Sau đây là 4 phần bài viết  "A Mathematician’s Lament" của tác giả Paul Lockhart – một nhà toán học đã giảng dạy nhiều năm tại một trường tư ở Mỹ. Bài viết bàn về cách học theo trực giác và cách giảng dạy cho phép học sinh học bằng cách chính mình tự khám phá các sự vật hiện tượng, học từ trải nghiệm của chính họ chứ không phải bằng cách nói cho họ về các sự vật hiện tượng đó. Bài viết nhấn mạnh tầm quan trọng của việc thay đổi cách giảng dạy Toán học, coi việc học Toán là một hoạt động nghệ thuật và cần nhiều trí tưởng tượng, trong khi quan điểm này chưa được thể hiện trong cách dạy Toán ở hệ thống giáo dục Mỹ.
PHẦN 1
Một nhạc công vừa choàng tỉnh dậy khỏi một cơn ác mộng kinh hoàng nhất. Trong giấc mơ, ông thấy mình mắc kẹt trong một thế giới nơi âm nhạc đã trở thành một phần bắt buộc của hệ thống giáo dục: “Chúng ta đang giúp các học sinh có thể cạnh tranh một cách tốt nhất, trong một thế giới nơi âm nhạc đang ngày càng chiếm một vị trí lớn hơn trong cuộc sống con người”, họ nói. Các nhà giáo dục, các hệ thống trường học, và cả các chính phủ đều tham gia vào dự án quan trọng này. Các nghiên cứu được triển khai, những cuộc hội thảo được tổ chức, và rất nhiều quyết định được ban bố – tất cả, hoàn toàn không có lấy sự tham vấn hay đóng góp của bất cứ một nhạc công hay một nhạc sĩ đang hoạt động nào.
Ai cũng biết các nhạc sĩ ghi lại ý tưởng của mình dưới dạng những nốt và khuông trên những bản nhạc, và do vậy, các ký tự đen trắng ngộ nghĩnh này được coi là thứ “ngôn ngữ của âm thanh”. Bởi thế, thời nay, một trong những yêu cầu bắt buộc đối với các học sinh sinh viên khi muốn lấy bất cứ một bằng cấp gì trong ngành nhạc là phải “đọc thông viết thạo” được thứ ngôn ngữ trên. Thật vậy, sẽ là quá nực cười nếu bạn tin rằng một đứa trẻ có thể hát một bài hát, hay chơi một nhạc cụ mà không cần có một chút nền tảng kiến thức nào về ký âm hay biết sơ qua các học thuyết về nhạc lý. Không nói đến sáng tác, chỉ nghe và chơi nhạc thôi cũng đã là những hoạt động được coi là có độ khó rất cao rồi, và do vậy, chỉ được dạy trong các chương trình từ mức đại học trở lên, thường phải là cao học.
Đó là về đại học, còn về các cấp học thấp hơn như tiểu học, trung học; ở đó nhiệm vụ chính của nhà giáo dục chỉ là tập trung huấn luyện để học sinh có thể sử dụng thuần thục được thứ ngôn ngữ trên, có thể sắp xếp qua lại vị trí các ký tự dựa trên các quy luật đã được soạn sẵn: “Đến giờ học nhạc, bọn em sẽ lấy giấy ký âm ra; khi giáo viên viết các nốt trên bảng, bọn em sẽ chép lại hoặc chuyển chúng về một khóa nhạc khác trên giấy. Quan trọng nhất là biểu tượng khóa nhạc và hình dáng các nốt phải chính xác; và cô giáo luôn yêu cầu bọn em rất kỹ rằng phải viết kín cho bằng hết tờ in khuông nhạc mới được. Một lần chữa bài tập về gam nửa cung, em đã trả lời đúng nhưng không được cô cho điểm, chỉ vì em đánh cái móc cho các nốt nhạc quay nhầm bên.”
Dần dần, các nhà giáo dục học thông thái nhận ra rằng, ngay cả các học sinh rất nhỏ cũng có thể được giao những dạng bài tập như trên. Và trên thực tế, vào thời buổi này, sẽ rất đáng xấu hổ cho thầy cô và các bậc cha mẹ nếu con em, học trò của họ học đến lớp 3 rồi mà vẫn chưa nắm vững được lý thuyết về các khóa và tông trong luật ký âm. “Chắc tôi phải kiếm gia sư nhạc cho thằng con tôi quá. Nó chẳng bao giờ chịu làm bài tập cả, nói những bài tập đó “chán òm”. Suốt cả ngày, lúc nào cũng chỉ thấy nó ngồi nhìn ra ngoài cửa sổ, ngâm nga một giai điệu khỉ gió gì đấy một mình, có những lúc nó còn tự bịa ra một bài hát linh ta linh tinh nào đấy nữa.”
Càng học lên cao, áp lực sẽ càng lớn; suy cho cùng, các học sinh cũng cần phải được chuẩn bị để đối mặt với các kỳ thi tiêu chuẩn sắp tới, trong đó có cả bài thi đầu vào đại học, cao đẳng. Các môn học bắt buộc trong giáo trình giảng dạy thường bao gồm: Thang âm và Gam; Điệu thứ; Nhịp Phách; Kỹ thuật hòa âm, Lý thuyết đối âm học… “Đúng là các em phải học một số lượng môn học khá lớn, tuy vậy đó là một sự chuẩn bị cần thiết; tôi tin là khi học lên các giáo trình cao hơn trong bậc đại học, yêu cầu phải trực tiếp nghe và chơi nhạc, các em sẽ thấy biết ơn tất cả những gì mình đã được học trong chương trình phổ thông…” Tất nhiên, không mấy học sinh tiếp tục đi theo con đường âm nhạc; nên sẽ chỉ có một số rất ít các em được thực sự nghe những âm thanh mà những nốt đen đen ngộ nghĩnh các em vẫn được học ký hiệu cho. Tuy vậy, điều tối quan trọng vẫn là mỗi thành viên trong xã hội đều phải có khả năng đọc được một quãng chuyển tông hay nhận ra một nhịp thứ trong các bản ký âm, bất kể là họ có bao giờ được thực sự nghe một bản nhạc hay không. “Nói thật với anh, phần lớn học sinh ngày nay không giỏi nhạc một chút nào hết. Chúng uể oải trong giờ học, kỹ thuật của chúng kém cỏi, và bài tập chép của chúng thì tệ đến mức gần như không đọc được nữa. Chẳng mấy đứa ý thức được tầm quan trọng của âm nhạc vào thời buổi hiện nay, tất cả chúng chỉ muốn làm quấy quá cho xong nhiệm vụ, miễn cứ kiếm đủ điểm tối thiểu để được lên lớp là xong. Tôi nghĩ đứa nào giỏi thì đã giỏi từ bé, còn những đứa đã bẩm sinh không có thiên khiếu thì có học thế chứ học nữa cũng vậy thôi. Mà, tôi biết có một cô bé giỏi lắm nhé, trời ơi, bài ký âm của nó, bài nào cũng phải nói là chuẩn cực luôn – mọi nốt đều ở đúng vị trí, mọi nét ký đều chính xác, sắc nét, rõ ràng, tất cả đều đẹp đến hoàn hảo! Chắc chắn rồi đây con bé sẽ trở thành một nhạc công vĩ đại cho mà xem!”
Choàng tỉnh dậy trong mồ hôi lạnh vì sợ hãi, người nhạc công nhận ra rằng, may mắn thay, tất cả đó chỉ là một giấc mơ – một cơn ác mộng điên rồ! “Tất nhiên rồi!”, ông tự trấn an bản thân, “làm gì có xã hội nào độc ác đến mức bóp chết một trong những hình thái nghệ thuật đẹp và ý nghĩa nhất của con người thành một thứ ngớ ngẩn và vô nghĩa lý đến thế! Không một nền văn hóa nào lại có thể tàn nhẫn đến độ tước đoạt đi của trẻ em một phương cách tự nhiên nhất, tuyệt vời nhất để thăng hoa, để thỏa mãn và thể hiện cảm xúc của bản thân như vậy! Thật lố bịch, quá sức lố bịch!”
Cùng lúc ấy, cách đó vài con phố, người họa sĩ của thị trấn cũng vừa choàng tỉnh khỏi một giấc mộng kinh hoàng tương tự…
Tôi kinh ngạc nhận ra mình đang ở trong một căn phòng học hoàn toàn bình thường – không giá vẽ, không ống mực, không có một thứ gì dùng để vẽ. “Ồ, ở đây chúng tôi không thực sự vẽ, cái đó phải đợi đến khi các em học đến cấp III kia” – một giáo viên trả lời thắc mắc của tôi. “Ở lớp bảy, chủ yếu các em học về màu vẽ và bảng pha màu”. Rồi họ đưa tôi xem một tờ phiếu bài tập của học sinh. Trên mặt giấy là những ô màu, bên dưới là những dòng trống, và các học sinh được yêu cầu điền vào đó tên của màu sắc trong những ô tương ứng bên trên. “Em thích môn Mỹ thuật lắm”, một học sinh hào hứng, “chỉ cần làm theo hướng dẫn là xong. Dễ nhất luôn!”.
Sau giờ học, tôi tìm đến nói chuyện với giảng viên. “Vậy các học sinh của anh không được thực sự vẽ gì hay sao?”, tôi hỏi. “Có chứ, sang năm các em sẽ được học lớp Dự bị bộ môn Vẽ-theo-số. Nó sẽ chuẩn bị cho các em kiến thức nền tảng để theo học các phân môn Vẽ-theo-số cao hơn trong bậc phổ thông. Sau đó, khi vào đời, các em sẽ có khả năng áp dụng những kiến thức được học bây giờ vào thực tế – nhúng cọ vào sơn, quét màu, lau khô, mấy thứ đại loại thế. Tất nhiên chúng tôi cũng theo dõi rất sát sao năng lực của học sinh. Những họa sĩ giỏi nhất – những em nắm vững nhất kiến thức về cọ vẽ, màu vẽ, giá vẽ – sẽ được thực sự vẽ sớm hơn, tất nhiên; nhiều em thậm chí đã có thể tự tin đăng ký lớp Dự Bị Đại Học để tích lũy tín chỉ cho đại học ngay từ bây giờ. Nhưng chủ yếu chúng tôi chỉ cố giúp các em có một hiểu biết căn bản nhất về hội họa, để sau này khi ra ngoài đời, nhỡ có lúc phải sơn lại căn bếp hay quét vôi lại mảng tường trước nhà, các em cũng không đến mức phải bỡ ngỡ.”
“Ừm, các lớp học ở phổ thông mà anh nhắc đến lúc nãy, nó là…”
“Ý anh là các lớp Vẽ-theo-số? Gần đây số lượng học sinh đăng ký học những môn đó đang tăng đột biến đấy nhé. Tôi nghĩ chúng chủ yếu đến từ các bậc cha mẹ muốn đảm bảo cho con mình sẽ vào được một trường đại học tốt. Không có gì đảm bảo cho các thí sinh tương lai tốt hơn một chứng chỉ loại giỏi môn Vẽ-theo-số trong học bạ đâu!”
“Sao các trường đại học lại đi quan tâm đến việc thí sinh của mình có biết tô màu vào đúng ô hay không?
“Ừ thì, anh biết đấy, nó cho thấy là thí sinh có một tư duy logic… vả lại nếu các em muốn được học những chuyên ngành về mỹ thuật như thiết kế thời trang hay trang trí nội thất; chẳng phải sẽ tốt hơn nếu ngay từ bậc phổ thông các em đã có thể đáp ứng đủ những yêu cầu cơ bản về hội họa hay sao?”
“Tôi hiểu rồi. Thế bao giờ thì các học sinh được vẽ tự do, trên một tấm toan trắng?”
“Anh nói cứ y như một ông giáo sư đã từng dạy tôi hồi xưa ấy! Lúc nào cũng rao giảng về việc hội họa là phải thể hiện bản thân, rồi thể hiện cảm xúc rồi các thứ này nọ… toàn những thứ huyễn hoặc, trừu tượng đâu đâu ấy! Tôi á, tôi cũng có một bằng đại học về hội họa đấy, nhưng chẳng mấy khi tôi làm việc với một tấm toan trắng tinh không có gì cả. Tôi chỉ hay dùng những bộ dụng cụ Vẽ-theo-số được nhà trường cấp là chủ yếu thôi.”
* * *
Đáng buồn thay, hệ thống giáo dục toán của chúng ta hiện nay đang giống chính xác như những cơn ác mộng kinh khủng trên. Trên thực tế, nếu bạn bảo tôi phải thiết kế ra một hệ thống hoàn hảo với mục đích tối thượng là hủy hoại hoàn toàn trí tò mò và tình yêu với việc tự phát hiện ra những quy luật của riêng mình ở trẻ em, tôi chắc chắn sẽ không thể làm tốt hơn những gì đang được làm hiện nay – Tôi chỉ đơn giản là không có đủ trí tưởng tượng để có thể nghĩ ra hàng đống những ý tưởng quá sức tàn nhẫn và vô nghĩa lý, như những cái đang tạo nên nền giáo dục toán học ngày nay!
Ai cũng biết là có gì đó không ổn ở đây. Các quan chức chính phủ nói “Chúng ta cần những tiêu chuẩn khắt khe hơn!”. Các nhà trường thì nói “Chúng ta cần thêm tiền và trang thiết bị hiện đại hơn!”. Các nhà giáo dục nói một kiểu, và các thầy cô lại nói một kiểu khác nữa. Và tất cả đều sai. Những người duy nhất thực sự hiểu chuyện gì đang xảy ra lại là những người luôn bị đổ lỗi nhiều nhất, và ít được lắng nghe nhất: các học sinh. Các em nói: “Giờ Toán nào cũng chán òm!”. Và các em đã nói hoàn toàn chính xác!
* * *
Toán học và văn hóa
Đầu tiên chúng ta cần phải hiểu rằng, Toán học cũng là một môn nghệ thuật. Sự khác biệt giữa toán và các loại nghệ thuật khác, như âm nhạc hay hội họa, đấy là nền văn hóa của chúng ta không nhìn nhận nó như thế. Ai cũng biết rằng các nhà thơ, họa sĩ, nhạc sĩ sáng tạo nên những tác phẩm nghệ thuật, và tự thể hiện mình qua chất liệu của ngôn ngữ, màu sắc hoặc âm thanh. Trên thực tế, xã hội còn khá là nhân nhượng với từ “sáng tạo”: đến cả những kiến trúc sư, đầu bếp, thậm chí cả đạo diễn phim truyền hình cũng có thể được coi là những “nghệ sĩ”. Vậy tại sao các nhà toán học lại không thể được thừa nhận như vậy?
Một phần của vấn đề là ở chỗ, hầu như không ai hiểu một cách thực sự các nhà toán học làm gì.  Quan niệm thường thấy nhất của số đông có vẻ là các nhà toán học, theo một cách nào đấy, làm những việc liên quan đến khoa học – có thể họ giúp các nhà khoa học nghĩ ra những công thức và thuật toán; hay nhập những con số rất lớn vào máy tính vì một lý do gì đấy. Không cần hỏi cũng biết, nếu có một ngày thế giới phải chia thành hai nhóm: nhóm “những người mơ mộng lãng mạn” và nhóm “những người tư duy lý trí”; chắc chắn hầu hết mọi người sẽ xếp các nhà toán học vào dạng thứ hai: nhóm “những người tư duy lý trí”.
Tuy vậy, thực tế không có thứ gì thơ mộng, lãng mạn; không thứ gì cấp tiến, cách mạng; cũng không thứ gì có thể khiến người ta mê đắm, ảo mị như toán học. Nó ẩn chứa nhiều những kinh ngạc và bất ngờ không hề thua kém vũ trụ học [1] hay vật lý (các nhà toán học đã mường tượng ra khái niệm hố đen từ rất lâu trước khi các nhà thiên văn thực sự tìm thấy một hố đen); và cho người ta nhiều tự do để thể hiện mình hơn thơ, họa, nhạc rất nhiều (những hình thái nghệ thuật này luôn bị phụ thuộc vào các nguyên liệu vật chất, hoặc có tính hạn định như ngôn ngữ, màu sắc, âm thanh). Toán học là hình thức nghệ thuật thuần khiết nhất, cũng là hình thức nghệ thuật bị hiểu sai nhiều nhất.
Bởi vậy xin hãy để tôi được giải thích toán học là gì, và các nhà toán học thực sự làm gì. Tôi nghĩ mình không thể làm tốt hơn lời miêu tả thực xác đáng sau đây của nhà toán học người Anh G.H. Hardy:
“Một nhà toán học, cũng như một họa sĩ hay nhà thơ, là một người tìm ra các quy luật. Nếu những quy luật của anh ta có bền vững hơn của một họa sĩ hay một nhà thơ, thì đó là vì chúng là quy luật của những ý tưởng.”
Vậy các nhà toán học ngồi một chỗ, tìm ra quy luật của những ý tưởng. Nhưng loại quy luật như thế nào? Loại ý tưởng như thế nào? Ý tưởng về loài tê giác chăng? Không, cái đó dành cho các nhà sinh vật học. Hay ý tưởng về ngôn ngữ và các nền văn hóa? Không, hầu hết không phải là vậy. Tất cả những thứ đó đều quá phức tạp so với sở thích của một người làm toán. Nếu có một thứ có thể coi là tư tưởng thẩm mỹ chung nhất cho toán học, thì đấy là: sự đơn giản chính là vẻ đẹp. Các nhà toán học ưa thích nghĩ đến những thứ đơn giản hết mức có thể, và thứ đơn giản nhất, chính là những nằm trong trí tưởng tượng của chúng ta.
Ví dụ, nếu tôi có hứng nghĩ về các hình khối – và thường thì tôi rất hay có hứng nghĩ về chúng – tôi sẽ hình dung về một tam giác bên trong một cái hộp chữ nhật như thế này:
img_0
Tôi sẽ tự hỏi: cái tam giác kia chiếm bao nhiêu phần của cái hộp chữ nhật? Hai phần ba, có lẽ? Điều quan trọng cần nhớ ở đây là không phải tôi đang nói về cái hình vẽ trên giấy về một tam giác bên trong một hình chữ nhật. Cũng không phải tôi đang thắc mắc về một kết cấu kim loại hình tam giác trong một chi tiết dầm đỡ của một cây cầu nào đó. Hoàn toàn không có một mục đích thiết thực nào ẩn giấu trong câu hỏi này cả. Tôi chỉ đang chơi đùa vậy thôi. Đấy mới là toán – tự thắc mắc, tự chơi đùa với trí tưởng tượng của chính mình. Ngay từ đầu, cái câu hỏi “hình tam giác chiếm bao nhiêu phần của hình chữ nhật” kia đã chẳng thể áp dụng nổi với bất cứ vật thể có thực nào. Kể cả những tam giác được tạo tác một cách tinh xảo, chính xác nhất; cũng vẫn là một mớ hỗn độn quá phức tạp của hàng đống những nguyên tử và phân tử, nhảy từ bên này qua bên kia, dao động qua lại liên tục trong từng tích tắc. Đấy là, trừ khi bạn chỉ đang nói đến một hệ đo lường theo kiểu xấp xỉ. Lúc đấy thì lại là vấn đề của mỹ thuật mất rồi. Nó không hề đơn giản, và do đó, nó là một câu hỏi rất gây ức chế, bởi phụ thuộc quá nhiều vào đủ thứ chi tiết của thế giới thực. Cứ để nó cho các nhà khoa học cho xong. Câu hỏi toán học ở đây là về một tam giác tưởng tượng, bên trong một hình chữ nhật tưởng tượng. Các đường biên của chúng đều thẳng một cách tuyệt đối, bởi vì tôi muốn thế – đây mới là thứ tôi thực sự thích ở toán: mọi thứ đều có đúng những đặc tính như bạn muốn nó có. Bạn có vô hạn những lựa chọn, không hề có một thực tại nào cản trở bạn hết.
Mặt khác, một khi bạn đã quyết định các đặc tính cho đối tượng của mình (ví dụ, tôi có thể cho tam giác của mình có tính đối xứng, hoặc không); thì từ đó trở đi sáng tạo của bạn sẽ tự vận hành theo những nguyên tắc của riêng nó, bất kể bạn có muốn hay không. Đây mới là điều kỳ diệu nhất của những sáng tạo tưởng tượng này: chúng trả lời lại bạn! Có một con số đâu đó ngoài kia cho câu hỏi của tôi, nó có thể là hai phần ba, cũng có thể không, nhưng tôi không được phép quyết định nó là gì. Tôi sẽ phải tìm ra nó.
Vậy là chúng ta được thỏa sức nghĩ ra bất cứ thứ gì ta muốn, sau đó tạo ra các quy luật và đặt các câu hỏi về chúng. Nhưng làm thế nào ta có thể trả lời cho những câu hỏi kiểu này? Toán không giống như các môn khoa học: không có ống nghiệm, bình pha các kiểu để tôi có thể làm các thí nghiệm để trả lời cho câu hỏi về một thứ chỉ tồn tại trong trí tưởng tượng của tôi. Cách duy nhất để tìm ra được sự thật về một thứ tưởng tượng, đấy là phải dùng chính trí tưởng tượng, và đấy không phải là một công việc dễ dàng gì đâu.
Về trường hợp cái tam giác trong một hình chữ nhật, tôi có thấy một phương án rất đẹp và đơn giản thế này:
img_1
Nếu tôi “chém” một nhát dọc cái tam giác thế này, tôi có thể thấy rõ: mỗi nửa bị chém đều được một cạnh bên của tam giác chia đôi thành hai phần bằng nhau. Thế tức là phần không gian bên trong và phần không gian bên ngoài tam giác ở hai bên là bằng nhau. Tức là cái tam giác này chiếm đúng một nửa diện tích của hình chữ nhật!
Đây mới thực sự là một bài toán. Ví dụ ngắn vừa rồi của tôi chính là đại diện cho nghệ thuật của một nhà toán học: đặt những câu hỏi đơn giản mà sáng suốt về một đối tượng tưởng tượng của riêng mình, và tạo ra được những câu trả lời thích đáng và thỏa mãn đến tuyệt vời cho chúng. Thực sự không có gì tuyệt vời như cảm giác được tung hoành trong vương quốc của những ý tưởng: nó hấp dẫn, nó lôi cuốn người ta, và nhất là, nó hoàn toàn miễn phí!
Nhưng ý tưởng cho câu trả lời đó của tôi đến từ đâu? Sao tôi lại biết phải cần kẻ thêm đường kẻ đó? Thế tại sao một họa sĩ lại biết cần nên đặt bút vào chỗ nào trước? Cảm hứng bất chợt, kinh nghiệm, thử đi thử lại nhiều lần, ăn may. Đây chính là nét nghệ thuật của nó: tạo ra những áng tuyệt thi của suy nghĩ, những bản xô-nát của ý tưởng. Có một thứ gì đó có sức lôi cuốn, sức thay đổi rất mãnh liệt ở thứ nghệ thuật này. Mối quan hệ giữa hình tam giác và hình chữ nhật kia vốn là một điều bí ẩn, rồi xuất hiện thêm một đường kẻ, và tất cả mọi thứ bỗng đột nhiên trở nên sáng rõ. Chỉ trong phút chốc, tôi đã nhìn thấy được một điều mà lúc trước tôi không thể thấy. Bằng một cách diệu kỳ nào đó, tôi đã tạo ra được một vẻ đẹp sâu sắc chẳng từ một cái gì cả, và trong cùng lúc đó tự thay đổi chính bản thân tôi. Chẳng phải nghệ thuật chính là thế hay sao?
Đó là lý do tại sao tôi đau khổ biết bao khi nhìn những gì đang được làm với toán ở trường học. Từ một chuyến phiêu lưu đầy hấp dẫn và lôi cuốn của trí tưởng tượng, toán học đã bị rút lại thành một mớ những “định luật” để học sinh ghi nhớ và một đống các “bước”, quy trình để học sinh làm theo. Thay vì được tự mình đặt ra một câu hỏi đơn giản và tự nhiên về hai hình khối, được tự mình trải qua một quy trình tuyệt vời và đầy hưng phấn của khám phá và sáng tạo, các em học sinh lại được “chiêu đãi” một thứ như thế này đây:
Công thức tính diện tích tam giác:
img_2
S = ½ b.h 
“Diện tích một tam giác bằng một phần hai tích của độ dài cạnh đáy và chiều cao của nó”. Học sinh được yêu cầu học thuộc công thức này, sau đó “áp dụng” lại nó, lặp đi lặp lại nhiều lần trong các “bài tập”. Còn đâu sự phấn khích, sự hứng khởi, thậm chí cả những phút khổ sở, bế tắc của quá trình sáng tạo. Ở đây thậm chí còn không có một vấn đề nào để giải quyết nữa. Câu hỏi đã được hỏi và được trả lời cùng một lúc. Chẳng còn lại gì cho các học sinh thực sự làm cả.
Hãy để tôi nói cho rõ thứ tôi đang công kích. Không phải việc các công thức, hay việc ghi nhớ những quy tắc thú vị là có gì sai trái. Trong tình huống này phải có nó ở đó, cũng giống như học ngoại ngữ thì phải nhớ từ vựng vậy – nó giúp học sinh tạo ra được những tác phẩm hay hơn, giàu có, phong phú hơn. Nhưng thứ quan trọng nhất ở đây là ý tưởng “chém” đôi cái tam giác ra bằng một đường kẻ, và việc từ một đường kẻ đó có thể dẫn ra thêm bao nhiêu ý tưởng và những đột phá mới trong sáng tạo để từ đó có thể giải quyết được những vấn đề khác – những thứ mà chỉ một dòng định lý không thể nào mang lại cho ta được.
Bằng cách bỏ đi hoàn toàn quá trình sáng tạo và chỉ để lại mỗi kết quả của quá trình sáng tạo ấy, bạn vô hình chung đã tự đảm bảo chắc chắn rằng sẽ không có ai có thể thực sự hiểu rõ vấn đề. Giống như là nói với tôi Michelangelo [2] đã tạo ra một tác phẩm điêu khắc tuyệt đẹp, nhưng lại không cho tôi được thấy tác phẩm đó hình dáng ra sao. Thế thì làm thế nào nó có thể khơi gợi cảm hứng cho tôi hay làm tôi rung động được? (và trong thực tế với môn toán, sự việc còn tệ hơn nữa kia – ít nhất trong cái ví dụ trên đây, tôi vẫn còn hiểu rằng thứ tôi đang không được thưởng thức là một tác phẩm nghệ thuật ).
Bằng cách tập trung vào câu hỏi cái gì; mà xa rời câu hỏi tại sao; toán học đã bị chúng ta rút lại chỉ còn là một cái vỏ trống rỗng. Nghệ thuật của nó không nằm trong “định lý”, nó nằm trong cách giải thích, cách lập luận. Chính sự lập luận mới cho định lý nội dung của nó, chính lập luận mới quyết định câu nói được phát biểu, và ý nghĩa thực sự của câu nói đó. Nếu bạn từ chối cho học sinh của mình tham gia vào các hoạt động này – được tìm ra vấn đề của riêng chúng, được đưa ra những suy đoán và khám phá của riêng chúng, được sai, được vò đầu bứt tai vì không tìm ra cách giải, được bỗng dưng tìm thấy cảm hứng bất ngờ, và được đưa ra những cách kiến giải và chứng cứ của riêng chúng – thì tức là bạn đã tước đi khỏi chúng toán học đích thực. Vậy nên không, tôi không phải đang than phiền về sự có mặt của công thức và định luật trong các lớp học toán. Tôi đang than phiền về sự thiếu vắng của toán học trong các lớp học toán.
PHẦN 2
Nếu giáo viên mỹ thuật của bạn nói rằng hội họa đơn giản chỉ là tô màu vào những ô trống tương ứng đã được đánh số sẵn, bạn sẽ biết có gì đó không ổn ở đây. Nền văn hóa sẽ thông báo cho bạn – có hàng trăm bảo tàng và triển lãm tranh, cũng như vô số các bức tranh treo trong các hộ gia đình. Hội họa đã được xã hội hiểu rõ như một hình thức biểu đạt của tâm hồn con người. Cũng như thế, nếu giáo viên khoa học của bạn cố thuyết phục bạn rằng thiên văn học là môn nghiên cứu tương lai con người dựa vào ngày tháng năm sinh, bạn sẽ nghĩ bà giáo này hẳn bị điên – khoa học đã thấm sâu vào văn hóa đại chúng tới mức gần như tất cả mọi người đều biết về nguyên tử, thiên hà và các định luật của thiên nhiên. Nhưng nếu giáo viên toán học gây cho bạn ấn tượng, dẫu là trực tiếp hay gián tiếp, rằng toán học chỉ đơn giản là về công thức, định nghĩa và ghi nhớ các thuật toán để giải bài tập, ai sẽ là người giúp bạn nhận ra sự thật đây?
Vấn đề này của nền văn hóa là một chu trình tiếp nối đến bất tận: học sinh học toán từ các giáo viên, các giáo viên lại học toán từ các giáo viên của họ; sự thiếu trân trọng và hiểu biết về toán học trong nền văn hóa này thành ra cứ thế đã lặp đi lặp lại qua không biết bao nhiêu thế hệ. Và tệ hơn nữa, chu trình vô tận của loại “toán học giả hiệu” này – thứ toán học chỉ biết chú trọng vào những ký hiệu và biểu tượng, tuy chính xác, nhưng vô nghĩa – đã có thời gian để tạo nên nền văn hóa của riêng nó, tạo nên hệ giá trị của riêng nó. Những người đã trở nên thuần thục các kỹ năng của môn học này sẽ rất tự hào về khả năng của mình, và thứ cuối cùng trên đời họ muốn nghe là toán học thực sự phải hướng đến tính sáng tạo và sự tinh tế thẩm mỹ của từng cá nhân. Rất nhiều học sinh sau khi tốt nghiệp đã vô cùng thất vọng khi nhận ra, sau cả chục năm được khen là “giỏi toán”, rằng mình thực tế chẳng có một chút năng khiếu toán học nào, và rằng mình chỉ đơn giản là giỏi làm theo hướng dẫn mà thôi. Toán không phải là việc lầm lũi đi theo các hướng có sẵn, toán là tự khai phá ra những con đường mới chưa từng có ai đi kia.
Và đấy là tôi còn chưa nhắc đến sự thiếu vắng của công tác phê bình trong dạy và học toán ở trường học đấy. Chưa bao giờ học sinh được biết đến một bí mật: đó là toán học, cũng như bất cứ hình thức văn học nào, được tạo ra bởi con người với mục đích giải trí đơn thuần; rằng toán học cũng là đối tượng để phê bình, đánh giá; rằng người ta có thể có và phát triển dần một khả năng cảm nhận về toán. Một bài giải toán cũng giống như một áng thơ vậy; chúng ta có thể đặt câu hỏi rằng liệu nó có đáp ứng những yêu cầu thẩm mỹ của chúng ta không: Luận điểm có chắc chắn không? Có hợp lý không? Có đơn giản mà tinh tế không? Có giải quyết đúng trọng tâm của vấn đề không? Nhưng tất nhiên sẽ không có phê bình toán học ở trường học rồi – làm gì có tí nghệ thuật nào ở đó để mà phê bình!
Tại sao chúng ta lại không muốn con cái mình được học toán học thực sự? Có phải vì chúng ta không tin vào năng lực của chúng, vì toán học như thế có vẻ quá khó với các em? Chúng ta có vẻ đều nhất trí rằng các em hoàn toàn có đủ khả năng để đưa ra luận điểm và tự rút ra những kết luận của riêng mình về Napoleon, tại sao điều đó lại không đúng khi đối tượng là một hình tam giác? Tôi nghĩ chỉ đơn giản là vì chúng ta, với tư cách là một nền văn hóa, chẳng biết cái quái gì về toán học thực sự cả. Ấn tượng của chúng ta về toán có vẻ là một thứ gì đó rất cao siêu, bác học, rằng hầu như không ai có thể hiểu được nó – một nhận thức sai lầm về sự thật, vô tình lại dẫn đến một kết quả đúng như thế: chẳng ai thực sự hiểu toán là gì cả.
Đã đủ tệ khi cả một nền văn hóa chẳng biết gì về toán rồi; nhưng đằng này ở đây còn tệ hơn nhiều, nhiều nữa, khi người ta thực sự tin rằng mình biết mục đích của toán, họ dường như đã có một hiểu lầm đáng kinh sợ rằng toán học, theo một cách nào đấy, có ích cho xã hội! Ngay ở đây đã có một sự khác biệt rất lớn trong cách xã hội đối xử giữa toán và các môn nghệ thuật khác. Toán học được xã hội nhìn nhận như kiểu một công cụ cho khoa học và công nghệ. Tất cả mọi người đều biết rằng thơ ca và âm nhạc là những thứ sinh ra vì mong muốn tận hưởng thuần túy của con người, sinh ra để nâng đỡ và khiến tâm hồn con người trở nên cao khiết, trong sạch hơn (và do đó, chúng mới gần như bị loại trừ ra khỏi chương trình học). Nhưng không, toán thì khác. Toán rất quan trọng.
SIMPLICIO:    Chẳng lẽ anh đang định nói rằng toán học thực sự không có một ích lợi hay công dụng thiết thực nào cho xã hội hay sao?
SALVIATI:    Tất nhiên là không. Tôi chỉ đang nói rằng, không thể cứ vì một thứ có một hai công dụng thiết thực nào đấy mà mặc nhiên cho rằng nó sinh là chỉ để làm có thế. Âm nhạc có thể thúc đẩy bước đi của binh sĩ khi lâm trận, nhưng đấy không phải là lý do người ta viết những bản giao hưởng hay xô-nát. Michelangelo đã trang trí những bức tường và trần nhà, nhưng tôi chắc chắn trong đầu mình, ông ta có những tài năng còn quý giá hơn rất nhiều.
SIMPLICIO:    Nhưng chúng ta vẫn cần người học những công dụng thiết thực đấy phải không? Chúng ta vẫn cần phải có các kế toán, thợ mộc, vv… chứ?
SALVIATI:    Có bao nhiêu người thực sự cần dùng đến những thứ “toán học thiết thực” vẫn đang được dạy và học như bây giờ chứ? Bộ anh nghĩ các thợ mộc ngoài kia cần dùng đến các công thức lượng giác sin và cos hay sao? Và anh nghĩ có bao nhiêu người lớn còn nhớ được cách chia phân thức, hay nhớ cách giải phương trình bậc hai một ẩn? Rõ ràng chương trình dạy “kỹ năng toán học thiết thực” mà chúng ta đang làm gần như là chẳng giúp ích được gì cho ai hết, và lý do thì cũng rõ ràng không kém: nó chán đến đau đớn, và đằng nào thì cũng sẽ chẳng ai dùng tới mớ kiến thức nó bắt người ta học cả. Thế thì tại sao ta vẫn nghĩ toán học quan trọng đến thế? Tôi thì không thấy xã hội có được thêm một tí lợi ích gì khi có những cư dân của nó đi lại quanh quẩn, với hàng đống những ký ức mờ nhạt trong đầu về công thức đại số hay biểu đồ hàm bậc này bậc kia, và một ký ức rõ ràng về việc họ ghét toán đến thế nào. Mặc dù vậy, học toán cũng có thể đem lại một đôi chút lợi ích – đó là cho người ta được chiêm ngưỡng một thứ nghệ thuật tuyệt đẹp, và cho họ cơ hội để có thể được tận hưởng cảm giác sáng tạo, có tư duy linh hoạt, có những suy nghĩ rộng mở – những thứ mà nếu được giảng dạy đúng cách, bất cứ ai cũng có thể có được từ toán.
SIMPLICIO:   Nhưng người ta cũng cần phải biết cách quản lý chi tiêu của mình sau này chứ, phải không?
SALVIATI:   Tôi chắc chắn rằng hầu hết mọi người sẽ dùng một cái máy tính bỏ túi cho những phép toán thường nhật kiểu như thế. Mà tại sao lại không chứ? Nó rõ ràng là chính xác và đáng tin cậy hơn hẳn tính tay. Nhưng ý của tôi không phải chỉ ở hệ thống giáo dục hiện tại tệ hại đến kinh khủng, mà còn ở việc những thứ đang thiếu vắng trong chương trình toán bây giờ chúng tuyệt đến thế nào! Toán học nên được dạy như một môn nghệ thuật, và dạy vì lợi ích nghệ thuật của nó. Những thứ “công dụng thiết thực” chán òm kia rồi sẽ tự nhiên xuất hiện như một sản phẩm phụ của quá trình chính thôi. Beethoven chắc chắn có thể rất dễ dàng viết một bài hát quảng cáo dễ nhớ dễ nghe; nhưng động cơ thực sự khiến ông học nhạc là để tạo ra và tận hưởng vẻ đẹp của một tác phẩm nghệ thuật kìa.
SIMPLICIO:    Nhưng đâu phải ai cũng có thể trở thành những nghệ sĩ. Thế còn những đứa bẩm sinh đã “dốt” toán thì sao? Anh định nhét chúng vào đâu trong cái viễn cảnh của mình?
SALVIATI:    Nếu tất cả mọi người đều được tiếp xúc với toán đúng như với bản chất thực sự của nó, với tất cả những thử thách đầy hấp dẫn và những bất ngờ thú vị mà nó mang theo, tôi tin sẽ có một sự thay đổi rất lớn ở cả thái độ học của học sinh với toán cũng như chính khái niệm của chúng ta về việc “giỏi” hay “dốt” toán. Chúng ta đang mất đi quá nhiều các bạn trẻ có tiềm năng trở thành những nhà toán học tương lai – những người thông minh, sáng tạo và chắc chắn sẽ không chấp nhận thứ toán học được trình bày khiến nó trông như một môn học thật vô dụng và vô nghĩa lý kia. Họ chỉ đơn giản là quá thông minh để phí phạm thời gian vào một hoạt động vớ vẩn, vô nghĩa đến vậy.
SIMPLICIO:    Nhưng anh không sợ rằng nếu toán được giảng dạy như một môn nghệ thuật trong trường học, sẽ có những học sinh chẳng học được gì hay sao?
SALVIATI:  Thì bây giờ chúng cũng có học được cái gì đâu! Thà không có lớp học toán trong chương trình dạy còn hơn là dạy nó theo kiểu như bây giờ. Ít nhất lúc ấy biết đâu sẽ có vài người có cơ hội tự khám phá được một thứ tuyệt đẹp đến vậy theo cách của riêng mình.
SIMPLICIO:  Vậy theo anh ta nên chủ trương loại bỏ hẳn toán ra khỏi chương trình học?
SALVIATI:  Phần toán học thực sự đã bị loại bỏ ra khỏi chương trình từ lâu rồi! Vấn đề duy nhất chỉ là phải làm gì với cái vỏ trống rỗng, vô nghĩa còn lại mà thôi. Tất nhiên tôi vẫn ủng hộ nhiều hơn phương án thay thế nó bằng các hoạt động hấp dẫn và chủ động tiếp cận với các ý tưởng toán học.
SIMPLICIO:  Nhưng liệu sẽ có bao nhiêu giáo viên toán biết đủ rõ về môn học của mình để có thể giảng dạy được theo cách như thế?
SALVIATI:  Rất ít. Và đấy mới chỉ là phần nổi của tảng băng chìm mà thôi…
* * *
Môn Toán trong trường học
Chắc chắn sẽ không có cách nào hiệu quả hơn để tiêu diệu sự hứng thú, sự ham thích với một môn học bằng việc khiến nó trở thành một phần bắt buộc của chương trình. Biến nó thành một phần quan trọng của những bài kiểm tra được tiêu chuẩn hóa, và bạn đã vô hình chung tự đảm bảo rằng trường học sẽ hút hết mọi sự hấp dẫn ra khỏi nó. Các ban ngành lãnh đạo, các nhà giáo dục, các tác giả sách giáo khoa, các công ty xuất bản, và đáng buồn thay, cả hầu như mọi giáo viên toán nữa, chẳng ai biết toán học thực sự là gì hết. Phạm vi của vấn đề này lớn đến nỗi tôi không biết nên bắt đầu từ đâu nữa.
Hãy thử bắt đầu với sự thất bại ê chề của công cuộc “cải cách giáo dục” môn Toán. Suốt nhiều năm nay, càng ngày càng có thêm nhiều người nhận ra có gì đó không ổn trong cách môn Toán được giảng dạy. Các nghiên cứu đã được triển khai, nhiều cuộc hội thảo đã được tổ chức, và không biết bao nhiêu là các hội đồng giáo viên, các nhà xuất bản sách, và đủ các thể loại nhà làm giáo dục khác đã được tập hợp để “khắc phục và sửa chữa vấn đề”. Bên cạnh chuyện tiền đổ ra để đầu tư cải cách rốt cục cũng chỉ quay lại làm lợi cho các nhà xuất bản sách giáo khoa (những người trước giờ vẫn luôn rất nhanh nhạy kiếm lợi với mọi biến động chính trị bằng cách cho trình làng những ấn bản “mới” của đủ các thể loại ấn phẩm quái dị đọc không ai hiểu nổi của họ); thì tất cả các công cuộc cải cách giáo dục này cũng chưa bao giờ chạm được đến đúng trọng tâm của vấn đề. Chương trình giảng dạy toán không có cần được cải cách, nó cần bị xóa bỏ kìa!
Tất cả những cuộc tranh luận ỏm tỏi kiểu này về việc “vấn đề” nào của môn Toán nên được giảng dạy trong chương trình, cái nào nên được dạy trước và cái nào nên được dạy sau; rồi việc tại sao nên dùng biểu tượng này chứ không phải ký hiệu kia, hay loại máy tính và model máy tính nào nên được sử dụng… ôi vì Chúa! – cứ như là đang cố sắp xếp lại bàn ghế trên con tàu Titanic ấy!! Toán học là âm nhạc của lý trí; làm toán là được tham gia vào những hoạt động hấp dẫn của khám phá, của suy đoán, của linh cảm và của cả cảm hứng, là được lúng túng trước một vấn đề – không phải vì nó vô lý, mà vì bạn đã làm cho nó có lý, nhưng vẫn không thể nào hiểu nổi sáng tạo của bạn đang định làm gì; là bỗng nhiên có một ý tưởng đột phá, là rơi vào trạng thái tâm lý vô cùng ức chế của một nghệ sĩ, là được choáng ngợp và ngỡ ngàng trước cái đẹp đến tuyệt đỉnh, là được sống chứ, mẹ kiếp!!! Chừng nào những thứ đó còn bị loại ra khỏi toán thì các ông cứ hội thảo chán chê đủ kiểu các ông muốn đi, cũng sẽ chẳng thay đổi được gì đâu. Cứ phẫu thuật cho chán đi, hỡi các bác sĩ, bệnh nhân của các ông đã chết ngỏm từ lâu rồi!!!
Điều đáng buồn nhất trong những trò “cải cách” này là những nỗ lực để khiến môn toán “thú vị hơn” và “thiết thực, gần gũi với học sinh hơn”. Không cần các ông phải làm cho toán thú vị – tự thân nó đã thú vị đến hơn cả mức các ông có thể chịu được rồi!!! Và điều tuyệt diệu nhất của nó chính là ở chỗ nó hoàn toàn không liên quan gì đến đời sống thực của chúng ta hết. Chính bởi thế mà nó mới hấp dẫn đến vậy!!!
Những nỗ lực để khiến toán học trở nên gần gũi hơn với cuộc sống lẽ tất yếu đã khiến nó trở nên khiên cưỡng và đầy áp đặt: “Các em thấy đấy, nếu học đại số [1] giỏi, các em sẽ biết được bạn Maria năm nay bao nhiêu tuổi, nếu chúng ta biết được rằng hai năm trước đây, số tuổi của Maria gấp hai lần số tuổi của bạn ấy vào bảy năm trước đây!” [2] (cứ như kiểu sẽ có ai biết được thứ thông tin quái dị này chứ không phải biết được tuổi thật của cô bé ấy). Đại số không phải là môn học về các phép tính thường ngày, đối tượng của nó là các con số và sự cân bằng của các đẳng thức – chỉ tự cái đó thôi cũng đã đủ là một mục đích đích đáng để theo đuổi rồi:
“Giả sử rằng tôi biết tổng và hiệu của hai số khác nhau. Làm thế nào để từ đó tôi có thể tìm ra chính xác hai số ấy là gì?”
Đây là một câu hỏi đơn giản mà xuất sắc, và nó chẳng cần đến một tí công sức nào để làm cho nó hấp dẫn hơn. Những người Babylon cổ xưa đã rất thích thú khi làm việc với những vấn đề như thế, cả các học sinh ngày nay của chúng ta cũng vậy (và tôi hy vọng là cả bạn cũng sẽ có hứng thú suy nghĩ về nó nữa!). Chúng ta không cần nhọc công tốn sức để khiến toán trở nên gần gũi hơn. Toán đã rất gần gũi với cuộc sống rồi, theo đúng cách của một môn nghệ thuật: nó là một trải nghiệm đầy ý nghĩa của con người.
Mà hơn nữa, các vị nghĩ trẻ em thậm chí sẽ muốn học một thứ liên quan trực tiếp đến đời sống hàng ngày của chúng sao? Các vị nghĩ một thứ thiết thực như tính lãi suất tiết kiệm sẽ khiến bọn trẻ phát run lên vì phấn khích ư? Con người ta ưa thích những thứ bay bổng kia, đấy chính là thứ mà toán học có thể cung cấp – một sự giải thoát khỏi cuộc sống thường nhật, một liều thuốc làm dịu đi những căng thẳng của thế giới quá thiết thực và bình thường mỗi ngày.
Vấn đề tương tự cũng xuất hiện khi các giáo viên và nhà xuất bản sách ngả theo kiểu “cố làm ra vẻ dễ thương”. Đây chính là lúc mà người ta cố gắng chống lại cái gọi là “chứng sợ toán” của học sinh (một tập hợp các loại hội chứng mà trên thực tế gây ra bởi chính trường học); bằng cách cố làm cho toán có vẻ “thân thiện” hơn. Để giúp học sinh nhớ công thức tính diện tích và chu vi hình tròn, ví dụ thế, các bạn có thể nghĩ ra cả một câu chuyện về “Ông C” lái xe vòng quanh “Bà S” và khen “hai đĩa bánh bà mới làm trông ngon làm sao” (hai đĩa bánh = two pies = 2π; công thức tính chu vi hình tròn: C = 2πr); hay “hai đĩa bánh của bác trông rất vuông” (vuông = square, cũng có nghĩa là “bình phương”, bánh vuông = square pies; ám chỉ công thức tính diện tích hình tròn: S = πr2 ) hay mấy thứ vớ vẩn tương tự như thế. [3]
Tại sao lại không kể câu chuyện có thật ấy? Câu chuyện về bao nỗi vất vả của con người mỗi khi cần đo đạc đến độ dài của những đường cong; câu chuyện về Eudoxus, về Archimedes và phương pháp “vét cạn” [4] ; về sự siêu việt hơn hẳn của số π ? Thứ gì theo bạn nghĩ là thú vị hơn: ngồi hộc hơi đo đạc một cách xấp xỉ diện tích một hình gần tròn trên giấy vẽ đồ thị, sử dụng một công thức người ta đưa cho bạn mà không hề giải thích (và bắt bạn phải học thuộc lòng sau đó áp dụng đi áp dụng lại); hay lắng nghe câu chuyện về một trong những vấn đề đẹp nhất, hấp dẫn nhất, lôi cuốn nhất; và một trong những ý tưởng tuyệt vời và đột phá nhất trong lịch sử nhân loại? Chúng ta đang giết chết hứng thú của học sinh về hình tròn đấy, vì Chúa!!!
Chúng ta thậm chí còn không cho học sinh của cơ hội để được nghe những câu chuyện như vậy, chứ chưa nói đến chuyện cho chúng cơ hội để được thực sự làm toán, được tự nghĩ ra ý tưởng của riêng mình, được có ý kiến, thái độ của riêng mình! Có môn học nào khác trong giáo trình lại như thế không: chỉ được dạy một cách đều đặn mà không hề nhắc gì đến lịch sử, đến triết lý, đến những phát triển tư tưởng, những yêu cầu thẩm mỹ, và đến tình trạng hiện tại của nó? Có môn học nào lại đi chối bỏ chính mạch nguồn nuôi dưỡng lớn nhất của nó – những tác phẩm nghệ thuật tuyệt đẹp, tạo nên bởi những bộ óc sáng tạo nhất trong lịch sử loài người – mà chỉ biết học những sự bắt chước thô lậu từ những cuốn sách giáo khoa hạng ba không?
Vấn đề lớn nhất của toán học trong nhà trường, đấy là không có vấn đề thực sự gì để giải quyết cả! Ồ, tôi có biết về những thứ vẫn được được gọi là vấn đề trong các lớp toán chứ: các thể loại “bài tập” ngớ ngẩn chứ gì! “Đây là một dạng vấn đề. Đây là cách giải quyết nó. Ồ có, nó sẽ có trong bài kiểm tra đấy. Hãy làm các bài từ 1 đến 35 để luyện cho thuần thục đi nhé”. Thật là một cách học toán thật đáng buồn: không khác chi một con khỉ bị huấn luyện!!!
Nhưng một vấn đề thực sự, một câu hỏi tự nhiên, đơn giản mà tinh tế của con người – đấy lại là một thứ hoàn toàn khác. Đường chéo của một hình lập phương dài đến đâu? Liệu các số nguyên tố có lớn mãi lên không hay chỉ dừng lại ở một mức nào đó? Vô cùng có phải là một số không? Lịch sử của toán học là lịch sử trong hành trình khám phá của con người với những câu hỏi như thế; chứ không phải là trong sự nhai lại vô nghĩa với những công thức và thuật toán (cùng với bao nhiêu những bài tập đã được dàn xếp từ trước để áp dụng chúng).
Một vấn đề đúng nghĩa phải là thứ bạn không biết làm cách nào để giải quyết nó. Thế mới làm nên một câu đố hay, và một cơ hội tốt. Một vấn đề tốt cũng không bao giờ ngồi đó trong đơn độc, nó giống như một tấm ván dậm nhảy để “bật” bạn đến những câu hỏi thú vị khác. Một tam giác thì có diện tích bằng ½ hình chữ nhật. Thế một khối hình kim tự tháp nằm trong một cái hộp trong không gian ba chiều thì sao, có giống thế không? Ta có thể giải quyết vấn đề này theo cách tương tự như với hai hình trên mặt phẳng kia không?
Tôi có thể hiểu sự cần thiết của việc phải huấn luyện cho các học sinh nắm vững được một số kỹ thuật nhất định – chính tôi cũng làm vậy. Nhưng không phải chỉ cứ thế là xong! Kỹ thuật trong toán, cũng giống như kỹ thuật trong bất cứ bộ môn nghệ thuật nào, nên được người học tiếp nhận trong chính lúc thực hành. Hãy cho các học sinh của bạn một vấn đề thật tốt, và để cho chúng vật vã xoay sở, ức chế khi không tìm ra được cách giải. Hãy xem chúng có thể nảy ra được những ý tưởng mới nào không. Đợi cho đến khi chúng thực sự điên lên vì cần một ý tưởng, lúc đó hãy cho chúng một vài kỹ thuật. Nhưng đừng nhiều quá.
Vậy nên hãy dẹp hết sang một bên những giáo trình giáo án, những máy chiếu, những đống sách giáo khoa màu mè đáng ghét của bạn, cả những đĩa CD-ROM, và tất cả các thể loại đồ nghề rạp xiếc bạn vẫn dùng trong giảng dạy hiện nay; và hãy bắt đầu cùng làm toán với các học sinh của mình đi!!! Các giáo viên mỹ thuật đâu có phí thời gian với sách giáo khoa hay chỉ tập trung rèn luyện kỹ năng cho học sinh. Họ làm những thứ tự nhiên nhất với môn học của họ – họ cho bọn trẻ vẽ tranh. Hãy đi vòng quanh lớp học, từ em này đến em khác, đưa ra những gợi ý và đề nghị được giúp đỡ:
“Em đang nghĩ về vấn đề tam giác trong cái hộp của chúng ta, và em nhận ra một điều này: nếu cái tam giác này nghiêng quá nhiều về một bên, nó sẽ không còn chiếm một nửa của hình chữ nhật nữa! Đây, thầy nhìn mà xem này!!”
img_3
“Quan sát tốt lắm! Luận điểm “chặt chém” của chúng ta mặc nhiên thừa nhận rằng đỉnh trên cùng của tam giác khi chiếu xuống sẽ luôn nằm đúng trên cạnh đáy. Giờ chúng ta cần đến một ý tưởng mới rồi.”
“Để em thử chém nó theo một kiểu khác nhé?”
“Tất nhiên. Hãy thử mọi ý tưởng mà em có. Và nói cho thầy biết ngay nếu em có ý tưởng gì mới nhé!”
* * *
Vậy làm cách nào để dạy cho các học sinh làm toán một cách thực sự? Bằng cách chọn những vấn đề tự nhiên, không khiên cưỡng, những vấn đề thực sự gây hứng thú và phù hợp với sở thích, tính cách và kinh nghiệm của các em. Bằng cách cho các em thời gian để tự khám phá và rút ra những suy đoán của riêng mình. Bằng cách giúp để lập luận của các em chặt chẽ hơn, và tạo ra môi trường học tập lành mạnh và sôi nổi trong phê bình toán học. Bằng cách linh động và rộng mở, phóng khoáng trước mọi thay đổi các em có thể hướng tới do trí tò mò dẫn dắt. Nói ngắn gọn lại, là có một mối quan hệ trí tuệ chân tình với học sinh và môn học của mình.
Tất nhiên thứ tôi đang vẽ ra ở đây là bất khả thi vì nhiều lý do. Kể cả có bỏ qua việc chương trình học phổ thông đồng bộ và những bài kiểm tra tiêu chuẩn hóa đã gần như không còn dành chỗ nào cho sự độc lập của giáo viên nữa; thì tôi cũng không tin rằng nhiều giáo viên thậm chí sẽ muốn có một mối quan hệ quá gần gũi như vậy với học sinh. Quá gần gũi tức là dễ tổn thương hơn, và nhiều trách nhiệm hơn – nói ngắn gọn lại, là quá nhiều công việc!
Sẽ dễ hơn rất nhiều nếu chỉ cần làm một vật trung gian thụ động để truyền đạt “kiến thức” từ sách vở đến học sinh, và làm theo ba bước chỉ dẫn nhanh gọn mì ăn liền: “giảng, kiểm tra, lặp lại!” ; hơn là đào sâu suy nghĩ về vấn đề, về ý nghĩa thực sự của thứ mình đang cố dạy cho học trò, và đâu là cách tốt nhất để truyền đạt trực tiếp và chân thành nhất ý nghĩa đó đến học sinh. Chúng ta đang được khuyến khích nên bỏ qua cái công việc khó nhọc là tự đưa ra quyết định dựa vào suy nghĩ độc lập và lương tâm của mỗi cá nhân, thay vào đó là phải luôn “bám sát vào chương trình”. Đó đơn giản là con đường ít phải kháng cự nhất:
NHÀ XUẤT BẢN SÁCH →  GIÁO VIÊN :
Công ty dược →  Bác sĩ
Hãng thu âm →   DJ
Các tập đoàn lớn →   Các nghị sĩ
Tất cả các phương án trên
Vấn đề là ở chỗ, cũng như vẽ tranh hay làm thơ, toán là một công việc sáng tạo khó nhọc. Điều đó làm cho dạy toán trở thành một công việc cực kỳ khó. Làm toán là cả một quá trình nghiền ngẫm, là phải chậm. Phải tốn nhiều thời gian mới có thể làm ra một tác phẩm nghệ thuật, và phải cần đến một giáo viên thật giỏi mới có thể nhận ra một tác phẩm nghệ thuật như thế. Tất nhiên là ban bố một đống quy tắc, quy ước thì dễ hơn nhiều phải hướng dẫn và khơi gợi cảm hứng ở những nghệ sĩ trẻ; cũng như viết một quyển hướng dẫn sử dụng đầu VCR thì dễ hơn nhiều viết một cuốn sách có quan điểm, có lập trường riêng vậy. [5]
Toán học là một môn nghệ thuật, và nghệ thuật nên được dạy bởi những nghệ sĩ đang thực sự làm việc – hoặc nếu không, ít nhất cũng phải bởi những người biết trân trọng những tác phẩm nghệ thuật, và có đủ khả năng để nhận ra được khi họ nhìn thấy một tác phẩm như thế. Bạn không bắt buộc phải học nhạc từ một nhạc sĩ chuyên nghiệp, nhưng liệu bạn có muốn mình hay con cái mình học nhạc từ một người thậm chí chưa bao giờ chơi một nhạc cụ nào, hay chưa bao giờ thực sự nghe một bản nhạc trong suốt cả đời anh ta không? Liệu bạn có chấp nhận một giáo viên mỹ thuật cả đời chưa cầm lấy cây bút chì lần nào, hay chưa bao giờ đặt chân vào một viện bảo tàng hay một triển lãm tranh nào không? Thế tại sao chúng ta lại luôn sẵn lòng chấp nhận các giáo viên Toán chưa bao giờ có một công trình toán học của riêng mình, những người hoàn toàn không biết gì về triết lý và lịch sử của môn học mình dạy, không biết gì về những thành tựu nghiên cứu gần đây, trên thực tế là không biết gì ngoài những thứ nằm trong chương trình mà họ sẽ phải dạy cho những học trò khốn khổ của họ? Kiểu giáo viên gì thế chứ? Sao một người lại có thể dạy một thứ mà trên thực tế anh ta chẳng bao giờ làm? Tôi không biết khiêu vũ, và như một lẽ tất yếu, tôi sẽ không bao giờ giả thiết rằng mình có thể dạy một lớp khiêu vũ (tôi có thể thử, nhưng kết quả chắc chắn sẽ không đẹp đẽ gì). Điểm khác biệt lớn nhất ở đây là tôi biết mình không thể khiêu vũ. Và cũng sẽ không có ai khen tôi là giỏi khiêu vũ chỉ vì tôi biết một đống từ và thuật ngữ của ngành khiêu vũ.
Không phải ý tôi là tất cả giáo viên toán đều cần phải là các nhà toán học chuyên nghiệp – hoàn toàn không phải thế. Nhưng ít nhất thì họ cũng phải hiểu được toán học là gì, phải giỏi toán, và phải thích thú khi làm toán chứ?
Nếu dạy học chỉ còn bị rút ngắn lại thành việc truyền dẫn thông tin, nếu trong lớp học không còn những phút giây thầy trò cùng chia sẻ cảm giác ngỡ ngàng và phấn khích trước một tri thức mới, nếu chính các giáo viên chỉ đơn thuần là người tiếp nhận thụ động thông tin chứ không phải là người sáng tạo nên các ý tưởng mới, thì còn hy vọng gì nữa cho các học sinh? Nếu phép chia phân số với các giáo viên chỉ là một mớ các quy tắc tùy tiện ai đó nghĩ ra, mà không phải là sản phẩm của cả một quá trình sáng tạo, là kết quả của những lựa chọn và đam mê đầy tính thẩm mỹ, thì tất nhiên các học sinh tội nghiệp cũng sẽ nghĩ giống vậy rồi!
Dạy học không phải là về lượng thông tin sẽ được truyền đạt. Dạy học là có một mối quan hệ trí tuệ chân tình với học sinh của mình. Nó không cần phương pháp, không cần công cụ, và cũng không cần được huấn luyện đào tạo chi hết. Chỉ cần khả năng chân chính, không giả tạo. Nếu anh không thể làm thế, thì anh không có quyền cưỡng ép những học sinh vô tội phải chịu đựng anh.
Cụ thể hơn, anh không thể dạy được cách dạy. Các “trường sư phạm” chỉ là một trò giả dối hoàn toàn. Ồ, phải, anh có thể được dạy về phát triển tâm lý ở trẻ em và kiểu thế, và anh có thể được đào tạo để dùng bảng đen “hiệu quả”, và được đào tạo để biết soạn một “kế hoạch giảng dạy” khoa học (thứ, nhân tiện nói luôn, đảm bảo anh sẽ dạy những thứ đã được lên kế hoạch, và do đó, anh đã thất bại ngay từ đầu); anh có thể được học mọi thứ đó, nhưng anh sẽ không bao giờ là một giáo viên chân chính nếu anh không sẵn sàng làm một con người chân chính, không một chút giả tạo. Dạy học là rộng rãi, phóng khoáng, sẵn sàng tiếp nhận cái mới; là chân thành với học trò, là có khả năng chia sẻ niềm phấn khích của mình với học trò, là có một tình yêu chân thành với việc học. Nếu không có những thứ đó, tất cả mọi bằng cấp sư phạm trên thế giới này cũng không giúp gì được anh; và nếu có nó, thì tất cả mớ bằng cấp kia đều là không cần thiết.
Mọi thứ hoàn toàn rất đơn giản thôi. Học sinh là người chứ đâu phải sinh vật ngoài hành tinh. Chúng sẽ phản ứng với cái đẹp, với quy luật, và chúng cũng có một trí tò mò rất tự nhiên như bất kỳ ai khác. Hãy trò chuyện với chúng đi! Và quan trọng hơn nữa, hãy lắng nghe chúng đi!!!
SIMPLICIO:  Được rồi, tôi hiểu rằng có khía cạnh nghệ thuật ở toán, và chúng ta đang làm không tốt gì cho lắm trong việc cho các học sinh được tiếp xúc với nó. Nhưng không phải anh đang đòi hỏi ở hệ thống giáo dục một thứ quá tách biệt và xa rời thực tế đấy chứ? Chúng ta đâu có định đào tạo các nhà hiền triết ở đây, chúng ta chỉ cần các học sinh có khả năng toán học cơ bản tối thiểu, để họ có thể vận hành tốt trong xã hội sau này thôi mà?
SALVIATI:  Nhưng chúng ta đâu có đang làm thế! Toán trong trường học giảng dạy rất nhiều thứ không liên quan gì tới xã hội cả – đại số hay lượng giác chẳng hạn! Những chuyên đề này hoàn toàn chẳng có liên quan gì đến đời sống thường ngày hết! Tôi chỉ đang đơn giản gợi ý rằng nếu đằng nào chúng ta cũng sẽ giảng dạy chúng như là phần bắt buộc trong giáo dục cơ bản cho mỗi học sinh, thì ít nhất hãy dạy chúng theo cách tự nhiên và hợp lý nhất mà thôi! Hơn nữa, như tôi đã nói ở trên lúc nãy, chỉ vì một môn học tình có một vài công dụng vớ vẩn thiết thực nào đấy, không có nghĩa là ta nên biến công dụng đó thành mục đích trọng tâm trong giảng dạy và học tập. Đúng là anh cần phải biết đọc thì mới có thể điền vào các mẫu đơn, ký các hợp đồng, nhưng đó không phải lý do ta dạy bọn trẻ đọc sách. Ta dạy chúng biết đọc vì một mục đích cao hơn, để chúng có thể tiếp cận với những ý tưởng đẹp đẽ và đầy ý nghĩa của nhân loại. Không chỉ sẽ thật tàn nhẫn nếu dạy đọc theo kiểu như thế – bắt các học sinh lớp ba phải điền đơn đặt hàng hay biên lai thuế – mà học như thế cũng không có tác dụng! Chúng ta học một thứ gì là vì nó hấp dẫn chúng ta vào lúc này, không phải vì nó có thể có tác dụng thiết thực gì về sau. Thế nhưng đây lại chính xác là điều mà chúng ta đang đòi hỏi ở các học sinh của mình khi bắt chúng học toán.
SIMPLICIO:  Nhưng chúng ta cũng cần các học sinh lớp ba biết làm toán chứ?
SALVIATI:  Tại sao? Anh muốn huấn luyện để chúng biết tính 427 cộng 389 [6] bằng bao nhiêu ư?  Nó đơn giản không phải là một câu hỏi mà nhiều đứa trẻ tám tuổi sẽ thắc mắc. Nếu nói về cái đấy, hầu hết mọi người lớn bây giờ còn không hiểu hết quy tắc đếm số của hệ thập phân cơ, và anh mong chờ rằng bọn trẻ sẽ hiểu rõ hơn được tí nào ư? Hay là anh không cần quan tâm xem chúng có thực sự hiểu hay không? Ở tuổi đó chỉ đơn giản là quá sớm cho kiểu đào tạo như vậy. Tất nhiên là vẫn có thể làm được, nhưng rốt ráo lại, tôi thấy làm thế có hại nhiều hơn là có lợi. Tốt nhất là nên đợi đến khi bản tính tò mò tự nhiên nhất của các em về những con số tự thôi thúc chúng học toán kia.
SIMPLICIO:  Vậy chúng ta nên làm gì với bọn trẻ trong những giờ toán chứ?
SALVIATI:  Chơi trò chơi! Dạy chúng cờ vua và cờ vây, chơi cờ Hex, chơi Backgammon, cái gì cũng được. Tự nghĩ ra một trò chơi. Cho chúng chơi những câu đố. Hãy cho chúng tiếp xúc với những tình huống đòi hỏi phải có tư duy logic. Đừng vội lo đến biểu tượng, ký hiệu hay kỹ thuật; đầu tiên hãy giúp các em có tâm thế chủ động và sáng tạo của một nhà toán học đã.
SIMPLICIO:  Có vẻ như đây là một cách làm khá nguy hiểm. Nhỡ chúng ta tập trung cho Toán ít đến mức các học sinh không biết cộng hay trừ nữa thì sao?
SALVIATI:  Tôi nghĩ nguy hiểm hơn cả là việc tạo ra trường học mà thiếu vắng bất kể hoạt động sáng tạo nào, nơi mà chức năng của học sinh chỉ là ghi nhớ ngày tháng, ghi nhớ công thức, ghi nhớ từ vựng, và rồi nhai lại mớ kiến thức đó trong những bài kiểm tra tiêu chuẩn hóa – “Hãy chuẩn bị lực lượng lao động của ngày mai ngay từ hôm nay!”
SIMPLICIO:  Nhưng chắc chắn có những phần kiến thức toán học tối thiểu mà một người có giáo dục phải biết chứ?
SALVIATI:  Phải, và phần quan trọng nhất về toán học là nó là một thể loại nghệ thuật tạo ra bởi con người để thỏa mãn ham thích của chính mình! Được rồi, đúng là sẽ rất tốt nếu mọi người đều có một chút ít hiểu biết cơ bản về về hình khối hay số học, những thứ đại loại thế. Nhưng hiểu biết thực sự sẽ không đến từ việc học thuộc lòng lặp đi lặp lại, làm bài tập lặp đi lặp lại, không phải bằng nghe giảng hay luyện bài tập. Anh học một thứ bằng cách tự mình làm nó, và anh sẽ nhớ thứ gì gây hứng thú cho anh. Chúng ta đã có cả triệu người trưởng thành quanh quẩn khắp nơi với cụm từ “trừ b cộng trừ căn delta trên 2a” trong đầu, trong khi hoàn toàn không hiểu nó có nghĩa là gì rồi. Và lý do là vì họ chưa bao giờ có cơ hội được tự mình khám phá và nghĩ ra chúng. Họ chưa bao giờ được có một thử thách thực sự nào để tự suy nghĩ, để ức chế, và để khiến họ có ham muốn cần đến phương pháp và kỹ thuật giải toán. Họ chưa bao giờ được biết đến câu chuyện về mối quan hệ giữa nhân loại và các con số – không có những tấm bia đá của người Babylon, không có những mảnh giấy Papyrus từ thời Ai Cập cổ đại, không có Liber Abaci của nhà toán học Fibonacci, không Ars Magna của Girolamo Cardano. Và quan trọng hơn cả, không một cơ hội nào để họ có thể thậm chí tò mò một chút về vấn đề: những câu hỏi đã luôn được trả lời từ trước khi họ kịp nghĩ đến nó rồi.
SIMPLICIO:  Nhưng chúng ta đâu có thời gian để cho mỗi học sinh tự mình khám phá toán học lại từ đầu? Phải mất đến hàng thế kỷ nhân loại mới phát triển được định lý Py-ta-go; làm thế nào mà anh mong chờ một đứa trẻ bình bình tầm trung có thể tự mình nghĩ ra nó chứ?
SALVIATI:  Tôi đâu có mong chờ điều đó. Để tôi nói rõ hơn vậy. Tôi đang than phiền về việc có một sự thiếu vắng hoàn toàn nét nghệ thuật, sự phát minh, cũng như cả lịch sử, cả triết lý, bối cảnh và cả quan điểm cá nhân trong chương trình toán hiện tại. Thế không có nghĩa rằng các ký hiệu, biểu tượng, các kỹ thuật hay việc phát triển nền tảng kiến thức cho học sinh là những điều không cần thiết. Tất nhiên là chúng có cần thiết chứ! Nhưng chúng ta cần phải có cả hai. Nếu tôi phản đối về việc con lắc đang quá nghiêng về một bên, điều đó không có nghĩa là tôi muốn nó nghiêng tuốt hẳn sang phía còn lại. Nhưng sự thật là, người ta sẽ học tốt hơn nếu kiến thức họ học được là sản phẩm từ một quá trình tư duy và nhận thức. Sự trân trọng thực sự với thơ ca không phải đến từ việc nhớ một đống các bài thơ, mà là từ việc tự viết ra một bài thơ của riêng mình kia.
SIMPLICIO:  Đúng vậy, nhưng muốn viết được thơ thì trước hết anh phải học thuộc bảng chữ cái đã. Quá trình thì cũng phải bắt đầu từ một điểm nào đó chứ. Anh cần phải biết đi trước khi có thể chạy.
SALVIATI:  Không, muốn chạy được, anh cần phải có một thứ gì để anh chạy tới chứ. Trẻ em có thể làm thơ và viết truyện trong khi chúng đang học đọc và viết. Những dòng viết của một đứa bé 6 tuổi là một tác phẩm tuyệt vời, và những lỗi chính tả hay dấu má không làm giảm đi của nó chút giá trị nào hết. Kể cả những đứa trẻ còn rất nhỏ cũng có thể sáng tác ra những bài hát, và chúng chẳng cần biết tông nhạc là cái gì, hay khóa nhạc nào chúng đang dùng nữa.
SIMPLICIO:  Nhưng toán học đâu có giống thế, phải không? Chẳng phải toán học tự nó cũng đã như là một ngôn ngữ khác hẳn, với đủ các loại biểu tượng, ký hiệu mà muốn làm được thì trước hết phải học hết được chúng đã hay sao?
SALVIATI:  Hoàn toàn không phải thế. Toán học không phải là một ngôn ngữ, nó là một cuộc phiêu lưu kỳ thú. Liệu các nhạc sỹ có nói “một ngôn ngữ khác hẳn” không, chỉ vì họ ký hiệu cho các giai điệu họ nghĩ ra bằng những nốt đen trắng nhỏ nhỏ kia? Nếu có đúng là thế, thì thứ ngôn ngữ đó có vẻ cũng chẳng gây chút khó khăn gì cho một đứa trẻ và bài hát tự nó nghĩ ra cả. Đúng, đã có một lượng rất lớn các ký hiệu và biểu tượng toán học được phát triển trong suốt hàng bao thế kỷ qua, nhưng chúng chưa bao giờ đóng một vai trò cốt yếu, quan trọng gì trong toán hết. Hầu hết các vấn đề toán học thực sự được giải quyết với một người bạn bên bàn cà phê, ghi nguệch ngoạc trên một tấm khăn ăn nào đấy. Toán học đã và vẫn luôn là về các ý tưởng, và một ý tưởng giá trị thì quan trọng hơn nhiều một biểu tượng vô nghĩa bạn chọn để ký hiệu cho nó. Như Gauss đã từng phát biểu: “Thứ chúng ta cần là ý tưởng, chứ không phải biểu tượng!” [7]
SIMPLICIO:  Nhưng không phải mục đích của toán học là để dạy cho học sinh biết cách tư duy mạch lạc, logic, là giúp chúng có một “tư duy toán học” để có thể giải quyết các vấn đề thực của cuộc sống sau này hay sao? Không phải tất cả những định nghĩa và công thức này sẽ giúp mài sắc tư duy của các học sinh sao?
SALVIATI:  Không, không hề. Nếu có, thì hệ thống giáo dục hiện giờ đang có tác động hoàn toàn ngược lại: làm cùn nhụt đi tư duy của các em thì đúng hơn. Khả năng suy nghĩ sắc bén ở mọi phương diện đều đến từ việc trực tiếp giải quyết vấn đề, chứ không phải từ việc được bảo sẵn cho cách giải ngay từ đầu.
SIMPLICIO:  Thôi được rồi, anh nói cũng có lý. Nhưng còn những học sinh muốn theo đuổi con đường làm khoa học, hay làm kỹ sư thì sao? Những đối tượng đó vẫn cần đến sự đào tạo như đang được cung cấp hiện giờ chứ? Không phải đó cũng là lý do chúng ta dạy toán trong trường học sao (để giúp đỡ các em dễ dàng học các môn khoa học) ?
SALVIATI:  Có bao nhiêu học sinh đang học văn hiện giờ sau này sẽ trở thành nhà văn, nhà phê bình nghệ thuật nào? Đó không phải là lý do chúng ta dạy văn, cũng không phải là lý do bọn trẻ học nó. Chúng ta dạy là để khai sáng cho tất cả, chứ không phải chỉ để đào tạo cho một nhóm nhỏ những người sẽ làm nghề đó chuyên nghiệp trong tương lai. Mà thực sự, phẩm chất đáng giá nhất của một nhà khoa học hay một kỹ sư cũng không phải là những cái đó, mà là ở khả năng tư duy độc lập và tính sáng tạo kìa. Không ai, bất kể là nghề gì, hạng gì sau này, lại muốn bị huấn luyện cả.
[1]  Nguyên bản: “algebra”, một ngành của toán học trong đó các ký tự và biểu tượng được dùng để ký hiệu cho các đại lượng hoặc các đối tượng toán học chưa xác định.
[2] Cách giải bài toán trên của người dịch:
Theo giả thiết, số tuổi của Maria 2 năm trước đây bằng hai lần số tuổi của cô bé vào 7 năm trước đây. Coi x là một số nguyên dương lớn hơn hoặc bằng 7, ta có cách giải như sau:
Gọi số tuổi của Maria bây giờ là x, suy ra:
+          số tuổi của Maria 2 năm trước đây là x – 2
+          số tuổi của Maria 7 năm trước đây là x – 7
Vậy x – 2 = 2.(x – 7) ; tức x – 2 = 2x – 14;  tức -2 + 14 = 2x – x ; tức x = 12
Vậy Maria năm nay 12 tuổi. Hai năm trước bạn 10 tuổi, bảy năm trước thì bạn 5 tuổi, khớp với các dữ kiện trong giả thiết.
[3] Một ví dụ gần gũi hơn với người Việt có thể kể đến bài thơ lượng giác sau:
 Sin: đi học (cạnh đối – cạnh huyền)
Cos: không hư (cạnh kề – cạnh huyền)
Tg: đoàn kết (cạnh đối – cạnh kề)
Cotg: kết đoàn (cạnh kề – cạnh đối)
Hoặc một bài thơ khác về cách nhớ công thức: tan(a + b) = (tana + tanb)/1 – tana.tanb là:
tan một tổng tầng hai cao rộng
trên thượng tầng tan cộng tan tan
dưới hạ tầng số 1 ngang tàng
dám trừ một tích tan tan oai hùng
[4] Phương pháp “vét cạn” (“The method of exhaustion”) là một phương pháp tính gần đúng diện tích của một hình bất kỳ bắt nguồn từ thế kỷ thứ 5 trước Công Nguyên ở Hy Lạp, lần đầu tiên được nghiên cứu kỹ lưỡng bởi nhà toán học cổ Eudoxus. Archimedes (Ác-xi-mét) đã dùng phương pháp này để tính được diện tích của hình tròn, bằng cách đặt một đa giác đều nội tiếp bên trong hình tròn, một đa giác đều khác ngoại tiếp bên ngoài hình tròn, như hình dưới đây – hình tròn sẽ bị kẹp giữa hai đa giác đều đồng dạng.
Archimedes phát hiện ra rằng khi ta tăng dần số cạnh của hai đa giác, sự chênh lệch giữa chu vi của hình tròn và chu vi của hai đa giác sẽ giảm dần, và đến một lúc nào đấy, khoảng chênh lệch này sẽ nhỏ đến mức nó có thể coi là đã hoàn toàn bị “vét cạn” (quá nhỏ đến mức có thể bỏ qua). Cặp đa giác này càng có nhiều cạnh chúng sẽ càng tiến sát lại gần nhau, đồng thời chu vi của chúng cũng sẽ càng gần hơn với chu vi của hình tròn nằm giữa, khi đến một mức nào đấy con số chênh lệch giữa chu vi hai đa giác xấp xỉ bằng 0, hai đa giác sẽ gần như trùng nhau và tạo thành một đa giác gần như trùng khít với hình tròn:
img_4
[5] Người dịch trong lúc dịch có google cụm từ “nhà toán học”, và tình cờ tìm đến trang wikipedia của giáo sư – nhà toán học Tạ Quang Bửu. Xin được trích nguyên văn một đoạn nhỏ người dịch thấy khá thú vị:
“Ông sinh ngày 23 tháng 7 năm 1910, trong một gia đình nhà giáo tại thôn Hoành Sơn, xã Nam Hoành, huyện Nam Đàn, tỉnh Nghệ An. Năm 1922, ông thi vào trường Quốc học Huế và đỗ thứ 11. Sau đó ông ra Hà Nội học trường Bưởi. Năm 1929, sau khi đỗ đầu tú tài Việt và đỗ đầu tú tài Tây ban Toán, ông nhận được học bổng của Hội Như Tây Du học của Nguyễn Hữu Bài và sang Pháp học.Tại Pháp, năm 1929, ông đăng ký học lớp toán đặc biệt của trường Louis le Grand về toán học và vật lý lý thuyết, đăng ký học cử nhân toán ở Viện Henri Poincaré. Ông đã đến nghe giảng ở cả giảng đường Hermite (dành cho cử nhân) lẫn tham dự các buổi xê-mi-na ở giảng đường Darboux (dành cho những người học trên đại học). Tại đây, ông đã tiếp xúc với nhiều nhà toán học trẻ của nước Pháp, bí mật tham gia nhóm Nicolas Bourbaki. Đó là cơ sở để năm 1961, ông cho ra đời tác phẩm Về cấu trúc của Bourbaki. Ông thi đỗ vào trường Centrale Paris năm 1930, theo học chương trình cử nhân khoa học ở Đại học Sorbonne, học toán ở các Đại học Paris, Đại học Bordeaux (Pháp) từ 1930 đến 1934 và được trường Bordeaux trao đổi sang Đại học Oxford (Anh) trong một thời gian ngắn. Tại đây ông học thêm vật lý lượng tử. 
Trở về nước năm 1934, ông không ra làm quan mà đi dạy toán và tiếng Anh tại trường tư, ban đầu là trường Phú Xuân, sau là trường dòng Providence (Thiên Hựu) ở Huế. Ngoài tiếng Anh và toán, lí, hóa ông còn dạy các môn khoa học tự nhiên khác theo yêu cầu của nhà trường. Các môn này (động vật, thực vật, khoáng vật) ông tự nghiên cứu trong sách chuyên ngành cao hơn nhiều so với chương trình trung học rồi lên lớp với những mẫu hiện vật tự sưu tầm.”
[6] Bằng 816, nếu có ai tình cờ quan tâm : )
[7] “What we need are notions, not notations.”
Trung Học Phổ Thông Trung Học Cơ Sở