Bài toán muôn thuở: Phép chia cho 0

Chúng ta được dạy rằng phép chia cho 0 là không có nghĩa, không xác định. Nếu là phân số thì mẫu số phải khác 0. Vậy tại sao phép chia cho 0 lại không có nghĩa?
Ta có phép cộng như sau: 5 + 5 + 5 = 15
Ta có phép nhân như sau: 5x3 = 15 = 5 + 5 + 5
-> Phép nhân chẳng qua là cộng nhiều lần lại với nhau.
Ta có phép trừ như sau: 15 - 3 - 3 - 3 - 3 - 3 = 0 (15 trừ đi 3, 5 lần để  = 0)
Ta có phép chia như sau: 15:3 = 5
-> Nghĩa là ta trừ 3 đi 5 lần. Phép chia a:b là số lần mà a trừ đi b để bằng 0.
Vậy điều gì khi chia cho 0?
Ta có phép chia cho 0 như sau: 15:0 = 15 - 0 - 0 - 0 - 0 - 0 - …
Rõ ràng ta thấy, 15 – 0 mãi mãi sẽ vẫn bằng 15, điều này không có nghĩa, tức là không xác định được.

Giới hạn toán học

Chúng ta ai học toán cũng quen thuộc với công thức lim và khái niệm giới hạn toán học. 
lim(n+1) = 2 khi n tiến về 1.
Vậy thực chất giới hạn là gì? Tại sao ta cần có nó?
Ta có các mệnh đề như sau:
1 = 1/3 + 1/3 + 1/3
1/3 = 0.33333333…
1/3 x 3 = 1
0.33333333… x 3 = 0.9999999…
Ta thấy rằng, 0.999999… gần bằng 1. Và chúng ta biết rằng 0.999… đến 1 lúc nào đó sẽ bằng 1. Ta biết chắc như vậy, nên ta gán nó bằng 1. Và đó là giới hạn toán học.
Thật vậy, ta có thể chứng minh như sau:
x = 0.99999…
10x = 9.9999…
10x = 9 + 0.9999…
10x = 9 + x
9x = 9
x = 1
Giới hạn toán học giúp ta xác định một giá trị mà ta biết chắc rằng một hàm số có thể đạt tới.
Nói về việc dùng công thức nhưng không rõ bản chất thì còn rất nhiều, đặc biệt là tích phân và đạo hàm. Mình sẽ có một bài cụ thể về tích phân và đạo hàm sau.

Bài toán hóc búa: 0 mũ 0 bằng mấy?

Ta có các công thức mũ như sau:
a^0 = 1
0^a = 0
Vậy 0^0 bằng mấy?
Bài toán này ta cần dùng đến khái niệm ở bài toán trên, đó là giới hạn.
Ta có bảng kết quả như sau:
Ta thấy rằng, ban đầu, hàm x^x sẽ tiến về 0 khi x nhỏ dần, nhưng khi x càng nhỏ càng gần về 0 thì x^x gần bằng 1. Vậy thì 0^0 bằng 1 chứ? Đây là một trong rất nhiều cách chứng minh, các bạn có thể tìm hiểu thêm và tìm ra kết quả của mình.

Không rõ các hằng số này từ đâu: số pi và số e

Số pi có từ đâu?
Ta xét một đường tròn tâm O đường kính d có chu vi là C.
Thì pi = C/d ≈ 3.14…
Làm thế nào để tính số Pi? Có rất nhiều cách để tính số pi, minh sẽ có một bài cụ thể về một số phương pháp tính số pi sau nhé.
Số e có từ đâu?
Ta có một bài toán cụ thể về lãi suất ngân hàng như sau:
Toàn có 1$, anh gửi ngân hàng BIDV với lãi suất là 100% một năm và ngân hàng tính tiền lãi sau 1 năm. Sau 1 năm, tài khoản của toàn sẽ có 2$.
Thư cũng có 1$, nhưng Thư gửi ngân hàng Aribank với lãi suất là 50% mỗi 6 tháng và ngân hàng tính tiền lãi sau mỗi 6 tháng. Sau 6 tháng đầu, tài khoản của Thư sẽ có 1$ + 0.5$ = 1.5$. Sau 6 tháng tiếp theo, tài khoản của Thư sẽ có 1.5$ + 0.75$ = 2.25$.
Mai cũng có 1$, nhưng Mai gửi ngân hàng MB với lãi suất là 25% mỗi 3 tháng. Sau 1 năm, tiền trong tài khoản của Mai là 2.441$.
Gọi n là số lần mà ngân hàng tính lãi suất trên 1 năm và 1/n là lãi suất, thì ta có công thức tính số tiền sau 1 năm như sau:
(1 + 1/n)^n
Giới hạn của công thức trên khi n tiến về dương vô cùng là 2.7182… cũng chính là số e.
Các bạn thấy đấy, toán học cũng rất là thứ vị chứ, toán sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta hiểu rõ bản chất. Không chỉ riêng về toán, tất cả các vấn đề trong cuộc sống, khi chúng ta học tập, chúng ta nên tìm hiểu rõ bãn chất của vấn đề. Nó là gì? Tại sao lại có nó? Tại sao nó lại như vậy? Nó dùng để làm gì?
Đọc thêm:
Góc_nhìn_thời_sự Giáo_dục