Và câu trả lời của tôi, như bao nhà toán học khác, sẽ đại loại là: Tôi nghĩ điều đó đáng giá và có vô vàn lời giải thích. Nhưng tôi sẽ nói trước là sự bảo vệ của tôi cho toán học sẽ là lời bảo vệ cho chính mình, và lời xin lỗi của tôi về mặt nào đó có vẻ như hơi tự cao tự đại. Tôi sẽ không nghĩ việc xin lỗi cho toán học là đáng giá nếu như tôi tự coi mình là một thất bại của chính bản thân nó. Một phần của việc tự cao như thế này là không thể tránh khỏi, và tôi không nghĩ là cần phải giải thích cho điều đó. Những công trình vĩ đại không bao giờ được làm bởi những con người tầm thường. Một trong những nhiệm vụ đầu tiên của một nhà học giả là phải thổi phồng thêm một ít về sự quan trọng về công việc của mình và những đóng góp của mình trong nó. Một người luôn tự hỏi "Cái tôi đang làm có đáng giá không?" và "Tôi có đúng là người nên làm nó không?" sẽ làm anh ta trở thành một người vô tích sự và làm nhụt chí của cả những người khác. Điều anh ta nên làm là nhắm mắt lại một chút, nghĩ thêm một chút về công việc của mình và về mình hơn là nó đã đáng giá. Việc đó không phải quá khó: cái khó hơn đó là không được làm công việc của anh ta và chính mình trở nên lố bịch vì nhắm mắt lại quá chặt.

Một người muốn giải thích cho sự tồn tại và việc làm của mình thường phân biệt hai câu hỏi khác nhau. Câu đầu tiên là công việc mà anh ta đang làm liệu có đáng giá không; và điều thứ hai, tại sao anh ta lại làm việc đó, không kể đến giá trị của nó là như thế nào. Câu hỏi đầu thường rất khó và dễ làm nản lòng, trong khi đó câu thứ hai lại khá đơn giản. Một cách trung thực, câu trả lời cho chúng thường ở một trong hai thể loại; và loại thứ hai thường chỉ là một biến hình của loại thứ nhất, câu trả lời mà chúng ta thực sự quan tâm. (I) ''Tôi làm cái tôi làm vì đó là một và cũng là cái duy nhất tôi có thể làm tốt. Tôi là một luật sư, một người buôn bán chứng khoán, hay một cầu thủ cricket chuyên nghiệp bởi vì tôi có năng khiếu thực sự cho công việc đó. Tôi là một luật sư vì tôi có một giọng lưỡi trôi chảy và tôi thích sự tinh tế của môn luật; tôi là một người buôn bán chứng khoán vì sự phán đoán thị trường của tôi rất tinh tế và nhanh nhạy; tôi là một cầu thủ cricket chuyên nghiệp vì tôi chơi tốt không thể tưởng tượng được. Tôi cũng đồng ý có lẽ sẽ tốt hơn nếu như tôi trở thành một nhà thơ, hay một nhà toán học, nhưng rất tiếc tôi lại không hề có một tý tài năng cho những môn như vậy.'' Tôi không cho rằng đây là lời bảo vệ của đa số người, vì rất nhiều người không thể làm bất cứ cái gì tốt cả. Nhưng chắc chắn đó là câu trả lời hợp lý, dù chỉ cho một phần nhỏ đại diện: có lẽ 5 hay 10% số người có thể làm một việc gì đó tốt hơn hẳn. Nó còn là một phần nhỏ hơn nhiều nữa cho những người có thể làm một việc gì đó "cực" tốt, và số người có thể làm hai việc tốt liền là không đáng kể. Nếu một người nào đó có một chút ít tài năng, anh ta nên sẵn sàng hy sinh tất cả để theo đuổi nó đến cùng. Quan điểm này cũng đã từng được nhắc đến bởi tiến sỹ Johnson- Khi tôi bảo với anh ta tôi đã từng được thấy (một người trùng tên) Johnson một lúc cưỡi ba con ngựa liền, anh ta nói ngay, ''Ông thấy không, một người như vậy phải được khuyến khích, vì tài năng của anh ta cho thấy khả năng to lớn của loài người...''

và một cách tương tự, Johnson chắc đã vỗ tay khen ngợi những nhà leo núi, những người bơi vượt kênh biển hay những người chơi cờ bịt mắt. Về phần tôi, tôi thực sự cảm kích với tất cả những điều đó về những thành quả đáng kinh ngạc. Tôi cũng cảm kích ngay cả với những nhà ảo thuật hay những người có khả năng nói tiếng bụng; và khi Alekhine và Bradman phá vỡ kỷ lục trước đó, tôi đã rất thất vọng nếu như họ không đạt được như vậy. Và ở điểm này, Johnson và tôi đều tìm thấy mình trong tiếng nói của công luận. Như W.J.Turner đã nói, chỉ có những tay "cù lần" mới không ngưỡng mộ những người "tai to mặt lớn".

Tất nhiên chúng ta phải phân biệt những tính chất khác nhau của mỗi công việc. Tôi thà là một người viết tiểu thuyết hay một họa sỹ hơn là một chính khách với danh tiếng tương tự; và có rất nhiều con đường dẫn đến sự nổi tiếng mà đa số chúng ta sẽ gạt bỏ ngay lập tức vì có thể nguy hại. Mặc dù vậy, những sự khác nhau đó hiếm khi có thể thay đổi lựa chọn của một người trong ngành nghề của mình, cái chính luôn là sự hạn chế trong khả năng của anh ta. Thơ ca có giá trị hơn cricket, nhưng Bradman sẽ thành một chàng khờ nếu như anh ta từ bỏ môn cricket để viết một vài bài thơ nhỏ loại hai (tôi chắc Bradman không thể làm tốt hơn thế). Nếu tài năng của Bradman trong môn cricket bớt đi một chút, và thơ ca lại hơn thì sự lựa chọn có thể sẽ khó hơn nhiều: Tôi không biết là tôi thích làm Victor Trumper hay Rupert Brooke nữa. Cũng may là khă năng như vậy rất hiếm khi xảy ra. Tôi có thể thêm vào rằng những người như vậy khó có thể trở thành những nhà toán học. Thường thì có vẻ hơi phóng đại khi nói về sự khác nhau giữa trí tuệ của những nhà toán học so với những người khác, nhưng không thể phủ nhận là năng khiếu cho toán học là một trong những tài năng đặc biệt nhất, và thường rất khó có thể phân biệt giữa năng lực và sự uyên bác của các nhà toán học. Nếu một người theo nghĩa nào đó là một nhà toán học thực sự, thì 100 ăn 1 là toán của anh ta tốt hơn hẳn so với tất cả những gì mà anh ý có thể làm, và sẽ rất ngu ngốc nếu như anh ta lại đầu hàng, hay từ bỏ cơ hội phát huy tài năng của mình để chạy theo một việc gì đó trong những ngành khác. Sự hy sinh đó chỉ có thể giải thích bằng nhu cầu mưu sinh hay là do tuổi tác.

Tôi nên nói một vài điều ở đây về vấn đề tuổi tác, vì nó là điều đặc biệt quan trọng cho các nhà toán học. Không có nhà toán học nào có thể cho phép mình quên rằng, toán học, hơn hẳn các môn nghệ thuật và khoa học khác, là một trò chơi của những người trẻ tuổi. Lấy một ví dụ đơn giản trong phạm vi nhỏ, tuổi trung bình của các thành viên trong viện hàn lâm là thấp nhất cho toán học. Chúng ta có thể đưa ra nhiều thí dụ to tát hơn nhiều. Ví dụ như, ta có thể xem sự nghiệp của một con người chắc chắn là một trong ba nhà toán học vĩ đại nhất của thế giới. Newton từ bỏ toán học ở tuổi 50, và thực sự thì đã không còn hứng thú từ trước đó rất lâu rồi; chắc chắn ở tuổi 40 Newton đã nhận ra rằng những ngày tháng sáng tạo của mình sẽ không bao giờ còn nữa. Công trình và ý tưởng lớn nhất của ông, về vi phân và lực vạn vật hấp dẫn, nảy sinh trong đầu ông từ năm 1666, khi ông chỉ có 24 tuổi – ''những ngày đó, tôi đang ở đỉnh điểm cho những phát minh, cho toán học và triết học hơn bao giờ hết''. Newton có một số công trình vĩ đại khác khi ông gần 40 (quỹ đạo elliptic ở tuổi 37), nhưng sau đó thì ông làm rất ít và chỉ trau chuốt cho những gì mình đã làm. Galois mất năm 21 tuổi, Abel năm 27, Ramanujan ở tuổi 33 và Riemann năm 40. Có một số người vẫn còn đưa ra những công trình vĩ đại một thời gian sau đó; kết quả của Gauss về hình học vi phân được công bố năm ông 50 (mặc dù ông đã có ý tưởng này từ 10 năm trước đó). Tôi không thể ngay lập tức đưa ra ví dụ về một thành tựu lớn đưa ra bởi một nhà toán học đã qua tuổi 50. Nếu một người đã nhiều tuổi mất đi hứng thú cho và từ bỏ toán học, sự mất mát đó có lẽ là không đáng kể, kể cả cho toán học hay cho bản thân ông ta.

Một mặt khác, cái lợi cũng không được là mấy; những thành tích ghi lại được của những nhà toán học đã bỏ toán cũng khá nản lòng. Newton làm công việc của mình khá tốt (chỉ khi ông không cãi nhau với những người khác). Painlevé không phải là một thủ tướng thành công của Pháp. Sự nghiệp chính trị của Laplace đầy tai tiếng, nhưng dù sao thì Laplace cũng không phải là một ví dụ tốt, thực sự ông không trung thực nhiều hơn là không có khă năng và không bao giờ có thể ''từ bỏ'' toán học. Sẽ rất khó để tìm được một nhà toán học hạng nhất sau khi đã bỏ toán mà vẫn dành được danh tiếng xuất sắc trong một ngành nào đó khác Cũng có thể có một số người trẻ tuổi đã có thể thành những nhà toán học bậc nhất nếu anh ta theo đuổi toán học nhưng tôi cũng chưa bao giờ được nghe một ví dụ lọt tai. Tuy nhiên tất cả những điều này chỉ hoàn toàn xuất phát từ những kinh nghiệm rất hạn chế của bản thân tôi. Những nhà toán học trẻ có tài năng thật sự mà tôi biết đều luôn chung thủy với toán học, và không hề thiếu tham vọng, thậm chí còn thừa những điều đó; tất cả họ đều nhận ra rằng, nếu như có cái gọi là danh vọng, thì đó là con đường sẽ dẫn họ đến.

Vẫn còn một lời giải thích khác mà tôi gọi là biến tấu nhỏ của lời xin lỗi thứ nhất; nhưng tôi có thể gạt bỏ chỉ trong vài từ. (II) ''Chẳng có một cái gì mà tôi có thể làm được tốt. Tôi làm cái tôi đang làm vì đơn giản là nó xuất hiện trên con đường của tôi. Tôi chưa bao giờ có một cơ hội nào để làm cái gì khác cả.'' Và lời xin lỗi này tôi cũng chấp nhận là khá thuyết phục. Cũng đúng khi nói rằng hầu hết mọi người không làm được cái gì giỏi. Nếu quả thực như vậy, thì việc người ấy chọn một ngành nghề nào cũng không ảnh hưởng gì lắm, và cũng chẳng còn gì để nói thêm nữa. Đó là một câu trả lời thuyết phục, nhưng khó có ai có thể nói như vậy với chút gì đó tự hào; và vì thế, tôi có thể giả sử là không ai trong chúng ta hài lòng về nó cả.

Giờ sẽ là lúc chúng ta cùng nghĩ về câu hỏi thứ nhất mà tôi đưa ra ở mục 3, câu hỏi khó hơn nhiều so với câu thứ hai. Liệu toán học, toán học theo đúng nghĩa tôi và những nhà toán học khác vẫn quan niệm, có đáng để nghiên cứu, và nếu như vậy thì tại sao? Tôi đã xem lại những trang đầu trong bài giảng đầu tiên của tôi ở Oxford vào năm 1920, trong đó có một chút tóm lược cho một lời xin lỗi cho toán học. Nó không thỏa đáng lắm (chỉ một vài trang), và được viết theo kiểu mà tôi không mấy tự hào (tôi nghĩ, nó như một bài luận đầu tiên mà tôi cho là "văn phong" của Oxford); nhưng tôi vẫn cảm thấy rằng, dù có phát triển thế nào đi nữa, thì nó cũng chứa đựng những phần thiết yếu của vấn đề. Tôi sẽ đề cập lại ở đây, coi như là mở đầu cho một cuộc thảo luận hoàn chỉnh. (I) Tôi bắt đầu bằng việc nhấn mạnh tính vô hại của toán học - ''việc nghiên cứu toán học là một nghề hoàn toàn vô hại và không có ích''. Tôi vẫn nghĩ như vậy, nhưng hiển nhiên sẽ phải có một sự phát triển và giải thích hợp lý. Liệu toán học đúng là không hề có ích? Về một mặt nào đó, đơn giản là nó không phải như vậy; ví dụ như, nó đem lại nhiều điều thú vị cho rất nhiều người. Dù vậy, tôi đang nghĩ về ''lợi ích'' theo một nghĩa khá hẹp. Liệu toán học có ích, trực tiếp có ích, như các ngành khoa học khác như hóa học hay sinh lý học? Câu hỏi này nhìn chung không dễ nhưng cũng không phải là đầy tranh cãi và tôi sẽ trả lời ngay lập tức là Không, dù một số nhà toán học khác, và hầu hết những người ngoài cuộc sẽ không nghi ngờ mà trả lời Có. Toán học có ''vô hại'' không? Một lần nữa, câu trả lời cũng không phải là hiển nhiên, và tôi bằng cách nào đó vẫn thích tránh trả lời, vì nó sẽ đưa ra cả một vấn đề lớn về tác động của khoa học tới chiến tranh. Toán học liệu có vô hại, theo nghĩa, ví dụ như hóa học đơn giản là không? Tôi sẽ quay trở lại cả hai câu hỏi này ở phần sau. (II) Tôi tiếp tục nói rằng ''vũ trụ là vô cùng, và nếu như chúng ta lãng phí cuộc đời của mình, sự lãng phí cuộc đời của một vài con người lỗi lạc cũng không phải là một khủng hoảng to lớn'': và ở đây tôi dường như đã chấp nhận sự khiêm tốn mà tôi đã gạt bỏ trong vài phút trước. Tôi chắc đó không phải là điều tôi thực sự nghĩ trong đầu; tôi đang cố gói gọn trong một câu một ý mà tôi đã giải thích rất dài ở mục 3. Tôi đã cho rằng những người như chúng ta thực sự có một chút tài năng, và chắc chắn chúng ta đã không sai lầm khi dành hết cuộc đời mình cho nghiên cứu. (III) Và cuối cùng (một cách tu từ, điều mà làm tôi thấy đau đớn bây giờ), tôi nhấn mạnh sự vĩnh cửu của những thành tựu toán học - Những cái chúng ta làm có thể rất nhỏ bé, nhưng nó vẫn có một chút gì đó là vĩnh cửu; và làm được bất cứ một điều gì dù có vĩnh cửu ít đến đâu, dù đó chỉ là một định lý hình học, thì cũng là làm được điều hoàn toàn nằm ngoài khả năng của phần lớn người. Và - Khi vẫn còn những sự mâu thuẫn giữa khoa học cổ đại và hiện đại, chắc chắn sẽ còn nhiều điều để nói về những nghiên cứu, với những kết quả không bắt đầu với Pythagoras và sẽ không kết thúc với Einstein.

Tất cả những điều này nghe có vẻ ''hoa mỹ''; nhưng ý nghĩa của nó tôi vẫn thấy hoàn toàn đúng, và tôi có thể mở rộng nó ngay lập tức mà không ảnh hưởng gì đến những câu hỏi khác mà tôi vẫn để mở.

Tôi sẽ giả sử rằng tôi đang viết cho những người đọc đầy, hoặc trong quá khứ đã từng, tràn đầy lòng tham vọng. Nhiệm vụ đầu tiên của một con người, ít ra cho một người trẻ tuổi, là phải có nhiều khát vọng. Tham vọng là một niềm say mê cao quý mà có rất nhiều cách thể hiện; có một điều gì đó đáng khâm phục trong tham vọng của Attila hay Napoleon: niềm tham vọng cao quý nhất đó là để lại cho đời sau một thứ gì đấy có giá trị vĩnh cửu- Ở đây, trên những bãi cát dài, Giữa những đại dương và đất liền, Tôi sẽ viết hay xây cái gì đây, Trước khi ánh đêm buông xuống? Hãy chỉ cho tôi những điều thần bí Đang chứa những cơn sóng tuôn trào, Hay những pháo đài để thiết kế Vẫn còn được nhớ mãi khi tôi qua đời.

Tham vọng luôn luôn là động lực đằng sau tất cả những công trình vĩ đại nhất của nhân loại. Nói riêng thì, thực tế cho thấy những đóng góp to lớn thiết thực cho hạnh phúc của loài người đều được tạo ra bởi những con người đầy tham vọng. Nếu phải lấy hai ví dụ nổi tiếng, chả nhẽ đấy không phải là tính cách của Lister và Pasteur? Hay một cách tương tự, vua Gillette và William Willett; ai trong thời gian gần đây đã cống hiến cho nhân loại nhiều hơn họ?

Sinh lý học cũng là một ví dụ khá tốt, vì đơn giản nó là một ngành khoa học có "lợi ích" thiết thực. Chúng ta phải cẩn thận trong sự nhầm lẫn chung của những lời xin lỗi cho khoa học: sự nhầm lẫn khi cho rằng những người mà công trình của họ đóng góp nhiều nhất cho lợi ích nhân loại thực sự nghĩ đến điều đó khi họ làm công việc của mình, hay nói riêng, một cách tương tự, đó là những nhà sinh lý học đều có một tâm hồn cao cả. Một nhà sinh lý học có lẽ sẽ rất vui mừng khi được biết công trình của mình có đóng góp cho loài người, nhưng động lực thúc đẩy và niềm khát vọng cho nó thực ra cũng chẳng khác gì so với những nhà học giả kinh điển hay một nhà toán học.

Có rất nhiều động lực cao quý dẫn con người đến việc nghiên cứu, nhưng chỉ có ba điều là quan trọng hơn cả. Điều đầu tiên (nếu như không có điều này thì hai điều sau cũng là vô nghĩa) đó là sự tò mò trí tuệ, niềm mong muốn tìm hiểu sự thật và vươn đến chân lý. Tiếp đó là sự kiêu hãnh trong nghề, sự khao khát muốn được hài lòng với công việc của mình, sự xấu hổ của bất cứ một người nghệ nhân tự tôn khi thấy thành quả của anh ta không xứng đáng với năng lực của mình. Và cuối cùng là tham vọng, khát vọng cho danh tiếng, địa vị và thậm chí có thể là quyền lực hay tiền bạc mà nó có thể mang lại. Nó có thể rất tuyệt vời khi anh cảm thấy công việc của mình đã đem lại hạnh phúc hay giảm những nối đau cho người khác, nhưng đó không phải là lý do anh làm như vậy. Do đó, nếu như một nhà toán học, hay một nhà hóa học, hay thậm chí một nhà sinh lý học nói với tôi rằng động lực thúc đẩy anh ta là lợi ích nhân loại thì tôi sẽ không thể tin được (tôi cũng không nghĩ về anh ta tốt hơn nếu như tôi có tin đi chăng nữa). Động lực chính của anh ta chắc chắn phải là những điều tôi đã đề cập ở trên, và chẳng ai cần phải xấu hổ vì chúng cả.

Nếu sự tò mò trí tuệ, sự kiêu hãnh trong nghề và tham vọng là động lực chính thúc đẩy đến nghiên cứu, thì chắc chắn không ai có nhiều cơ hội để giải thích hơn một nhà toán học. Môn của anh ta là đáng tìm hiểu hơn cả- không có điều gì mà chân lý có thể đùa cợt được. Nó chứa đựng những công cụ trau chuốt, tỉ mỉ và quyến rũ, và mang đến những cơ hội không gì sánh được cho việc thể hiện tài năng của con người. Và cuối cùng, lịch sử đã cho thấy, những thành tựu toán học, bất kể giá trị bên trong của nó là thế nào, là những thứ tồn tại lâu dài và vĩnh cửu nhất. Chúng ta có thể thấy điều này ngay cả ở những nền văn minh trung sử (semi-historic civilizations) (?). Nền văn minh Babylon và Assyrian đã bị hủy diệt; Hammurabi, Sargon và Nebuchadnezzar là những cái tên vô nghĩa; mặc dù vậy toán học thời Babylon vẫn còn được quan tâm, và hệ thống chia độ trên 60 của người Babylon vẫn còn được dùng trong thiên văn học. Nhưng tất nhiên, ví dụ quan trọng nhất là của người Hy Lạp. Những người Hy Lạp là những nhà toán học đầu tiên vẫn còn "sống" với chúng ta ngày nay. Toán học phương đông có thể cũng là một điều thú vị nhưng toán học của người Hy Lạp là một cái gì đó thực sự. Người Hy Lạp là những người đầu tiên nói thứ ngôn ngữ mà những nhà toán học hiện đại vẫn có thể hiểu; như Littlewood đã có lần nói với tôi, họ không phải chỉ là những cậu bé thông minh ở trường học, cũng không phải là những sinh viên đáng được nhận học bổng, mà là "những thành viên của một học viện khác". Do đó toán học Hy Lạp là "vĩnh cửu", lâu dài hơn cả văn học Hy Lạp. Archimedes sẽ còn được nhớ đến trong khi Aeschylus bị quên lãng, bởi vì ngôn ngữ thì chết đi nhưng những ý tưởng toán học thì không. "Bất tử" có thể là một từ lố bịch, nhưng có lẽ một nhà toán học có nhiều cơ hội nhất cho bất kể điều gì nó có thể có nghĩa.

Anh ta cũng không phải sợ tương lai sẽ không công bằng với mình. Bất tử đôi khi cũng buồn cười và tàn nhẫn: một số người trong chúng ta có thể đã chọn là Og, Ananias hay Gallio. Ngay cả trong toán học, đôi khi lịch sử cũng bị nhẫm lẫn; Rolle xuất hiện trong các sách toán giải tích như là một nhà toán học ngang hàng với Newton; Farey vẫn sống mãi vì không thể hiểu một định lý Haros đã chứng minh mười bốn năm trước đó; tên của năm người Na Uy đáng quý vẫn được nhắc đến trong cuộc đời của Abel, chỉ vì những hành động ngu đần của họ mà con người vĩ đại của đất nước đã phải trả giá. Nhưng nhìn tổng thể thì lịch sử thường công bằng, và điều này nói riêng thường đúng trong toán học. Không có một ngành khoa học nào có những tiêu chuẩn rõ ràng, được chấp nhận rộng rãi, và những con người được nhớ đến hầu như luôn luôn là những người xứng đáng với nó. Danh tiếng của toán học, nếu như anh có đủ tiền để trả cho nó, là một trong những sự đầu tư có cơ sở và vững vàng nhất.

Tất cả những điều đã nói rất thỏa mãn với những nhà học giả ưu tú, và đặc biệt cho những giáo sư toán học. Mọi người, luật sư hay chính khách hay những nhà doanh nghiệp, vẫn cho rằng một nghề dính dáng đến lý thuyết trừu tượng thường chủ yếu là dành cho những con người thận trọng và không tham vọng, những người chỉ quan tâm chủ yếu đến sự an nhàn và bảo đảm của chính mình. Sự chỉ trích thực ra khá nhầm lẫn. Những nhà học giả thường chấp nhận đầu hàng một số thứ, trong đó nói riêng là cơ hội làm ra nhiều tiền- một giáo sư rất khó có thể kiếm được £2000 một năm; và vị trí bảo đảm là một trong những yếu tố nói riêng làm sự đầu hàng này khá dễ dàng. Nhưng đó không phải là lý do tại sao Housman đã từ chối trở thành Nghị sỹ Simon hay Nghị sỹ Beaverbrook. Ông từ chối điều đó bởi vì tham vọng của chính bản thân mình, vì ông sẽ thấy khinh bỉ mình khi trở thành những con người sẽ bị quên lãng chỉ trong vòng 20 năm. Mặc dù vậy, quả thật là đau đớn khi thấy rằng, với tất cả những lợi thế như vậy, một người có thể nhầm lẫn. Tôi vẫn nhớ Bertrand Russell có kể cho tôi về một giấc mơ khủng khiếp. Russell đang ở trên tầng trên cùng của thư viện trường đại học, khoảng năm 2100. Một người giúp việc ở thư viện đang đi vòng quanh các giá sách và mang theo một cái xô to khủng khiếp, lấy từng quyển sách một, liếc qua chúng, sau đó thì hoặc là xếp lại chúng trên giá hoặc là quẳng vào xô. Cuối cùng anh ta đi đến ba tập sách lớn, Russell có thể kịp nhận ra đó là những bản sao cuối cùng của Principia Mathematica. Người thủ thư lấy xuống một quyển, lật vài trang đầu, dường như suy nghĩ về những ký hiệu lạ lùng trong vài phút, đóng sách lại, cầm sách trong tay và cân nhắc...

Một nhà toán học, cũng như một họa sĩ hay một nhà thơ, là người tạo ra những kiểu mẫu. Nếu như kiểu mẫu của anh ta tồn tại được lâu hơn so với những người khác, đó là vì chúng được tạo ra bởi những ý tưởng. Một nhà danh họa tạo phong cách bằng các hình khối và màu sắc, một nhà thơ thì dùng ngôn ngữ. Một bức tranh có thể mang một "ý tưởng", nhưng ý tưởng đó thường rất là chung và không quá quan trọng. Trong thơ ca, có thể ý tưởng sẽ đóng góp một phần quan trọng hơn; nhưng, như Housman luôn luôn khẳng định, sự quan trọng của ý tưởng trong thơ ca thường hay được hư cấu hóa lên: 'Tôi không thể tự đồng ý với chính mình rằng có cái gì đấy gọi là ý tưởng thơ ca... Thơ ca không phải là về những thứ được nhắc đến, mà là cách diễn tả nó.'

Liệu những dòng thơ trên có thể tốt hơn, và liệu những ý tưởng có thể lặp lại một cách nhàm chán? Sự nghèo nàn của ý tưởng dường như không hề ảnh hưởng đến vẻ đẹp của ngôn ngữ. Một nhà toán học, trái lại, không có một thứ gì để làm cùng ngoại trừ ý tưởng, và do đó những kiểu mẫu của anh ta có khả năng kéo dài lâu hơn, vì ý tưởng thường khoác chiếc áo thời gian ít hơn ngôn ngữ.

Kiểu mẫu của một nhà toán học, như những gì của một danh họa hay một nhà thơ, phải đẹp; ý tưởng, giống như màu sắc hay ngôn từ, phải đi với nhau một cách rất điều hòa. Đẹp là một thử thách đầu tiên: không có một chỗ nào lâu dài cho những kết quả toán học thô kệch. Và ở đây, tôi phải giải thích cho một sự nhầm lẫn mà đến bây giờ vẫn còn khá phổ biến (dù cũng không còn nhiều như nó đã 20 năm trước), cái mà Whitehead đã gọi là "mê tín dị đoan", đó là tình yêu và sự nhận thức có thẩm mỹ cho toán học là "một độc tưởng chỉ áp dụng cho một vài con người lập dị ở mỗi một thế hệ".

Quả thật sẽ là khó để tìm được một con người có giáo dục thực sự chuyên sâu, quan tâm đến sự quyến rũ thẩm mỹ của toán học bây giờ. Có lẽ cũng hơi khó để có thể định nghĩa vẻ đẹp toán học, nhưng nó cũng đúng như vẻ đẹp của bất cứ một cái gì khác -chúng ta có thể không biết rõ cái mà chúng ta vẫn cho là một bài thơ đẹp, nhưng điều đó cũng không thể làm chúng ta không nhận ra khi chúng ta đọc chúng.

Ngay cả giáo sư Hogben, người đã cho rằng sự quan trọng của vẻ đẹp toán học là rất ít, cũng không dám mạo hiểm để phủ nhận thực tế của nó. "Chắc chắn là vẫn có những người mà những bài toán là một sự hấp dẫn không liên quan đến riêng ai... sức lôi cuốn về thẩm mỹ của toán học có thể là đúng cho một số người". Nhưng chỉ có một số ít, ông cho như vậy, và họ hờ hững với thế giới xung quanh (và đó thực sự là những con người lố bịch, sống thu gọn trong những ngôi trường đại học nhỏ bé ngớ ngẩn, xa rời với những cơn gió mát lành của vũ trụ). Ở đây ông ta đã lặp lại từ "mê tín dị đoan" của Whitehead.

Sự thật là có một số môn "phổ biến" hơn toán học. Hầu hết mọi người đều coi trọng toán học, cũng như hầu hết mọi người có thể thích một điệu nhạc dễ nghe; và có thể có nhiều người thực sự quan tâm đến toán học hơn là đến âm nhạc. Nhìn qua thì có vẻ ngược lại, nhưng có những lời giải thích khá đơn giản. Âm nhạc có thể được dùng để làm tinh thần hứng thú, trong khi đó toán học thì không; và việc không có năng khiếu âm nhạc được cho (chắc chắn là) một điều bình thường, trong khi đó hầu hết mọi người đều sợ cái từ toán học đến nỗi họ sẵn sàng, một cách tự nhiên, phóng đại sự yếu kém của mình trong toán học. Một sự tương phản nhỏ cũng để cho thấy sự không hợp lý của cái gọi là "mê tín dị đoan". Có vô số người chơi cờ ở các nước văn minh - ở Nga, hầu hết tất cả những người được đi học; và mỗi người chơi cờ đều có thể nhận ra và thán phục một thế cờ hay một ván cờ "đẹp". Nhưng một thế cờ chỉ đơn giản là một bài tập của toán lý thuyết (một ván cờ thì cũng không hoàn toàn, vì tâm lý cũng có một phần khá quan trọng), và những người cho một thế cờ là "đẹp" chính là đang vỗ tay cho vẻ đẹp của toán học, mặc dù nó chỉ đẹp ở một nghĩa tương đối khá là hẹp. Những thế cờ là những giai điệu của toán học. Chúng ta có thể thấy các ví dụ tương tự, ở các bậc thấp hơn nhưng rõ hơn với số đông công chúng, từ trò chơi bài bridge, hay thấp hơn nữa, từ những câu đố của nhùng tờ báo quen thuộc. Hầu hết sự phổ biến sâu rộng của chúng là một sự tán thưởng cho sức quyến rũ của một thứ toán học rất thô sơ, và những người chuyên nghĩ ra câu đố, như Dudeney hay "Caliban" dùng rất ít các thứ khác. Họ biết rõ công việc của mình; điều mà công chúng muốn là một sự lôi cuốn trí tuệ, và không có cái gì khác như vậy như là sự lôi cuốn của toán học. Tôi có thể thêm rằng không có gì trên thế giới này có thể làm hài lòng thậm chí cả những người nổi tiếng (và cả những người đã dùng những ngôn ngữ chê bai toán học) đến mức như là khám phá, hay khám há lại, một định lý toán học thực sự. Herbert Spencer đăng trong bản tự truyện của mình một định lý ông ta chứng minh khi mới 20 tuổi (mà không biết rằng nó đã được chứng minh các đây hơn 2000 năm trước thời Plato). Giáo sư Soddy là một ví dụ gần đây và hấp dẫn hơn (nhưng định lý đó thực sự là của ông).

Một thế cờ là một bài toán thuần túy, nhưng về một mặt nào đó nó là một bài toán "tầm thường". Bất kể có tinh xảo và rắc rối đến đâu, bất kể những bước đi là nguyên thủy và bất ngờ đến như thế nào, nó vẫn thiếu một yếu tố quan trọng. Các thế cờ "không quan trọng". Toán học thuần túy vừa phải đòi hỏi nhiều suy nghĩ vừa phải đẹp - hay có thể nói là "quan trọng" nếu anh muốn, nhưng từ đó rất mơ hồ ở đây, và "đòi hỏi nhiều suy nghĩ" diễn tả nhiều hơn điều tôi muốn nói. Tôi không nghĩ về những lợi ích "thực tế" của toán học bây giờ. Tôi phải quay lại quan điểm này sau: hiện tại tôi sẽ chỉ nói rằng nếu một thế cờ, theo nghĩa nguyên sơ nhất, là "vô dụng", thì điều đó cũng đúng cho hầu hết những cái đẹp đẽ nhất của toán học; vì chỉ một phần rất nhỏ của toán học là có ý nghĩa thực tế, và cái phần rất nhỏ đó có thể hoàn toàn coi như là vô nghĩa. Sự "quan trọng" của một định lý toán học không nằm ở trong những kết quả thực tế, điều mà nó thường không đáng kể, mà là ở tầm quan trọng của những ý tưởng toán học nó có thể kết nối. Chúng ta có thể nói một cách đại khái là một định lý toán học là "đáng chú ý" nếu nó có thể được liên kết, một cách rất tự nhiên và đẹp đẽ, với một khối lượng lớn các ý tưởng toán học khác. Do đó một định lý đáng chú ý, định lý mà liên hệ được với các ý tưởng lớn, thường có nhiều khả năng dẫn đến những bước đột phá quan trọng trong bản thân toán học và thậm chí cả trong những ngành khoa học khác. Không có một thế cờ nào gây ảnh hưởng đến sự phát triển nói chung của những ý tưởng khoa học; trong khi đó Pythagoras, Newton, Einstein đã thay đổi cả hướng phát triển của nó. Sự quan trọng của toán học tất nhiên không nằm trong kết quả của nó, điều đó chỉ là bằng chứng của tầm quan trọng. Shakespeare có một ảnh hưởng to lớn trong sự phát triển của nền văn học Anh, Otway không phải là người duy nhất, nhưng đó không phải là lý do tại sao Shakespeare là một nhà thơ lớn hơn. Ông giỏi hơn là vì ông viết những bài thơ kiệt tác hơn. Sự kém hơn của một thế cờ, cũng như thơ của Otway, không phải trong kết quả của nó mà là trong nội dung.

Có một điểm nữa mà tôi sẽ bỏ qua rất nhanh, không phải vì nó không thú vị mà bởi vì nó rất khó, và vì tôi không có một tư cách nào để thảo luận một cách nghiêm túc về vấn đề thẩm mỹ. Vẻ đẹp của một định lý toán học phụ thuộc rất nhiều vào tầm quan trọng của nó, như ngay cả trong thơ ca, vẻ đẹp của một vần thơ có thể tùy thuộc vào những hình ảnh, ý tưởng mà nó chứa đựng. Tôi đã trích dẫn hai câu thơ của Shakespeare như là một ví dụ về một kiểu mẫu đẹp; nhưng

Anh ngủ ngon sau những cơn sốt dài của cuộc sống Có vẻ như còn đẹp hơn. Kiểu mẫu cũng hay như vậy, nhưng trong ví dụ này các hình ảnh của nó có ý nghĩa và nghe lọt tai hơn, do đó tình cảm của chúng ta được khuấy động sâu hơn. Ý tưởng có ảnh hưởng đến kiểu mẫu, thậm chí cả trong thơ ca, và một cách tự nhiên còn nhiều hơn thế trong toán học; nhưng tôi sẽ không cố gắng tranh cãi vấn đề một cách chặt chẽ hơn.

Bây giờ rõ ràng là, nếu như chúng ta muốn đi xa hơn nữa, tôi phải đưa ra những ví dụ cụ thể của các định lý toán học "thực thụ", các định lý mà tất cả các nhà toán học sẽ đều phải thừa nhận là hạng nhất. Và ở đây tôi thấy khá khó khăn do sự hạn chế của những gì tôi đang viết. Về một mặt, các ví dụ của tôi phải rất đơn giản, và hiểu được với một người đọc thậm chí không hề có kiến thức chuyên môn về toán; không có một lời giải thích nào được yêu cầu trước; và một người đọc bất kỳ phải có thể theo dõi lời giải cũng như đề bài. Những điều kiện này đã loại bỏ rất nhiều những định lý đẹp nhất của lý thuyết số như định lý "hai số chính phương" của Fermat hay luật nghịch đảo tương hỗ của Gauss. Mặt khác, các ví dụ của tôi phải được đưa ra từ toán học "thực thụ", thứ toán học của những người làm toán chuyên nghiệp; và điều kiện này loại trừ những định lý tương đối khá dễ dàng và dễ hiểu nhưng liên quan đến logic và triết học. Tôi khó có thể làm gì tốt hơn là quay về với những người Hy Lạp. Tôi sẽ phát biểu và chứng minh hai định lý nổi tiếng của toán học Hy Lạp. Đó là các định lý "đơn giản", đơn giản ngay cả trong ý tưởng và cách lập luận, nhưng không hề có nghi ngờ nào rằng chúng là các định lý đẹp. Mỗi định lý đều còn mới mẻ và quan trọng như khi chúng mới được tìm ra - hai nghìn năm vẫn chưa viết nên một nếp nhăn nào trên chúng. Và cuối cùng, cả hai mệnh đề và lời giải đều có thể hiểu được trong vòng một giờ bởi bất kỳ một người đọc thông minh nào, bất kể trang bị toán học của anh ta có ít đến đâu.

mà không thể viết thành tích của các thừa số nhỏ hơn. Do đó 37 và 317 là nguyên tố. Số nguyên tố là nền tảng tạo thành tất cả các số bởi phép nhân: ví dụ 666 = 2.3.3.37. Mọi số không nguyên tố đều chia hết cho ít nhất một số nguyên tố (tất nhiên thường là nhiều hơn một). Chúng ta phải chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố, có nghĩa là dãy số (A) không bao giờ kết thúc.

là toàn bộ dãy số (do đó P là số nguyên tố lớn nhất); và ta, với giả thuyết này, hãy xem xét số Q xác định bởi công thức                                                    Q = (2.3.5...P) + 1.

Đơn giản thấy rằng Q không chia hết cho 2, 3, 5, ..., P; bởi vì nó đều cho số dư là 1 khi chia cho bất cứ số nào trong dãy. Nhưng nếu bản thân nó không phải là số nguyên tố, thì nó phải chia hết cho một số nguyên tố nào đó, và do vậy có một số nguyên tố (cũng có thể là chính Q) lớn hơn các số trong dãy. Điều này mâu thuẫn với giả sử của chúng ta rằng không có số nguyên tố nào lớn hơn P; và do vậy giả thuyết này là sai. Chứng minh này dùng phương pháp phản chứng, một phương pháp mà Euclid rất thích và cũng là một trong những vũ khí đẹp nhất của toán học. Nó là một nước đi đẹp hơn nhiều so với bất cứ một nước cờ thí nào: một người chơi cờ có thể chịu hy sinh, thí một quân tốt hay một quân cờ, nhưng một nhà toán học thì thí cả ván cờ.

2. Ví dụ thứ hai của tôi là chứng minh của Pythagoras về “tính vô tỷ” của căn bậc 2 của 2.

không thể thỏa mãn với các giá trị nguyên của a và b mà không có ước số chung nào. Đây là một định lý của số học thuần túy mà không đòi hỏi bất kì kiến thức nào về các số vô tỷ hay một lý thuyết nào về bản chất của chúng.

Chúng ta lại lý luận bằng phương pháp phản chứng; chúng ta giả sử rằng (B) có nghiệm, với a và b là các số nguyên không có ước số chung. Từ (B) có thể suy ra a^2 là số chẵn (vì 2b^2 chia hết cho 2), và do đó a là số chẵn (vì bình phương của một số lẻ là số lẻ). Vì a là số chẵn nên

với c là một số nguyên; và do đó                                                2b^2 = a^2 = (2c)^2 = 4c^2 hay

Tôi có thể đưa ra bất kỳ một số lượng nào về các định lý đẹp trong lý thuyết số mà mọi người có thể hiểu ý nghĩa của chúng. Ví dụ, có một định lý được gọi là “định lý cơ bản của số học” phát biểu rằng bất kỳ số nguyên nào đều có thể phân tích, bằng một cách duy nhất, thành tích của các số nguyên tố. Do đó 666 = 2.3.3.37, và không có cách phân tích nào khác; không thể là 666 = 2.11.19 hay 13.89 = 17.73 (và chúng ta có thể thấy điều này mà không cần tính các tích trên). Định lý này, như tên gọi của nó, là cơ sở của số học cao cấp hơn, nhưng chứng minh, dù không khó, đòi hỏi một số lượng kiến thức dẫn nhập nhất định và có thể làm mệt mỏi những độc giả không chuyên. Một định lý đẹp và nổi tiếng khác là định lý “hai số chính phương” của Fermat. Các số nguyên tố (nếu chúng ta bỏ qua số nguyên tố đặc biệt 2) đều có thể được sắp xếp thành 2 nhóm; các số nguyên tố                                                            5, 13, 17, 29, 41, …

khi chia 4 cho số dư là 3. Tất cả các số nguyên tố trong nhóm đầu tiên, và không có số nguyên tố nào trong nhóm thứ hai, có thể biểu diễn dưới dạng tổng của bình phương của 2 số nguyên: do đó                                                       5 = 1^2 + 2^2 ;  13 = 2^2 + 3^2,                                                       17 = 1^2 + 4^2 ; 29 = 2^2 + 5^2;

nhưng 3, 7, 11, và 19 đều không thể biểu diễn theo cách này (độc giả có thể tự kiểm chứng dễ dàng). Đây là định lý của Fermat mà có thể được đáng giá một cách rất thỏa đáng là một trong những định lý đẹp nhất của số học. Tiếc rằng không có chứng minh nào có thể hiểu được bởi những người không phải là các nhà toán học chuyên nghiệp. Còn có những định lý đẹp khác trong “lý thuyết tập hợp” (Mengenlehre) như định lý Cantor về “tính không đếm được” của lực lượng continuum. Chứng minh trở nên dễ dàng một khi ngôn ngữ được nắm vững, nhưng một số lượng giải thích đáng kể trở nên cần thiết trước khi ý nghĩa của định lý trở nên rõ ràng. Vì thế tôi sẽ không cố gắng đưa thêm các ví dụ khác. Những định lý tôi đã dẫn chứng là những trường hợp tiêu biểu, và một độc giả nào không hiểu rõ giá trị của chúng thì sẽ không thể đánh giá đúng về bất kỳ điều gì trong toán học.

Tôi từng nói rằng nhà toán học là người vẽ nên các khuôn mẫu của ý tưởng, vẻ đẹp và tầm quan trọng là những tiêu chuẩn mà dựa trên đó những khuôn mẫu được đánh giá, tôi khó có thể tin là bất kỳ một ai hiểu được hai định lý trên lại có thể phản đối rằng chúng thỏa mãn những tính chất này. Nếu chúng ta so sánh chúng với những câu đố tinh xảo nhất của Dudeney, hay những ván cờ đẹp nhất mà những bậc thầy của nghệ thuật đó đã tạo ra, sự ưu việt trong cả hai tính tính chất đều nổi trội lên: có một sự khác biệt không thể nhầm lẫn được về đẳng cấp. Chúng quan trọng hơn, và cũng đẹp hơn; liệu chúng ta có thể định nghĩa, một cách chính xác hơn, vị trí của sự ưu việt đó?

Trước hết, sự thống trị của các định lý toán học trong tính nghiêm túc là hiển nhiên và quá lớn lao. Một thế cờ là tổng hợp của các bước đi thông minh nhưng rất hạn chế trong độ phức tạp của ý tưởng, về cơ bản chúng thường không khác nhau là mấy và không có ảnh hưởng gì bên ngoài. Chúng ta có thể đặt trong trường hợp như cờ vua chưa bao giờ được khám phá ra, trong khi đó các định lý của Euclid và Pythagoras đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến cách suy nghĩ, thậm chí cả bên ngoài toán học. Cũng như vậy định lý của Euclid là thiết yếu cho toàn bộ cấu trúc của số học. Số nguyên tố là những yếu tố cơ bản từ đó chúng ta xây dựng nên lý thuyết số, và định lý Euclid đảm bảo rằng chúng ta có vô số các yếu tố cơ bản để làm việc đó. Nhưng định lý của Pythagoras còn có ứng dụng rộng lớn hơn và cung cấp một kết quả tốt hơn. Đầu tiên chúng ta nên thấy rằng lập luận của Pythagoras có thể mở rộng ra xa hơn nữa, và có thể được áp dụng, với rất ít thay đổi về nguyên tắc, cho một lớp lớn các số "vô tỷ". Chúng ta có thể chứng minh một cách tương tự rằng (như Theodorus có lẽ đã làm)                                                      √‾3, √‾5, √‾7, √‾11, √‾13, √‾17

là vô tỷ, hay (đi xa hơn so với Theodorus) rằng căn bậc 3 của 2, căn bậc 3 của 17 cũng là vô tỷ . Định lý Euclid cho chúng ta biết rằng chúng ta có những yếu tố cơ bản để xây dựng nên một hệ thống chặt chẽ các số nguyên. Định lý Pythagoras và những mở rộng của nó còn chứng tỏ rằng khi ta đã cấu tạo nên hệ thống số này, điều đó vẫn còn chưa đủ, vì vẫn còn rất nhiều độ dài buộc chúng ta phải chú ý vì chúng không thể đo được; đường chéo của một hình vuông là một ví dụ rõ ràng nhất. Sự quan trọng sâu sắc của phát hiện này đã được nhận ra bởi các nhà toán học Hy Lạp. Họ đã bắt đầu bằng cách giả sử (thêm vào đó, tôi cho rằng, là ảnh hưởng “tự nhiên” của “trực quan”) tất cả các độ dài cùng đơn vị đều có thể đo được, rằng bất cứ hai độ dài nào cũng là bội số của một đơn vị chung, và họ đã xây dựng một lý thuyết về tỷ lệ dựa trên giả định này. Phát hiện của Pythagoras đã chỉ ra sự vô lý của cơ sở này, và dẫn tới việc xây dựng một lý thuyết sâu sắc hơn của Eudoxus, được nêu ra trong cuốn thứ năm của bộ Elements, bộ sách được các nhà toán học đánh giá là thành tựu vĩ đại nhất của nền toán học Hy Lạp. Lý thuyết này chứa đựng một tư tưởng hiện đại đáng ngạc nhiên, và có thể được xem như sự khởi đầu của lý thuyết hiện đại về các số vô tỷ, điều này đã tạo ra một cuộc cách mạng cho giải tích toán học, và có nhiều ảnh hưởng hơn đến nền triết học hiện tại.

Không còn nghi ngờ gì về tính "nghiêm túc” của hai định lý trên. Do đó tốt hơn là ta chú ý rằng không có định lý nào trong chúng có một ý nghĩa thực tiễn dù nhỏ nhất. Trong các ứng dụng thực tiễn chúng ta chỉ quan tâm tới các số nhỏ vừa phải; chỉ có ngành thiên văn học nghiên cứu các vì sao và vật lý nguyên tử liên quan tới các số "lớn”, và chúng có rất ít ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn nào khác ngoại trừ trong toán học trừu tượng thuần túy nhất. Tôi không biết độ chính xác cao nhất mà một kỹ sư cho là cần thiết – chúng ta sẽ rất hào phóng nếu đưa ra mười chữ số quan trọng. Khi đó     3,14159265
(giá trị của số Pi với tám chữ số thập phân) là tỷ số                                                        314159265/1000000000

của hai số với mười chữ số. Số các số nguyên tố bé hơn 1.000.000.000 là 50.847.478: điều này là đủ đối với một kỹ sư và anh ta hoàn toàn hạnh phúc với chúng mà không cần những con số còn lại. Định lý Euclid là dư thừa; và đối với định lý Pythagoras, rõ ràng là các số vô tỷ đều không hấp dẫn đối với một kỹ sư, vì anh ta chỉ quan tâm tới các xấp xỉ, mà các xấp xỉ đều là số hữu tỷ.

Một định lý “nghiêm túc” là một định lý chứa đựng các ý tưởng “quan trọng”, và tôi cho rằng tôi cần phân tích kỹ hơn những đặc tính làm cho một ý tưởng toán học trở nên quan trọng. Điều này rất khó, và không chắc rằng tôi có thể đưa ra một sự phân tích nào thật sự có giá trị. Chúng ta có thể nhận ra một ý tưởng “quan trọng” khi chúng ta thấy nó, cũng như chúng đã xuất hiện trong hai định lý mà tôi đã đưa ra; nhưng khả năng nhận biết này đòi hỏi một mức độ phức tạp cao, và sự quen thuộc với các ý tưởng toán học mà chỉ đến sau nhiều năm nghiên cứu. Vì thế tôi phải thử nghiệm một cách phân tích nào đó; và dù không đầy đủ, nó phải hợp lý và dễ hiểu khi được đưa ra. Có hai tính chất mà lúc nào cũng cần thiết, một mức độ tổng quát và một độ sâu nhất định; nhưng không đặc tính nào có thể được định nghĩa chính xác hoàn toàn một cách dễ dàng. Một ý tưởng toán học quan trọng, một định lý toán học nghiêm túc phải “tổng quát” theo nghĩa sau. Ý tưởng phải là sự hợp thành từ nhiều cấu trúc toán học và được dùng trong các chứng minh của nhiều loại định lý khác nhau. Định lý dù ban đầu được phát biểu (như định lý Pythagoras) theo một dạng khá đặc biệt, nhưng phải có khả năng mở rộng đáng kể và tiêu biểu cho một lớp các định lý cùng loại. Mối tương quan thể hiện qua định lý phải kết nối nhiều ý tưởng toán học quan trọng. Tất cả các điều trên đều không rõ ràng và tùy thuộc vào nhiều yếu tố định trước. Nhưng chúng đủ dễ dàng để nhận ra một định lý không hẳn là nghiêm túc khi nó thiếu các đặc tính trên một cách rõ ràng; chúng ta chỉ cần lấy ra một số ví dụ từ các tính chất đặc biệt trong số học. Tôi đưa ra hai ví dụ, hầu như ngẫu nhiên, từ cuốn Giải trí Toán học của Rouse Ball .

và không còn số nào khác bé hơn 10,000 có tính chất này. (b) Chỉ có bốn số bằng tổng của lập phương các chữ số của chúng, đó là                               153 = 1^3 + 5^3 + 3^3 ; 370 = 3^3 + 7^3 + 0^3                                371 = 3^3 + 7^3 + 1^3 ; 407 = 4^3 + 0^3 + 7^3 Đó là những sự thật lạ kỳ, rất thích hợp cho các câu đố toán học và hấp dẫn những người nghiệp dư, nhưng chúng không có gì để lôi cuốn một nhà toán học. Chứng minh không khó hay thú vị - chỉ đơn thuần là một chút mệt nhọc. Định lý không nghiêm túc; và có lẽ một lý do (dù không hẳn là quan trọng nhất) là tính đặc biệt quá mức của cả đề bài lẫn chứng minh, mà điều này không thể tạo ra một sự tổng quát quan trọng nào.

"Sự tổng quát" là một từ mơ hồ và hơn thế nữa khá nguy hiểm, và chúng ta phải cẩn thận tránh không để nó chi phối cuộc thảo luận của chúng ta quá nhiều. Nó được dùng trong nhiều ngữ cảnh cả trong toán học và những bài viết về toán học, và nói riêng thì một trong số đó đã được các nhà logic đặt một sự quan tâm rất lớn nhưng hoàn toàn không liên quan gì đến những gì chúng ta nói ở đây. Theo nghĩa đơn giản đó thì tất cả các định lý toán học là hoàn toàn "tổng quát" và tổng quát như nhau. "Sự chính xác của toán học", nói như Whitehead , "phụ thuộc vào sự tổng quát hóa trừu tượng đầy đủ của nó". Khi chúng ta khẳng định rằng 2 + 3 = 5, chúng ta đang khẳng định một mối quan hệ giữa ba nhóm "đối tượng"; và các "đối tượng" này không phải là những quả táo hay những đồng xu, hay bất kỳ một loại đối tượng riêng biệt nào, mà chỉ đơn giản là các đối tượng, "bất kỳ đối tượng nào". Ý nghĩa của khẳng định này hoàn toàn phụ thuộc vào các cá thể của các phần tử của các nhóm. Tất cả các "đối tượng", hay "thực thể", hay "quan hệ" toán học như "2", "3", "5", "+", hay "=", và tất cả các mệnh đề toán học theo thứ tự chúng xuất hiện đều hoàn toàn tổng quát, theo nghĩa hoàn toàn trừu tượng. Thực tế, một trong những từ của Whitehead là không cần thiết, vì sự tổng quát theo nghĩa này chính là sự trừu tượng.

Ý nghĩa này là rất quan trọng, và các nhà logic đã khá đúng khi nhấn mạnh nó, vì nó chứa đựng một chân lý mà nhiều người lẽ ra nên biết lại thường quên mất. Nó khá là phổ biến, ví dụ như, cho một nhà thiên văn học hay một nhà vật lý tuyên bố rằng anh ta đã tìm ra "một chứng minh toán học" rằng vũ trụ phải theo một trạng thái riêng biệt nào đó. Tất cả những khẳng định này, nếu được dịch một cách chính xác, đều hoàn toàn vô nghĩa. Đơn giản là việc chứng minh toán học rằng ngày mai sẽ có nhật thực là không thể, vì nhật thực, hay các hiện tượng vật lý khác, không cấu thành một phần nào của thế giới trừu tượng của toán học; và điều này tôi cho rằng, tất cả các nhà thiên văn sẽ công nhận khi bị hỏi, bất kể bao nhiêu nhật thực mà họ đã dự đoán đúng.

Rõ ràng là chúng ta không quan tâm đến kiểu "tổng quát" như thế này bây giờ. Chúng ta đang tìm kiếm sự khác biệt của tổng quát giữa một định lý toán học với một định lý khác, và theo nghĩa của Whitehead tất cả đều bằng nhau. Do đó các định lý "tầm thường" (a) và (b) của phần 15 chỉ đơn giản "trừu tượng" hay "tổng quát" như những định lý của Euclid và Pythagoras, và cũng như một ván cờ vua. Sẽ không có sự khác biệt nào cho một ván cờ nếu các quân là trắng và đen, hay đỏ và xanh, hay nếu có các "quân cờ" thực sự; nó vẫn là một bài toán giống hệt mà một chuyên gia dễ dàng suy nghĩ trong đầu và chúng ta phải thiết kế lại với nhiều công sức và sự trợ giúp của chiếc bảng đen. Chiếc bảng và các quân cờ chỉ đơn giản là các công cụ để kích thích trí tưởng tượng của chúng ta, và với một bài toán nó không quan trọng như chiếc bảng đen và viên phấn đối với các định lý trong một buổi giảng toán học.

Kiểu tổng quát quen thuộc trong tất cả các định lý toán học này không phải là thứ mà chúng ta kiếm tìm, mà là sự tổng quát tinh tế và khó nắm bắt tôi đã cố miêu tả trong phần 15. Và chúng ta phải cẩn thận không quá nhấn mạnh ngay cả trong sự tổng quát loại này (như tôi nghĩ các nhà logic học như Whitehead thường hay vậy). Những thành tựu tiêu biểu của toán học hiện đại không chỉ đơn giản là "chất đống những sự tổng quát này một cách tinh tế trên những sự tổng quát khác ". Một ít sự tổng quát phải xuất hiện trong bất cứ một định lý kinh điển nào, nhưng quá nhiều sẽ dẫn đến sự vô vị một cách không tránh khỏi. "Mọi vật chỉ đơn giản là nó, và không phải là một vật khác", và sự khác biệt giữa các sự vật cũng thú vị như sự giống nhau của chúng. Chúng ta không chọn bạn bè bởi vì họ hội tụ đủ các phẩm chất tốt đẹp của con người, mà bởi họ là những người của chính họ. Và trong toán học cũng vậy; một tính chất phổ biến với quá nhiều đối tượng khó có thể còn tính hấp dẫn, và các ý tưởng toán học cũng trở nên lờ mờ trừ phi chúng có rất nhiều cá thể riêng biệt. Ở đây dù sao tôi cũng có thể trích dẫn Whitehead về phía tôi: "một sự thai nghén thành công là sự tổng quát hóa rộng, nhưng giới hạn bởi một cá thể".

Tính chất thứ hai mà tôi đòi hỏi trong một ý tưởng quan trọng là chiều sâu, và tính chất này càng khó định nghĩa hơn. Nó liên hệ với độ khó theo một cách nào đó; ý tưởng càng “sâu” càng khó tiếp nhận hơn: nhưng chúng không hoàn toàn giống nhau. Ý tưởng ẩn dưới định lý Pythagoras và những hướng tổng quát của nó khá sâu, nhưng không một nhà toán học thời nay nào lại xem chúng là khó. Mặt khác, một định lý có thể nông cạn về bản chất nhưng lại rất khó chứng minh (ví dụ như những định lý Diophante về lời giải của các phương trình nghiệm nguyên).

Dường như các ý tưởng toán học được sắp xếp theo nhiều tầng, trong mỗi tầng, các ý tưởng được liên kết với nhau bằng những quan hệ phức tạp giữa chúng và với các ý tưởng ở tầng khác. Càng ở tầng thấp hơn, các ý tưởng càng sâu hơn (và thông thường, càng khó hơn). Do đó, ý tưởng về “số vô tỷ” sâu hơn ý tưởng về số nguyên; và định lý Pythagoras vì thế mà sâu hơn định lý Euclid. Chúng ta hãy chú ý tới mối quan hệ giữa các số nguyên, hay một nhóm các đối tượng nằm trong một tầng nào đó. Khi ấy một trong những liên hệ có thể được hiểu hoàn toàn, chúng ta có thể nhận ra và chứng minh, chẳng hạn như, một tính chất nào đó của số nguyên, mà không cần dùng tới nội dung của tầng bên dưới. Do đó chúng ta chứng minh định lý Euclid mà chỉ dùng các tính chất của số nguyên. Nhưng còn nhiều định lý về số nguyên mà chúng ta không thể hiểu được hay chứng minh được hoàn toàn mà không cần đào sâu hơn và xem xét những gì xảy ra bên dưới. Chúng ta có thể dễ dàng tìm các ví dụ trong lý thuyết về số nguyên tố. Định lý Euclid rất quan trọng, nhưng không sâu: chúng ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố mà không cần dùng khái niệm nào sâu hơn “tính chia hết”. Nhưng những câu hỏi mới lại xuất hiện khi chúng ta tìm ra câu trả lời trước. Có vô số số nguyên tố, nhưng chúng được phân bố vô hạn như thế nào? Cho một số N rất lớn, ví dụ 10^80 hay 10^{10^10} , có bao nhiêu số nguyên tố bé hơn N ? Khi đặt ra những câu hỏi này, chúng ta đã đặt chúng ta ở một vị trí hoàn toàn khác. Chúng ta có thể trả lời chúng, với một độ chính xác đáng ngạc nhiên, nhưng bằng cách đào thật sâu bên dưới, để lại các số nguyên bên trên và sử dụng những vũ khí mạnh nhất trong lý thuyết hiện đại về hàm số. Do đó định lý trả lời những câu hỏi của chúng ta (được gọi là “Định lý số nguyên tố”) là một định lý sâu hơn rất nhiều so với Pythagoras và Euclid. Tôi có thể làm tăng thêm các ví dụ, nhưng khái niệm về “chiều sâu” rất khó nắm bắt, ngay cả đối với một nhà toán học đã nhận ra nó, và tôi không nghĩ rằng tôi có thể nói gì hơn nữa để giúp bạn đọc hiểu hơn.

Vẫn còn lại một điểm từ phần 11, khi tôi bắt đầu sự so sánh giữa "toán học thực sự" và cờ vua. Giờ đây chúng ta đã có thể chấp nhận rằng về mặt nội dung, sự quan trọng và thiết yếu thì các định lý toán học thực sự có lợi thế hơn hẳn. Cũng hoàn toàn hiển nhiên với bất cứ một người có hiểu biết nào, toán học hơn hẳn nhờ vẻ đẹp của mình; nhưng lợi thế này cũng khó định nghĩa và phân loại hơn rất nhiều, vì điểm thiếu xót chủ yếu của một ván cờ đơn giản chỉ là "sự tầm thường" của nó, và sự tương phản trong điều này làm trộn lẫn và ảnh hưởng bất kỳ đánh giá thẩm mỹ thuần túy nào. Dựa vào quan điểm "thẩm mỹ thuần túy" nào liệu ta có thể phân biệt giữa định lý của Euclid và định lý của Pythagoras? Tôi sẽ không mạo hiểm hơn chỉ với một vài nhận xét rời rạc nữa. Trong các định lý (và khi nói tới các định lý, tất nhiên tôi đã gộp cả những lời giải của chúng), luôn có một tính bất ngờ lớn, kết hợp với một sự chắc chắn xảy ra và ngắn gọn. Các lập luận, một cách khó hiểu và ngạc nhiên, tạo thành một thể thống nhất; những vũ khí sử dụng dường như vô cùng đơn giản khi so sánh với những kết quả có ảnh hưởng sâu rộng nhưng lại không có một lối thoát nào có thể ra khỏi kết luận của bài toán. Nội dung cũng không phải là khó - một dòng để tấn công đã là đủ trong mỗi trường hợp; và điều này cũng đúng trong nhiều lời giải của rất nhiều những định lý khó hơn nhiều, mà sự đánh giá đầy đủ của chúng đòi hỏi việc thành thạo trong các kỹ thuật rất lớn. Chúng ta không muốn nhiều "dạng khác nhau" trong lời giải của một định lý toán học: "Một sự liệt kê các trường hợp" thực sự là một kiểu nhàm chán của một lập luận toán học. Một lời giải toán học cần phải giống một chùm sao đơn giản và rõ ràng, không phải là một chùm các mảnh vỡ trong dải ngân hà. Một ván cờ cũng có tính chất bất ngờ và một sự kinh tế nhất định; việc các nước di chuyển phải bất ngờ và mọi quân cờ trên bàn đều có vai trò của nó là một việc rất quan trọng. Nhưng hiệu ứng thẩm mỹ thì được dồn lại. Cũng như vậy, mỗi nước đi phải kéo theo một loạt các biến thể đẹp, mỗi biến thể phải có câu trả lời của riêng nó (trừ phi ván cờ quá đơn giản để mang tính bất ngờ). "Nếu P-B5, sau đó Kt-R6; nếu ... thì ...; nếu ... thì ..." - hiệu quả của nó sẽ mất đi nếu không có những nhiều những câu trả lời khác nhau. Tất cả những điều này là toán học, và có giá trị của nó; nhưng nó chỉ là "một lời giải bằng cách liệt kê các trường hợp" (và của những trường hợp không khác một cách sâu sắc lắm , điều mà một nhà toán học thực thụ thường không thích. Tôi vẫn bám vào suy nghĩ rằng tôi có thể làm mạnh hơn lập luận của tôi bằng cách trình bày cảm nghĩ của mình với những người chơi cờ hẳn hoi. Chắc chắn là một kiện tướng cờ, người đã từng chơi những ván cờ và những trận đấu lớn, sẽ khinh miệt một môn nghệ thuật thuần tuý toán học. Anh ta có quan điểm của riêng mình, và có thể trả lời ngay khi được hỏi: "Nếu anh ta đã đi nước này hay nước này, thì tôi đã có thể thắng bằng cách này hay cách này trong đầu". Nhưng một "ván cờ lớn" hoàn toàn là vấn đề tâm lý, một cuộc tranh chấp giữa một người trong nghề với một người khác, và không chỉ là kết hợp của nhiều định lý toán học nhỏ.

Tôi phải quay lại bài giảng ở Oxford, và khảo sát kỹ lưỡng hơn những vấn đề mà tôi đã hoãn lại từ chương 6. Cho tới giờ, rõ ràng là tôi yêu thích toán học như một bộ môn nghệ thuật đầy tính sáng tạo. Nhưng còn những câu hỏi khác cần được xem xét, cụ thể như “tính thiết thực” (hay sự vô dụng) của toán học mà chúng ta còn băn khoăn nhiều về nó. Chúng ta cũng phải suy ngẫm xem toán học có thực sự “vô hại” như tôi đã giả định trong bài giảng ở Oxford hay không.

Một môn khoa học ngay nghệ thuật có thể được cho là “có ích” nếu sự phát triển của nó làm tăng, thậm chí trực tiếp, tiện nghi và vật chất của con người, hay làm tăng niềm hạnh phúc, ở đây hạnh phúc được hiểu theo nghĩa thông thường của nó. Vì thế, y học và sinh lý học là có ích vì chúng làm giảm sự đau đớn, và công việc của các kỹ sư là có ích vì nó giúp chúng ta xây nhà và cầu, do đó làm tăng chất lượng cuộc sống (nghề kỹ sư cũng gây hại nhưng đây không phải là câu hỏi hiện tại). Một phần của toán học cũng có ích theo nghĩa này; các kỹ sư không thể tiến hành công việc mà không có một lượng kiến thức toán học nhất định, và toán học bắt đầu có những ứng dụng ngay cả trong sinh lý học. Vì thế chúng ta có một cơ sở để bảo vệ cho toán học; nó có thể không là tốt nhất, hoặc thậm chí không phải là một điểm mạnh, nhưng nó là điều mà chúng ta phải xem xét. Nhiệm vụ “cao cả” của toán học - cái mà nó có chung với tất cả các môn nghệ thuật sáng tạo – sẽ không liên quan tới sự nghiên cứu của chúng ta. Toán học, giống như thi ca hay âm nhạc, có thể “phát triển và duy trì một trạng thái tột độ về trí tuệ”, và do đó làm tăng niềm hạnh phúc của các nhà toán học và ngay cả của những người khác; nhưng lập luận trên cơ sở này đơn thuần chỉ là làm rõ hơn những gì tôi đã nói. Cái mà chúng ta cần xem xét bây giờ chính là tính thực tiễn “đơn thuần” của toán học. Tất cả những điều này đều có vẻ rất rõ ràng, nhưng vẫn còn nhiều nhầm lẫn ở đây, vì những ngành “có ích” nhất thường chỉ là những ngành vô ích cho phần lớn trong chúng ta để học. Đúng là cần có một số lượng cần thiết những nhà sinh lý học và những kĩ sư; nhưng sinh lí học và khoa công trình không phải là những môn học có ích cho người bình thường (mặc dù những môn học đó có thể được bảo vệ bằng các luận điểm khác). Về phần tôi, tôi chưa bao giờ cảm thấy bất cứ kiến thức khoa học nào khác ngoài toán thuần túy đã cho tôi một lợi ích nhỏ nhất nào. Thật ngạc nhiên khi biết rằng các giá trị thực tiễn mà kiến thức khoa học đem lại cho người bình thường nhỏ bé thế nào, rằng những kiến thức có giá trị lại đần độn và tầm thường thế nào, và rằng giá trị của chúng có vẻ hầu như tỷ lệ nghịch với tính thiết thực nổi tiếng của chúng. Những thao tác nhanh về các phép tính số học thông thường (và đó đương nhiên là toán thuần túy) có thể có ích. Tương tự đối với một ít khả năng về ngôn ngữ - tiếng Pháp hoặc tiếng Đức, một ít kiến thức về địa lý, hoặc có thể là kinh tế. Nhưng hóa học, vật lý, hoặc sinh lý học không có một chút giá trị nào trong cuộc sống thường ngày. Chúng ta biết rằng khí đốt sẽ cháy mà không cần biết cấu tạo của chúng; khi xe hư chúng ta có thể đưa ra tiệm sửa chữa; và khi dạ dày bị rối loạn, chúng ta tới bác sĩ hoặc tiệm thuốc. Chúng ta sống nhờ những quy luật nhất định hoặc dựa trên những kiến thức chuyên môn của những người khác. Tuy nhiên, đây chỉ là một vấn đề phụ, một vấn đề sư phạm, đáng quan tam đối với các ông hiệu trưởng hay khuyên các bậc cha mẹ một cách ầm ĩ về một nền giáo dục “có ích” cho con của họ. Tuy nhiên chúng ta không tính nói, khi chúng ta nói sinh lý học là có ích, rằng đa số phải học sinh lý học, mà rằng sự phát triển của sinh lý học do một số các chuyên gia sẽ giúp đỡ những người còn lại. Những câu hỏi quan trọng đối với chúng ta bây giờ là, toán học có thể khẳng định những lợi ích về mặt này đến bao xa, những ngành toán học nào có thể khẳng định một cách mạnh mẽ nhất, và những ngành toán chuyên sâu nhất, mà có thể hiểu được bởi các nhà toán học, có thể được bảo vệ chỉ dựa trên lý lẽ này.

Tất cả những điều này nghe có vẻ rất hiển nhiên, dù vậy ngay cả ở đây cũng thường có khá nhiều sự nhầm lẫn, bởi những môn học được xem là “thiết thực” nhất lại thường chỉ được nhìn nhận là những môn học mà hầu hết chúng ta cảm thấy vô ích nhất đối với hầu hết mỗi người. Việc có một số lượng đầy đủ là các nhà sinh lý học và kỹ sư là điều rất hữu dụng; song sinh lý học và kỹ thuật không phải là những môn học mang lại “thú vị” cho những người bình thường (mặc dù việc học của họ tất nhiên có thể được biện hộ trên những căn cứ khác). Về phần mình, tôi chưa bao giờ thấy mình ở trong một vị trí mà kiến ​​thức khoa học mà tôi sở hữu, ngoài toán học thuần túy ra, thật sự không mang lại cho tôi lợi ích dù chỉ là nhỏ nhất.

Thật vậy, điều đáng kinh ngạc là kiến thức khoa học lại có rất ít giá trị thực tiễn đối với người bình thường, những phần kiến thức có giá trị thì lại thường nhạt nhẽo và tầm thường như thế nào, và giá trị của nó dường như tỷ lệ nghịch với tính hữu dụng được cho là của khoa học. Chúng ta cần phải thành thạo một chút cơ bản về số học (và điều đó, tất nhiên, thuộc về toán học thuần túy). Chúng ta cần phải biết một chút tiếng Pháp hoặc tiếng Đức, một chút về lịch sử và địa lý, có lẽ thậm chí một chút về kinh tế học. Nhưng một chút kiến thức về hóa học, vật lý hay sinh lý học thì hoàn toàn không có giá trị gì trong cuộc sống thường ngày. Chúng ta biết rằng khí ga sẽ cháy mà không cần phải biết thành phần bên trong của nó; khi xe hỏng, chúng ta mang đến gara; khi dạ dày gặp vấn đề, chúng ta đến bác sĩ hoặc hiệu thuốc. Chúng ta sống hoặc dựa trên những kinh nghiệm thực tế, hoặc dựa vào kiến thức chuyên môn của người khác.

Thế nhưng, đây là một vấn đề phụ, liên quan đến phương pháp giảng dạy, thật sự thú vị đối với các giáo viên đang tư vấn cho những bậc cha mẹ đang yêu cầu một nền giáo dục "hữu ích" cho con của họ. Tất nhiên, khi nói rằng sinh lý học là hữu ích, chúng ta không có ý khi chúng ta phát biểu rằng sinh lý học rất thiết thực, rằng hầu hết mọi người nên học sinh lý học, mà là việc phát triển sinh lý học bởi một số ít trong số đó sẽ nâng cao sự thoải mái cho đại đa số. Những câu hỏi quan trọng đối với chúng ta lúc này là: toán học có thể tuyên bố mức độ hữu ích như thế nào, những loại toán học nào có thể đưa ra tuyên bố mạnh mẽ nhất, và việc nghiên cứu chuyên sâu về toán học, theo cách hiểu của các nhà toán học, có thể được biện minh đến đâu chỉ trên cơ sở này.

Có lẽ đến giờ bạn cũng đã nắm bắt những kết luận mà tôi đang hướng đến; vì vậy, tôi sẽ trình bày chúng ngay lập tức một cách dứt khoát, sau đó phân tích thêm một chút. Không thể phủ nhận rằng một phần lớn toán học sơ cấp - và tôi sử dụng từ "sơ cấp" theo nghĩa mà các nhà toán học chuyên nghiệp thường dùng, bao gồm, chẳng hạn, một kiến thức thực dụng vững chắc về phép tính vi phân và tích phân - có giá trị thực tiễn đáng kể.

Tuy vậy, những phần này của toán học nhìn chung khá tẻ nhạt; chúng chính là những phần có giá trị thẩm mỹ thấp nhất. Toán học "thực sự" của các nhà toán học "thực thụ" - toán học của Fermat, Euler, Gauss, Abel và Riemann - gần như hoàn toàn "vô dụng" (và điều này đúng với cả toán học "ứng dụng" lẫn toán học "thuần túy"). Không thể biện minh cho cuộc đời của bất kỳ nhà toán học chuyên nghiệp đích thực nào chỉ dựa trên "tính hữu ích" của công việc mà họ làm.

Hơn bất cứ lúc nào khác, tôi phải ở đây để giải quyết một quan niệm sai lầm. Đôi khi người ta cho rằng các nhà toán học thuần túy tự hào về sự vô dụng của công việc họ làm và coi đó như một lời phô trương rằng nó không có tính áp dụng vào thực tiễn nào. Lời buộc tội này thường dựa trên một phát biểu thiếu thận trọng mà thường được gán cho Gauss, rằng nếu toán học là nữ hoàng của các ngành khoa học, thì lý thuyết số, vì tính "vô dụng tối cao" của nó, là nữ hoàng của toán học – thật sự chưa bao giờ tôi có thể tìm thấy một trích dẫn chính xác nào về điều này.

Tôi tin rằng câu nói của Gauss (nếu thật sự là của ông) đã bị diễn giải một cách khá thô thiển. Nếu lý thuyết số có thể được áp dụng vào bất kỳ mục đích thực tiễn và rõ ràng là cao quý nào, nếu nó có thể được sử dụng trực tiếp để thúc đẩy sự hạnh phúc con người hoặc giảm bớt đau khổ như sinh lý học hoặc thậm chí là hóa học, thì chắc chắn cả Gauss lẫn bất kỳ nhà toán học nào khác sẽ không ngốc nghếch đến mức xem thường hoặc hối tiếc về những ứng dụng như vậy.

Dẫu vậy, khoa học có thể mang lại cả điều tốt lẫn điều xấu (đặc biệt, tất nhiên, trong thời chiến); và cả Gauss lẫn những nhà toán học ít tên tuổi hơn đều có thể có lý do để vui mừng rằng ít nhất có một ngành khoa học - và đó chính là ngành của họ - mà sự xa cách với các hoạt động nhân loại thường nhật, giữ cho nó luôn nhẹ nhàng và trong sáng.

Có một ngộ nhận khác mà chúng ta cần phải đề phòng. Một cách rất tự nhiên khi người ta cho rằng có sự khác biệt lớn về tính thực tiễn giữa toán học "thuần túy" và toán học "ứng dụng". Đây là một sự ảo tưởng: có một sự phân biệt rõ ràng giữa hai loại toán học này, mà tôi sẽ giải thích ngay, nhưng sự phân biệt này hầu như không ảnh hưởng đến tính hữu dụng của chúng.

Toán học thuần túy và toán học ứng dụng khác nhau như thế nào? Đây là một câu hỏi có thể trả lời một cách rõ ràng và nhận được sự đồng thuận chung từ các nhà toán học. Câu trả lời của tôi sẽ không có gì là trái với những quan điểm truyền thống, nhưng tôi cần một chút phần dẫn nhập.

Hai phần tiếp theo sẽ mang một chút sắc thái triết học. Tuy nhiên, triết học ở đây không đi quá sâu hoặc không có vai trò quan trọng đối với các luận điểm chính của tôi. Nhưng tôi sẽ sử dụng những từ ngữ thường xuyên được dùng với ý nghĩa triết học cụ thể, và người đọc có thể cảm thấy bối rối nếu tôi không giải thích cách tôi sử dụng chúng.

Tôi thường sử dụng tính từ "thực", như cách chúng ta hay sử dụng trong giao tiếp thông thường. Tôi đã nói đến "toán học thực" và "nhà toán học thực", giống như cách tôi có thể nói đến "thơ ca thực" hoặc "nhà thơ thực", và tôi sẽ tiếp tục sử dụng theo cách này. Nhưng tôi cũng sẽ sử dụng từ "thực tại" (reality), với hai ý nghĩa khác nhau.

Trước hết, tôi sẽ nói về "thực tại vật lý", và ở đây, tôi lại sử dụng từ này theo nghĩa thông thường. Bằng "thực tại vật lý", tôi muốn nói đến thế giới vật chất, thế giới của ngày và đêm, động đất và nhật thực, thế giới mà khoa học vật lý cố gắng miêu tả.

Tôi khó có thể cho rằng, cho đến thời điểm này, bất kỳ độc giả nào cũng sẽ gặp khó khăn với cách diễn đạt của tôi, nhưng giờ đây tôi đang tiến gần đến một lĩnh vực khó khăn hơn. Đối với tôi, và tôi cho rằng đối với hầu hết các nhà toán học, tồn tại một thực tại khác mà tôi sẽ gọi là “thực tại toán học”; và không có bất kỳ sự đồng thuận nào về bản chất của thực tại toán học giữa các nhà toán học hoặc triết gia. Một số người cho rằng nó là "tinh thần" và theo một nghĩa nào đó, chúng ta tự tạo ra nó; những người khác cho rằng nó nằm bên ngoài và độc lập với chúng ta. Một người có thể đưa ra một lời giải thích thuyết phục về thực tại toán học sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề khó khăn nhất về chủ đề siêu hình học. Nếu người đó có thể hòa hợp với cả thực tại hiện hữu trong lời giải thích của mình, thì họ sẽ giải quyết được tất cả các vấn đề.

Tôi không có ý định tranh luận về bất kỳ vấn đề nào trong số này ở đây, ngay cả khi tôi có đủ năng lực để làm vậy, nhưng tôi sẽ trình bày quan điểm của riêng mình một cách dứt khoát nhằm tránh những hiểu lầm nhỏ. Tôi tin rằng thực tại toán học nằm bên ngoài chúng ta, rằng chức năng của chúng ta là khám phá hoặc tìm ra nó, và rằng các định lý mà chúng ta chứng minh, mà chúng ta mô tả một cách hoa mỹ là "sáng tạo" của mình, thực chất chỉ là các ghi chép về những quan sát của chúng ta. Quan điểm này, dưới nhiều hình thức khác nhau, đã được nhiều triết gia có danh tiếng từ thời Plato ủng hộ, và tôi sẽ sử dụng ngôn ngữ phù hợp với người đang nắm giữ quan điểm này. Một độc giả không đồng tình với triết lý này có thể thay đổi cách diễn đạt: điều đó sẽ không ảnh hưởng nhiều đến các kết luận của tôi.

Sự tương phản giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng có lẽ được thể hiện rõ ràng nhất trong bộ môn hình học. Có một ngành khoa học về hình học thuần túy, trong đó tồn tại nhiều loại hình học: hình học xạ ảnh, hình học Euclid, hình học phi Euclid, và còn nhiều loại khác. Mỗi loại hình học này là một mô hình, một tập hợp ý tưởng, và được đánh giá dựa trên sự thú vị và vẻ đẹp của cấu trúc riêng của nó. Nó là một bản đồ hoặc bức tranh, sản phẩm chung của nhiều người, một bản sao từng phần và không hoàn hảo (nhưng chính xác trong phạm vi của nó) của một phần trong thực tại toán học.

Một điểm quan trọng mà chúng ta cần lưu ý ở đây là: ít nhất có một điều mà hình học thuần túy không phải là hình ảnh của nó, đó chính là thực tại không gian - thời gian của thế giới vật lý. Điều này chắc chắn là hiển nhiên, bởi vì động đất và nhật thực không phải là các khái niệm toán học. Điều này có thể nghe hơi nghịch lý đối với một người ngoại đạo, nhưng đối với một nhà toán học nghiên cứu về hình học, đó là một sự thật hiển nhiên; và tôi có thể làm rõ hơn bằng một ví dụ.

Giả sử tôi đang giảng bài về một hệ thống hình học, chẳng hạn như hình học Euclid thông thường, và tôi vẽ các hình trên bảng đen để kích thích trí tưởng tượng của quý khán giả, những hình vẽ sơ sài về đường thẳng, đường tròn hoặc đường elip. Rõ ràng, trước hết, tính đúng đắn của các định lý mà tôi chứng minh không bị ảnh hưởng bởi chất lượng của các hình vẽ đó. Chức năng của chúng chỉ là để giúp khán giả hiểu được ý nghĩa của tôi, và nếu tôi có thể làm được điều đó, việc nhờ một họa sĩ khéo léo hơn vẽ lại các hình đó cũng không mang lại lợi ích gì. Chúng là các minh họa phục vụ việc giảng dạy, không phải là một phần của nội dung thực sự của bài giảng.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng tiến xa thêm một bước nữa. Căn phòng mà tôi đang giảng bài là một phần của thế giới vật lý và tự nó mang một cấu trúc nhất định. Việc nghiên cứu cấu trúc đó, và cấu trúc tổng quát của thực tại vật lý, là một ngành khoa học riêng, mà chúng ta có thể gọi là "hình học vật lý" (physical geometry). Giả sử bây giờ một máy phát điện mạnh hoặc một vật thể có lực hấp dẫn lớn được đưa vào căn phòng. Khi đó, các nhà vật lý nói rằng hình học của căn phòng bị thay đổi, toàn bộ cấu trúc vật lý của nó bị méo mó một chút nhưng vẫn rõ ràng. Các định lý mà tôi đã chứng minh có trở nên sai không? Chắc chắn là vô lý nếu cho rằng các chứng minh của tôi bị ảnh hưởng theo bất kỳ cách nào. Điều đó cũng giống như việc cho rằng một vở kịch của Shakespeare bị thay đổi khi một độc giả làm đổ trà lên một trang sách. Vở kịch là độc lập với các trang sách mà nó được in, và "hình học thuần túy" là độc lập với các phòng giảng hoặc bất kỳ chi tiết nào khác của thế giới vật lý.

Đây là quan điểm của một nhà toán học thuần túy. Các nhà toán học ứng dụng; các nhà toán - vật lý, tự nhiên có quan điểm khác, bởi họ tập trung vào chính thế giới vật lý, vốn cũng có cấu trúc hoặc mẫu hình riêng. Chúng ta không thể mô tả chính xác cấu trúc này như cách chúng ta làm với hình học thuần túy, nhưng chúng ta vẫn có thể phát biểu một điều gì đó có ý nghĩa về nó. Đôi khi, chúng ta có thể mô tả khá chính xác, đôi khi rất sơ lược, các mối quan hệ tồn tại giữa một số thành phần của nó, và so sánh chúng với các mối quan hệ chính xác giữa các thành phần của một hệ thống hình học thuần túy nào đó. Chúng ta có thể nhận thấy một sự tương đồng nhất định giữa hai tập hợp các mối quan hệ, và khi đó hình học thuần túy sẽ trở nên thú vị đối với các nhà vật lý; nó sẽ cung cấp, ở mức độ nào đó, một bản đồ "phù hợp với thực tế" của thế giới vật lý.

Nhà toán học về hình học cung cấp cho nhà vật lý một tập hợp các bản đồ để lựa chọn. Một bản đồ, có lẽ, sẽ phù hợp với thực tế hơn các bản đồ khác, và khi đó hình học cung cấp bản đồ cụ thể đó sẽ là hình học quan trọng nhất đối với toán học ứng dụng. Tôi có thể nói thêm rằng ngay cả một nhà toán học thuần túy cũng có thể cảm thấy sự đánh giá của mình đối với hình học này được khơi dậy dữ dội trong tâm trí, vì không có nhà toán học nào lại hoàn toàn không quan tâm đến thế giới vật lý; nhưng, nếu họ chịu thua trước sự cám dỗ này, họ sẽ từ bỏ vị trí thuần túy toán học của mình.

Có một quan niệm khác mà tôi muốn đề cập ở đây, và các nhà vật lý có thể thấy nó mâu thuẫn, mặc dù sự mâu thuẫn này có lẽ sẽ ít bất cập hơn so với 18 năm trước. Tôi sẽ diễn đạt nó bằng những lời mà tôi đã sử dụng vào năm 1922 trong một bài phát biểu trước Bộ phận A của Hiệp hội Khoa học Anh. Khán giả của tôi lúc đó chủ yếu là các nhà vật lý, và có thể tôi đã nói một cách hơi khiêu khích vì lý do đó; nhưng tôi vẫn sẽ giữ vững lập trường về những gì tôi đã trình bày.

Tôi bắt đầu bằng cách giới thiệu rằng có lẽ không có sự khác biệt lớn giữa quan điểm của một nhà toán học và của một nhà vật lý như thường được đại đa số cho rằng, và điều quan trọng nhất đối với tôi là: nhà toán học tiếp xúc trực tiếp với thực tại nhiều hơn. Điều này có thể có vẻ là một nghịch lý, vì chính nhà vật lý là người làm việc với đối tượng thường được mô tả là "thực", nhưng chỉ cần một ít suy ngẫm là đủ để thấy rằng thực tại của nhà vật lý, dù nó là gì, lại ít hoặc không có những đặc điểm mà giác quan thông thường vẫn gán cho thực tại. Một chiếc ghế có thể là một tập hợp các electron quay cuồng, hoặc là một ý tưởng trong tâm trí về Thượng đế: mỗi quan điểm này có thể có giá trị của nó, nhưng không cái nào gần gũi với những gì mà giác quan thông thường hình dung.

Tôi tiếp tục nói rằng cả các nhà vật lý lẫn các triết gia chưa bao giờ đưa ra được một lý giải thuyết phục về "thực tại vật lý" là gì, hoặc về cách mà nhà vật lý chuyển từ đám mây thông tin hỗn độn mà họ bắt đầu với, đến việc xây dựng những đối tượng mà họ gọi là "thực". Do đó, chúng ta không thể nói rằng mình biết rõ đối tượng nghiên cứu của vật lý là gì; nhưng điều này không ngăn cản chúng ta hiểu đại khái những gì mà nhà vật lý đang cố gắng làm. Rõ ràng là họ đang cố gắng liên kết khối lượng thông tin thô mà họ đối diện với một hệ thống các quan hệ trừu tượng có trật tự và xác định, hệ thống mà họ chỉ có thể vay mượn từ toán học.

Mặt khác, nhà toán học đang làm việc với thực tại toán học của chính mình. Về thực tại này, như tôi đã giải thích ở mục số 22, tôi có quan điểm "hiện thực" chứ không phải "lí tưởng". Ít nhất (và đây là điểm chính của tôi), quan điểm hiện thực này có vẻ hợp lý hơn nhiều đối với thực tại toán học so với thực tại vật lý, vì các đối tượng toán học rõ ràng hơn rất nhiều so với những gì chúng có vẻ như là. Một chiếc ghế hoặc một ngôi sao chẳng hề giống những gì nó có vẻ như là; càng nghĩ về nó, hình dáng của nó càng trở nên mơ hồ trong làn sương của cảm giác vây quanh nó; nhưng "2" hoặc "317" không liên quan gì đến cảm giác, và các tính chất của nó càng trở nên rõ ràng hơn khi chúng ta càng xem xét kỹ lưỡng. Có thể rằng vật lý hiện đại phù hợp nhất với một khuôn khổ triết học lý tưởng - tôi không tin điều này cho lắm, nhưng có những nhà vật lý lỗi lạc đã cho là như vậy. Toán học thuần túy, ngược lại, có vẻ như là một tảng đá mà tất cả các lý thuyết lý tưởng đều bị đánh bại: 317 là một số nguyên tố, không phải vì chúng ta nghĩ vậy, hay vì tâm trí của chúng ta được hình thành theo cách này hay cách khác, mà vì nó là như vậy, vì thực tại toán học được cấu tạo theo cách đó.

Những sự phân biệt giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng tự nó rất có giá trị, nhưng chúng hầu như không ảnh hưởng nhiều đến cuộc thảo luận của chúng ta về "tính hữu ích" của toán học. Tôi đã nói ở mục 21 về toán học "thực sự" của Fermat và các nhà toán học vĩ đại khác, loại toán học có giá trị thẩm mỹ lâu dài, như toán học Hy Lạp thuộc loại vĩ đại nhất, loại toán học là vĩnh cửu vì những phần hay nhất của nó có thể, giống như áng văn chương hoàn mĩ nhất, tiếp tục mang lại sự thỏa mãn cảm xúc mãnh liệt cho hàng ngàn con người qua hàng ngàn năm. Những con người đó chủ yếu là các nhà toán học thuần túy (mặc dù sự phân biệt giữa hai loại toán học trong thời của họ tự nhiên ít rõ ràng hơn so với hiện nay); nhưng tôi không chỉ nghĩ đến toán học thuần túy. Tôi xem Maxwell, Einstein, Eddington và Dirac là những "nhà toán học thực sự".

Những thành tựu vĩ đại hiện đại của toán học ứng dụng nằm ở thuyết tương đối và cơ học lượng tử, và những môn này, ít nhất là ở hiện tại, hầu như "vô ích" như lý thuyết số. Chính các phần tẻ nhạt và sơ đẳng của toán học ứng dụng, giống như các phần tẻ nhạt và sơ đẳng của toán học thuần túy, mới có ảnh hưởng tốt hoặc xấu đến thực tiễn. Thời gian có thể thay đổi tất cả điều này. Không ai dự đoán được các ứng dụng của ma trận, nhóm, và các lý thuyết thuần túy toán học khác trong vật lý hiện đại, và có thể rằng một số toán học ứng dụng "hàn lâm" cũng sẽ trở nên "hữu ích" theo cách không ai ngờ tới; nhưng bằng chứng cho đến nay chỉ ra kết luận rằng, trong cả hai lĩnh vực, chính những gì là phổ thông và tẻ nhạt mới thực sự có ý nghĩa đối với đời sống thực tiễn.

Tôi còn nhớ Eddington đã đưa ra một ví dụ thú vị về sự thiếu hấp dẫn của khoa học "hữu ích". Hiệp hội Khoa học Anh đã tổ chức một cuộc họp ở Leeds, và người ta nghĩ rằng các thành viên có thể muốn nghe về các ứng dụng của khoa học vào ngành công nghiệp "dệt len nặng". Nhưng các bài giảng và trình bày được sắp xếp cho mục đích này lại khá thất bại. Hóa ra các thành viên (dù là công dân của Leeds hay không) mong muốn được tiếp cận với những chủ đề có sức cuốn hút và kích thích trí tuệ hơn, và "dệt len nặng" thì hoàn toàn không phải là một chủ đề hấp dẫn. Vì vậy, lượng khán giả tham dự các bài giảng này rất thất vọng; nhưng những người giảng về các cuộc khai quật tại Knossos, thuyết tương đối, hoặc lý thuyết số nguyên tố lại rất hài lòng với lượng khán giả mà họ thu hút được.

Vậy những phần nào của toán học là có ích?

Trước hết, phần lớn toán học ở cấp phổ thông, bao gồm số học, đại số cơ bản, hình học Euclid cơ bản, phép vi phân và tích phân cơ bản. Chúng ta phải loại trừ một số nội dung được dạy cho những "chuyên gia", như hình học xạ ảnh (projective geometry). Trong toán học ứng dụng, các yếu tố của cơ học (điện học, như được dạy trong trường học, phải được phân loại là vật lý).

Tiếp theo, một tỷ lệ hợp lý của toán học ở cấp đại học cũng hữu ích, phần toán học thực sự là sự phát triển của toán học phổ thông với kỹ thuật tinh tế hơn, và một số môn học vật lý như điện học và cơ học thủy lực. Chúng ta cũng phải nhớ rằng một kho tàng kiến thức dự trữ luôn là lợi thế, và các nhà toán học thực dụng nhất có thể bị hạn chế nghiêm trọng nếu kiến thức của họ chỉ là mức tối thiểu cần thiết cho công việc của họ; vì lý do này, chúng ta phải thêm một chút kiến thức dưới mỗi danh mục. Nhưng kết luận chung của chúng ta phải là: toán học có ích phải là toán học mà một kỹ sư xuất sắc hoặc một nhà vật lý vừa phải cần; và đó đại khái là nói rằng, toán học đó không có giá trị thẩm mỹ đặc biệt. Ví dụ, hình học Euclid hữu ích vì nó đỗi bình thường - chúng ta không cần lý thuyết về các tiên đề song song, lý thuyết tỷ lệ, hay cách xây dựng hình ngũ giác đều.

Một kết luận khá kỳ lạ khác xuất hiện, đó là toán học thuần túy trên tổng thể lại hữu ích hơn toán học ứng dụng. Một nhà toán học thuần túy dường như có lợi thế cả về mặt thực tiễn lẫn thẩm mỹ. Vì những gì hữu ích trên hết là kỹ thuật, và kỹ thuật toán học chủ yếu được dạy qua toán học thuần túy.

Tôi hy vọng rằng tôi không cần phải nói rằng tôi không có ý hạ thấp toán học - vật lý, một môn học tuyệt vời với những vấn đề to lớn mà trí tưởng tượng xuất sắc nhất đã tự do bay bổng. Nhưng liệu vị trí của một nhà toán học ứng dụng bình thường có đôi chút đáng thương không? Nếu anh ta muốn hữu ích, anh ta phải làm việc một cách chán chường, và anh ta không thể để trí tưởng tượng của mình bay cao ngay cả khi anh ta muốn vươn tới những đỉnh cao. Những "vũ trụ giả tưởng" đẹp đẽ hơn rất nhiều so với "vũ trụ thực" được xây dựng một cách ngớ ngẩn này; và hầu hết những sản phẩm tuyệt vời nhất từ sự bay bổng của một nhà toán học ứng dụng phải bị từ chối, ngay khi chúng được tạo ra, vì lý do thô bạo nhưng đủ thuyết phục rằng chúng không khớp với thực tế.

Kết luận chung, chắc chắn, là khá rõ ràng. Nếu kiến thức thật sự hữu dụng , như chúng ta đã tạm đồng ý , kiến thức có khả năng đóng góp vào sự thoải mái vật chất của con người trong tương lai gần, sao cho sự thỏa mãn trí tuệ thuần túy là không quan trọng, thì đại đa số toán học cao cấp là vô dụng. Hình học và đại số hiện đại, lý thuyết số, lý thuyết tập hợp và hàm, thuyết tương đối, cơ học lượng tử - không cái nào trong số này đứng vững hơn cái nào, và không có nhà toán học thực thụ nào có thể biện minh cho cuộc đời của mình bằng cách này. Nếu đây là điều tốt nhất, thì Abel, Riemann và Poincaré đã lãng phí cuộc đời họ; đóng góp của họ cho sự thoải mái của con người là không đáng kể, và thế giới có thể sẽ hạnh phúc hơn mà không có họ.

Có thể có ý kiến phản đối rằng khái niệm về "tính hữu ích" (utility) đã quá hẹp, rằng tôi chỉ định nghĩa nó theo "hạnh phúc" hoặc "thoải mái" mà thôi, và đã bỏ qua những ảnh hưởng "xã hội" lên tổng thể của toán học mà nhiều người viết gần đây, với những cảm tình rất khác nhau, đã nhấn mạnh rất nhiều. Ví dụ, Whitehead (người đã từng là một nhà toán học) nói về "nỗ lực to lớn của kiến thức toán học đối với cuộc sống của con người, công việc hàng ngày của họ, và tổ chức xã hội"; và Hogben (người không hề ủng hộ những ý kiến của tôi và những nhà toán học khác thường gọi là toán học giống như Whitehead ủng hộ) nói rằng "Nếu không có kiến thức về toán học, không có ngữ pháp nào cụ thể và trật tự, chúng ta không thể lên kế hoạch cho xã hội hợp lý, nơi mọi người có thời gian rảnh rỗi và không ai phải nghèo đói" (?) (và nhiều điều tương tự).

Tôi thực sự không tin rằng tất cả những lời hùng biện này sẽ làm gì để an ủi các nhà toán học. Ngôn ngữ của cả hai tác giả đều bị phóng đại một cách dữ dội, và cả hai đều bỏ qua những sự phân biệt rất rõ ràng. Điều này là tự nhiên trong trường hợp của Hogben, vì ông thừa nhận mình không phải là một nhà toán học; ông hiểu "toán học" là toán học mà ông có thể hiểu, và tôi gọi nó là "toán học trường học". Toán học này có nhiều ứng dụng, điều mà tôi đã thừa nhận, mà chúng ta có thể gọi là "xã hội" nếu muốn, và Hogben nhấn mạnh điều này với nhiều sự nhấn mạnh thú vị về lịch sử khám phá toán học. Chính điều này đã làm cho cuốn sách của ông có giá trị, vì nó giúp ông làm rõ cho nhiều độc giả mà họ không bao giờ là và cũng không bao giờ sẽ là những nhà toán học rằng toán học có nhiều điều hơn những gì họ nghĩ. Nhưng ông hầu như không hiểu toán học "thực sự" (như bất kỳ ai đọc những gì ông nói về định lý Pythagoras, hoặc về Euclid và Einstein, đều có thể nhận ra ngay), và càng ít cảm tình với nó (như ông không ngừng làm rõ điều này). "Toán học thực sự" đối với ông chỉ là một đối tượng của sự thương hại đầy khinh miệt.

Không phải thiếu sự hiểu biết hay cảm tình mà là vấn đề trong trường hợp của Whitehead; nhưng ông quên mất, trong sự nhiệt tình của mình, những sự phân biệt mà ông rất quen thuộc. Toán học có "ảnh hưởng to lớn" này đối với "công việc hàng ngày của con người" và "tổ chức xã hội" không phải là toán học của Whitehead mà là toán học của Hogben. Toán học có thể được sử dụng "cho các mục đích thông thường của người thường" là không đáng kể, và toán học có thể được sử dụng bởi các nhà kinh tế học hoặc xã hội học hầu như không đạt đến "tiêu chuẩn học thuật". Toán học của Whitehead chỉ có thể ảnh hưởng sâu sắc đến thiên văn học hoặc vật lý, triết học ở mức vừa phải - suy nghĩ cao cấp của một dạng nào đó luôn có thể ảnh hưởng đến suy nghĩ cao cấp của một dạng khác - nhưng nó có ảnh hưởng rất ít đến những thứ khác. "Ảnh hưởng to lớn" của nó không phải chỉ là đối với nhiều người nói chung, mà là đối với những người có tư tưởng chung như Whitehead.

Vậy là có hai loại toán học. Một là toán học thực sự của những nhà toán học thực thụ, và hai là toán học mà tôi gọi là "tầm thường" do không tìm được từ nào tốt hơn. Toán học tầm thường có thể được biện minh bằng những lập luận mà Hogben hoặc các nhà viết lách cùng trường phái của ông có thể chấp nhận, nhưng toán học thực sự thì không có được sự bảo vệ như vậy; nó phải được chứng minh như một loại hình nghệ thuật nếu có thể được biện minh. Quan điểm này không hề nghịch lý hay dị thường, mà thực tế là quan điểm chung của các nhà toán học.

Chúng ta còn một câu hỏi cần xem xét. Nhiều người đã kết luận rằng toán học tầm thường, nhìn chung, là hữu ích, và toán học thực sự, nhìn chung, là không; rằng toán học tầm thường có, còn toán học thực sự không, mang lại "lợi ích" theo một nghĩa nhất định. Nhưng chúng ta vẫn phải hỏi liệu một trong hai loại toán học có gây ảnh hưởng tiêu cực nào hay không. Sẽ là cái nhìn ngược đời khi gợi ý rằng toán học dưới bất kỳ hình thức nào gây nhiều tác hại trong thời bình, nên chúng ta bị buộc phải xem xét tác động của toán học đến chiến tranh. Rất khó để tranh luận về những câu hỏi như vậy một cách không thiên vị vào thời điểm hiện tại, và tôi đã muốn tránh chúng; nhưng dường như một số cuộc thảo luận là không thể tránh khỏi. May mắn thay, nó không cần phải dài dòng.

Có một kết luận an ủi đối với một nhà toán học thực sự: Toán học thực sự không ảnh hưởng đến chiến tranh. Chưa ai phát hiện ra bất kỳ mục đích chiến tranh nào mà lý thuyết số hay thuyết tương đối có thể phục vụ, và dường như rất khó xảy ra điều này trong nhiều năm tới. Đúng là có những nhánh toán học ứng dụng, như đạn đạo học (ballistics) và khí động học, được phát triển có chủ ý cho chiến tranh và đòi hỏi một kỹ thuật khá phức tạp; có lẽ thật khó để gọi chúng là "tầm thường", nhưng không một nhánh nào trong số chúng có bất kỳ tư cách nào để được xếp vào loại "thực sự". Thực tế, chúng vừa xấu xí đến mức khó chịu vừa vô cùng nhàm chán; ngay cả Littlewood cũng không thể làm cho đạn đạo học trở nên đáng kính, và nếu ông không làm được thì ai có thể? Vì vậy, một nhà toán học thực sự có thể giữ lương tâm mình trong sạch; không có gì để chống lại bất kỳ giá trị nào mà công việc của ông ấy có thể mang lại; toán học, như tôi đã nói ở Oxford, là một nghề "vô tội và trong sáng".

Mặt khác, toán học tầm thường có nhiều ứng dụng trong chiến tranh. Ví dụ như các chuyên gia pháo binh và các tay thiết kế máy bay không thể làm việc nếu thiếu nó. Và hiệu ứng chung của những ứng dụng này là rõ ràng: toán học tạo điều kiện (dù không hiển nhiên như vật lý hay hóa học) cho chiến tranh hiện đại, khoa học và "toàn diện".

Tuy vậy, không rõ ràng như vẻ bề ngoài và tưởng rằng điều này nên bị hối tiếc, bởi vì có hai quan điểm đối lập rõ rệt về chiến tranh khoa học hiện đại. Quan điểm đầu tiên và rõ ràng nhất là ảnh hưởng của khoa học đến chiến tranh chỉ làm gia tăng mức độ kinh hoàng của nó, cả bằng cách làm tăng sự đau khổ của thiểu số phải chiến đấu và bằng cách lan rộng thương đau đó đến các tầng lớp khác. Đây là quan điểm tự nhiên và chính thống nhất. Nhưng cũng có một quan điểm rất khác, dường như cũng hoàn toàn hợp lý, và đã được Haldane trình bày một cách mạnh mẽ trong Callinicus. Quan điểm này cho rằng chiến tranh hiện đại thực ra ít kinh khủng hơn chiến tranh thời tiền khoa học; rằng bom có lẽ nhân từ hơn lưỡi lê; rằng khí cay và khí mù tạt có lẽ là những vũ khí nhân đạo nhất mà khoa học quân sự từng phát minh; và rằng quan điểm chính thống chỉ dựa trên chủ nghĩa tình cảm thiếu suy nghĩ. Cũng có thể đúc kết (mặc dù đây không phải là một trong những luận đề của Haldane) rằng sự bình đẳng hóa rủi ro mà khoa học mang lại sẽ mang lại lợi ích lâu dài; rằng cuộc sống của một thường dân không đáng giá hơn một người lính, cũng như của một phụ nữ không hơn một người đàn ông; rằng bất kỳ điều gì cũng tốt hơn sự tập trung tàn ác vào một tầng lớp nhất định; và rằng, nói tóm lại, chiến tranh càng nhanh chóng trở nên "toàn diện" thì càng tốt.

Tôi không biết quan điểm nào trong hai quan điểm trên gần với sự thật hơn. Đây là một câu hỏi cấp bách và đầy cảm xúc, nhưng tôi không cần phải tranh luận nó ở đây. Nó chỉ liên quan đến "toán học tầm thường", thứ mà Hogben có trách nhiệm bảo vệ hơn là tôi. Lập luận bảo vệ cho toán học của ông ấy có thể bị tổn hại phần nào; nhưng lập luận cho toán học của tôi thì không bị ảnh hưởng.

Thật vậy, còn có thêm một điều đáng nói, bởi vì có ít nhất một mục đích mà toán học thực sự có thể phục vụ trong chiến tranh. Khi thế giới rơi vào cơn điên loạn, một nhà toán học có thể tìm thấy ở toán học một phương thuốc an thần vô song. Vì toán học, trong tất cả các lĩnh vực về nghệ thuật và khoa học, là ngành khắc khổ nhất và xa vời nhất, và một nhà toán học nên là người dễ dàng nhất trong việc tìm nơi ẩn náu, nơi mà, như Bertrand Russell nói, "ít nhất một trong những động lực cao quý của chúng ta có thể thoát khỏi sự lưu đày ảm đạm của thế giới thực".

Thật đáng tiếc khi phải đưa ra một ngoại lệ rất nghiêm trọng - nhà toán học không nên quá cao tuổi. Toán học không phải là một môn học mang tính chiêm nghiệm mà là một môn sáng tạo; không ai có thể tìm thấy nhiều sự an ủi trong nó khi họ đã mất đi khả năng hoặc khao khát sáng tạo; và điều đó thường xảy ra với một nhà toán học khá sớm. Đó là một điều đáng tiếc, nhưng trong trường hợp đó, họ cũng không còn quan trọng nhiều lắm, và sẽ thật ngớ ngẩn khi phải bận tâm đến họ.

Tôi sẽ kết thúc bằng một bản tóm lược các kết luận của mình, nhưng trình bày chúng theo một cách cá nhân hơn. Tôi đã nói ngay từ đầu rằng bất kỳ ai bảo vệ lĩnh vực của mình đều nhận ra rằng họ đang bảo vệ chính bản thân họ; và sự chứng minh của tôi cho cuộc đời của một nhà toán học chuyên nghiệp suy cho cùng cũng chính là sự biện minh cho chính bản thân tôi. Vì vậy, phần kết luận này, về bản chất, sẽ là một đoạn tự truyện.

Tôi không thể nhớ rằng mình đã từng muốn trở thành bất cứ điều gì khác ngoài là một nhà toán học. Tôi nghĩ rằng điều đó luôn hiển nhiên rằng năng lực đặc biệt của tôi đã thiên về lĩnh vực này, và tôi chưa bao giờ nghĩ đến việc chất vấn phán quyết của những người lớn tuổi hơn mình. Tôi không rõ đã từng cảm nhận, khi còn là một cậu bé, bất kỳ niềm đam mê mạnh mẽ nào đối với toán học, và những ý tưởng mà tôi có về sự nghiệp của một nhà toán học khi đó thì hoàn toàn không cao quý chút nào. Tôi đã nghĩ về toán học như một công cụ để vượt qua các kỳ thi và giành học bổng: tôi muốn vượt trội hơn những cậu bé khác, và điều này dường như là điều rõ ràng nhất để đạt được điều đó.

Khi tôi khoảng mười lăm tuổi, tham vọng của tôi, theo một cách khá kỳ lạ, đã chuyển hướng sắc nét hơn. Có một cuốn sách của Alan St Aubyn có tựa đề A Fellow of Trinity, một trong những cuốn sách viết về cái gọi là đời sống trong các trường cao đẳng ở Cambridge. Tôi cho rằng đây là một cuốn sách còn tệ hơn phần lớn các tác phẩm của Marie Corelli; nhưng một cuốn sách khó có thể hoàn toàn tồi nếu nó có thể khơi dậy trí tưởng tượng của một cậu bé thông minh.

Cuốn sách có hai nhân vật chính, một nhân vật chính chủ đạo tên là Flowers, người gần như hoàn toàn tốt, và một nhân vật chính thứ hai, một con người mềm mỏng hơn nhiều, tên là Brown. Flowers và Brown đối mặt với nhiều hiểm họa trong cuộc sống đại học, nhưng nguy hiểm lớn nhất là một sòng bạc ở Chesterton do hai chị em nhà Bellenden điều hành, hai cô gái trẻ đầy nét quyến rũ nhưng cực kỳ ác ý. Flowers vượt qua tất cả những khó khăn này, đạt được vị trí Second Wrangler và Senior Classic, và tự động được trao học bổng (như tôi cho rằng anh ta chắc chắn sẽ đạt được vào thời đó).

Ngược lại, Brown suy sụp, phá sản, trở thành kẻ nghiện rượu, suýt chết vì chứng mê sảng do rượu trong một cơn giông bão và chỉ được cứu nhờ lời cầu nguyện của Phó Hiệu trưởng trẻ tuổi. Anh ta gặp rất nhiều khó khăn để thậm chí chỉ có được một tấm bằng đại học loại thường, và cuối cùng trở thành một nhà truyền giáo. Tuy nhiên, tình bạn giữa họ không bị phá vỡ bởi những sự kiện bất hạnh này, và khi Flowers nhâm nhi rượu port và thưởng thức những hạt hạnh nhân lần đầu tiên trong Phòng Hội đồng Cao cấp, suy nghĩ của anh lại thoáng qua hình bóng của Brown, với lòng trắc ẩn đầy yêu thương.

Flowers là một chàng trai khá tử tế (theo cách mà ‘Alan St Aubyn’ có thể vẽ ra), nhưng ngay cả suy nghĩ đơn giản của tôi cũng không thể chấp nhận anh ta là người thông minh. Nếu anh ta có thể làm được những điều này, tại sao tôi lại không thể? Đặc biệt là cảnh cuối cùng trong Phòng Hội đồng làm tôi hoàn toàn say mê, và từ thời điểm đó, cho đến khi tôi có một học bổng, toán học đối với tôi chủ yếu là một học bổng tại Trinity.

Khi tôi đến Cambridge, tôi ngay lập tức nhận ra rằng một học bổng đồng nghĩa với "công trình sáng tạo", nhưng phải rất lâu sau tôi mới hình thành được một ý tưởng rõ ràng về nghiên cứu. Dĩ nhiên, tôi đã nhận ra từ khi còn học ở trường rằng, như bất kỳ nhà toán học tương lai nào, tôi có thể làm tốt hơn nhiều so với các thầy cô của mình; và ngay cả khi ở Cambridge, tôi cũng thấy, mặc dù ít thường xuyên hơn, rằng tôi đôi khi làm những việc tốt hơn cả các giảng viên của trường. Nhưng thực tế là tôi hoàn toàn thiếu kiến thức, ngay cả khi tôi tham gia kỳ thi Tripos, về các môn học mà tôi sẽ dành cả phần đời còn lại để nghiên cứu; và tôi vẫn nghĩ về toán học như một môn học chủ yếu mang tính "cạnh tranh".

Đôi mắt của tôi lần đầu tiên được khai sáng bởi Giáo sư Love, người đã dạy tôi trong một vài học kỳ và cho tôi khái niệm đầu tiên về phân tích (analysis). Nhưng điều mang lớn nhất mà tôi phải trả cho ông ấy - vì dù sao ông ấy cũng là một nhà toán học ứng dụng - chính là lời khuyên của ông ấy đọc Cours d'analyse nổi tiếng của Jordan; và tôi sẽ không bao giờ quên sự ngạc nhiên mà tôi cảm nhận được khi đọc tác phẩm tuyệt vời đó, nguồn cảm hứng đầu tiên cho rất nhiều nhà toán học trong thế hệ của tôi, và học được điều đầu tiên khi tôi đọc nó rằng toán học thực sự có ý nghĩa gì. Kể từ đó, tôi đã trở thành một nhà toán học thực thụ theo cách riêng của mình, với những tham vọng toán học vững chắc và một niềm đam mê thực sự với toán học.

Tôi đã viết rất nhiều trong mười năm tiếp theo, nhưng rất ít trong số đó là có giá trị quan trọng; chỉ có bốn hoặc năm bài báo mà tôi vẫn còn nhớ với một chút hài lòng. Cuộc khủng hoảng thực sự trong sự nghiệp của tôi đến mười hoặc mười hai năm sau, vào năm 1911, khi tôi bắt đầu sự hợp tác dài lâu với Littlewood, và vào năm 1913, khi tôi phát hiện ra Ramanujan. Tất cả những công trình tốt nhất của tôi từ đó trở đi đều gắn liền với họ, và rõ ràng mối quan hệ của tôi với họ là sự kiện quyết định trong cuộc đời tôi. Tôi vẫn thường nói với bản thân khi tôi cảm thấy chán nản, và thấy mình bị buộc phải lắng nghe những người lố bịch và phiền toái, rằng "Chà, tôi đã làm một điều mà các bạn không bao giờ có thể làm được, đó là hợp tác với cả Littlewood và Ramanujan trên những điều kiện gần như ngang bằng." Chính nhờ họ mà tôi có được một sự trưởng thành muộn màng đầy bất biến: Ở độ tuổi tốt nhất của mình khi đã qua hơn bốn mươi, khi tôi là một giáo sư tại Oxford. Kể từ đó, tôi đã phải chịu đựng sự suy giảm đều đặn, điều mà là số phận chung của những người đàn ông trung niên và đặc biệt là những nhà toán học lớn tuổi. Một nhà toán học vẫn có thể đủ năng lực khi đã 60 tuổi, nhưng thật vô ích nếu mong đợi họ có những ý tưởng sáng tạo mới.

Bây giờ rõ ràng là cuộc đời tôi, dù có giá trị gì đi nữa, đã kết thúc, và không có gì tôi có thể làm để có thể tăng hay giảm giá trị toán học. Rất khó để tỏ ra khách quan, nhưng tôi vẫn coi đó là một "thành công"; tôi đã nhận được nhiều phần thưởng hơn là ít hơn so với một người có khả năng như tôi. Tôi đã đảm nhiệm một loạt các vị trí thoải mái và "đứng đắn". Tôi rất ít gặp phải những vấn đề nhàm chán trong công việc ở các trường đại học. Tôi ghét "dạy học", và tôi rất ít khi phải làm công việc đó, những gì tôi dạy chủ yếu là giám sát nghiên cứu; và đôi khi chỉ là giảng cho những lớp học cực kỳ tài năng; và tôi luôn có nhiều thời gian rảnh để nghiên cứu, đó là niềm hạnh phúc lớn lao và lâu dài trong cuộc đời tôi. Tôi thấy dễ dàng khi làm việc với người khác, và đã hợp tác trên quy mô lớn với hai nhà toán học xuất sắc; điều này đã giúp tôi đóng góp cho toán học nhiều hơn những gì tôi có thể mong đợi. Tôi cũng đã trải qua những thất vọng, như bất kỳ nhà toán học nào khác, nhưng không có thất vọng nào quá nghiêm trọng hoặc khiến tôi đặc biệt buồn bã. Nếu khi tôi còn 20 tuổi, tôi được đề nghị một cuộc sống ổn định cũng không tồi là bao, tôi sẽ chấp nhận ngay lập tức.

Thật là vô lý khi cho rằng tôi có thể “làm tốt hơn”. Tôi không có khả năng trong ngôn ngữ hay nghệ thuật, và rất ít khi quan tâm đến khoa học thực nghiệm. Tôi có thể đã là một triết gia ở một mức tạm chấp nhận được, nhưng không phải là một người có tính sáng tạo đặc biệt. Tôi nghĩ rằng tôi có thể đã trở thành một luật sư giỏi; nhưng báo chí là nghề duy nhất, ngoài đời sống học thuật, mà tôi cảm thấy thật sự tự tin về cơ hội trong bản thân mình. Không còn nghi ngờ gì nữa, tôi đã đúng khi trở thành một nhà toán học, nếu tiêu chí là để đạt được cái mà người ta thường gọi là thành công.

Vậy thì con đường tôi chọn đi quả thực là chính xác, nếu cái tôi muốn là một cuộc sống thoải mái và hạnh phúc hợp lý. Nhưng những người làm nghề luật sư, nhà môi giới chứng khoán và người đánh cược thường có những cuộc sống thoải mái và hạnh phúc, và rất khó để thấy thế giới trở nên giàu có hơn nhờ sự hiện diện của họ. Liệu có thể có ý nghĩa nào trong việc tôi có thể khẳng định cuộc đời mình ít vô nghĩa hơn của họ không? Lại một lần nữa, tôi nghĩ rằng chỉ có một câu trả lời duy nhất: có thể, nhưng nếu có, chỉ vì một lý do duy nhất: tôi chưa bao giờ làm gì “có ích”. Không có phát hiện nào của tôi đã làm, hoặc có thể làm, trực tiếp hay gián tiếp, vì lợi hay hại, bất kỳ sự khác biệt nào đối với tiện nghi của thế giới. Tôi đã đào tạo ra những nhà toán học khác, nhưng họ là những nhà toán học cùng thời với tôi, và công việc của họ, ít nhất là trong phạm vi tôi đã hỗ trợ họ, cũng vô dụng như của tôi. Được đánh giá theo tất cả các tiêu chuẩn thực tiễn, giá trị của cuộc đời toán học của tôi là bằng không; và ngoài toán học thì nó chẳng còn ý nghĩa gì nữa. Tôi chỉ có một cơ hội duy nhất để thoát khỏi sự phán quyết về sự vô nghĩa, đó là tôi có thể được đánh giá là đã tạo ra một cái gì đó xứng đáng với cái được tạo ra. Và điều mà tôi đã làm ra là không thể chối cãi: câu hỏi là về giá trị của nó.

Vậy, lý do cho cuộc sống của tôi, hay của bất kỳ ai khác đã là một nhà toán học theo nghĩa mà tôi đã là một người, là thế này: tôi đã đóng góp một cái gì đó cho tri thức, và giúp người khác đóng góp thêm nhiều điều hơn nữa; và những cái này hay cái khác có một giá trị mà chỉ khác biệt về độ lớn, chứ không phải về bản chất, so với những sáng tạo của các nhà toán học vĩ đại, hay bất kỳ nghệ sĩ nào khác, lớn hay nhỏ, đã để lại một dấu ấn nào đó cho đời sau.