Schild’s Ladder trong Schild’s Ladder - cây cầu thang dẫn từ toán học sang cuộc đời



Bài viết được đăng lại từ Hội thích truyện Sci Fi (khoa học viễn tưởng/giả tưởng) cùng với một số chỉnh sửa về nội dung. Link bài gốc được đăng ở cuối bài.
Như đã nói trong bài review về Schild’s Ladder, cuốn này chứa đứng rất nhiều thứ thú vị, không nói gọn trong một bài được. Một trong những thứ ấy chính là điều anh em sẽ nhìn thấy đầu tiên khi sờ vào cái tác phẩm này: tên của nó.
Schild’s Ladder, tức “Cầu thang của Schild,” là một khái niệm toán học có thật, lấy theo tên của người nghĩ ra nó là Alfred Schild, một nhà vật lý người Mỹ gốc Áo. Schild’s Ladder lần đầu tiên được giới thiệu trong một bài giảng tại Đại học Princeton, nhằm giúp sinh viên sử dụng các phép trắc địa tham số a-phin để ước đoán vị trí song song mới của một vectơ nếu dịch nó dọc trên một đường cong.
Nghe lằng nhằng vl 🐧
Anh em cứ hiểu đại khái thế này cho lành nhé: tôi có một đoạn thẳng tòi ra từ một đường cong. Bây giờ muốn dịch cái đoạn thẳng ấy đi chỗ khác nhưng vẫn đảm bảo nó song song và dài bằng đoạn cũ thì làm thế nào?
Một câu trả lời tiềm tàng sẽ chính là Schild’s Ladder.
Trong hình bên dưới sẽ là minh họa cho Schild’s Ladder. Như anh em có thể thấy, ở đây ta có một đoạn thẳng A0X0 nằm trên một cung cong. Nếu cung cong kia chỉ là một đường thẳng bình thường thì chẳng có gì khó rồi, vì chỉ cần kẻ roẹt một đoạn A0X0 mới tạo với cái đường ấy một góc tương tự là đủ. Vấn đề là cái đường này nó lại cong, thế nên càng dịch đi xa thì cái góc giữa các đường song song sẽ càng lệch nhau.

Thêm một cái khó nữa là trong trường hợp thứ ta đang nhìn vào không phải là một mặt phẳng 2D bình thường mà là một không gian 3D được hiển thị trên một tờ giấy phẳng, với cái đường cong kia hoặc đang dần uốn lại gần chỗ ta, hoặc đang uốn dần ra xa ta, đoạn A0X0 khi dịch đi trên đường cong đấy sẽ phải được hiển thị trên tờ giấy dưới dạng to nhỏ thất thường để thể hiện sự dịch chuyển trên trục Z của nó. Đấy là còn chưa kể nếu bản thân cái đoạn này phải nằm trên một mặt phẳng có “địa hình” lồi lõm loạn xạ thì còn nát nữa.
Tuy nhiên, có một cái hay như thế này: càng zoom sát vào một mẩu nhỏ trên cái đường cong kia bao nhiêu, cái mẩu ấy sẽ càng “thẳng” bấy nhiêu. Anh em cứ lấy Trái Đất ra để hình dung cho dễ hiểu nhé. Nếu đừng ngoài vũ trụ nhìn xuống Trái Đất, mọi người sẽ thấy nó là một khối cầu rất tròn. Tuy nhiên, càng xuống sát bề mặt, mọi người sẽ thấy nền đất trông càng thẳng thớm hơn. Và nếu đứng hẳn trên mặt đất, mọi người sẽ thấy nền đất gần như phẳng lì hoàn toàn, không có một tí cong veo nào cả (không tính mấy chỗ lồi lõm ổ gà các kiểu nhé).

Một ví dụ về việc zoom vào để "phẳng" hóa không gian, cho phép tính toán bằng hình học Euclid
Schild’s Ladder sẽ tận dụng tính chất này để dịch đoạn A0X0 đấy đi.
Đầu tiên, anh em cứ chọn bừa một điểm trên đường cong đi, và gọi nó là A1. Cho A1 càng sát A0 càng tốt, vì như thế sẽ đảm bảo đường A1A0 “thẳng” nhất có thể. Nối A1 vào với X0, ta sẽ có một đoạn thẳng mới, với chiều dài xác định, và từ đó tìm được trung điểm P1 của nó.

Tiếp theo, mọi người nối một đường chạy từ A0 đến P1, nhưng khi đến nơi rồi thì đừng dừng lại, mà hãy cứ đi tiếp đi, đi cho đến khi nào tại thành một đoạn dài gấp đôi A0P1 là được. Đầu mút của cái đoạn này sẽ gọi là X1. Bây giờ tất cả những gì anh em cần làm là nối A1 và với X1 nữa thôi.

Như anh em có thể thấy, các điểm A0, X0, X1, và A1 tạo thành một hình phiên phiến hình bình hành. Đây được gọi là “hình bình hành Levi-Civita,” về cơ bản là một thứ nếu xét chuẩn ra thì không phải là hình bình hành đâu, nhưng vẫn đủ sát với nó để coi như một hình bình hành Euclid và cho phép nó sở hữu các tính chất của hình ấy để phục vụ tính toán. Bởi vậy, ta có thể coi A0X0X1A1 là hình bình hành, và thể theo đúng tính chất của hình bình hành, A0X0 sẽ song song và bằng với A1X1.
Nói cách khác, A1X1 chính là A0X0 sau khi đã được “dịch” đi một đoạn với độ dài A0A1 trên cung cong.
Anh em có thể liên tục dịch chuyển A0X0 theo kiểu đó, cho đến khi nào đến đúng điểm cần dừng lại thì thôi. Mỗi lần thực hiện dịch chuyển như vậy được coi như là bước hết một “bậc” trên cây cầu thang của Schild.

Cái kiểu dịch như mình mô tả bên trên mới chỉ dừng lại trong trường hợp đường cong kia nằm trên một mặt phẳng 2D thuần túy thôi. Để dịch nó trên một cung cong nằm trong không gian 3D, ta phải điều chỉnh cách mình “đóng” cây cầu thang của Schild lại một tí.
Và đây là lúc rất thích hợp để nhảy về với cuốn Schild’s Ladder.


Trong cuốn này, ta có đoạn một thằng trẻ con trằn trọc không ngủ được. Tối hôm đấy, nó đã suy nghĩ về cuộc đời mình, về việc nó kiểu gì cũng sẽ phải lớn lên, và cũng sẽ phải thay đổi. Thứ nó sợ không phải là cách cơ thể vật lý của nó thay đổi, mà là tâm hồn và nhân cách của nó. Nó sợ rằng thằng mình ngày mai sẽ không phải là thằng mình hôm nay, và thằng mình ngày kia sẽ tiếp tục khác thằng mình ngày mai nữa. Bởi vì thằng bé về cơ bản là một cái máy tính lượng tử, nó sẽ có thể sống được cho đến hàng triệu tỷ năm, và sau một quãng thời gian dài như thế, nó e rằng mình sẽ biến thành một con người xa lạ hoàn toàn.
Vì hiểu kiểu gì mình cũng không ngăn được thay đổi xảy ra, nó muốn đảm bảo bản thân sẽ thay đổi theo một cách “đúng chuẩn,” tức là không lệch quá xa so với bản chất gốc. Mỗi tội thằng cu chẳng biết phải làm thế kiểu gì. Và như mọi đứa trẻ con khi gặp chuyện khó nghĩ khác, thằng bé đi dựng cổ ông bô nhà nó dậy.
Bất chấp bị đánh thức giữa lúc đêm hôm và hỏi một câu triết lý nhân sinh rất khó nhằn, bố thằng bé kiên nhẫn lắng nghe nó, và sau đấy đã nghiêm túc trả lời nó bằng cách dựng lên một hình chiếu 3D hành tinh của hai bố con. Ông bố bảo thằng bé đánh dấu địa điểm hiện tại của hai bố con họ, sau đó đố nó thế này:
“Giả sử bố vẽ một mũi tên ở đây, trên phần đất ngay trước mặt con, và bảo con đây là thứ quan trọng nhất trần đời.” Ông bố vừa nói vừa vẽ lên hình chiếu. “Bất kể con có đi đâu, bất kể con có chu du đến nơi nào, con cũng sẽ cần phải mang bằng được mũi tên này theo mình.”
Thằng bé ban đầu trả lời rằng nó sẽ dùng la bàn, hoặc dùng các vì sao để xác định phương hướng. Như vậy, bất kể có đi đâu, nó sẽ vẫn có thể tái hiện lại mũi tên đúng chuẩn. Tuy nhiên, ông bố liền lập tức vẽ một mũi tên ở gần cực Bắc của hành tinh, chỉ về phía cái cực này. Sau đó, ông quay ngược sang bên kia, vẽ một mũi tên tương tự, cũng chỉ về cực Bắc nốt. Bây giờ chình ình trước mắt thằng bé là hai mũi tên cùng chỉ về hướng Bắc, nhưng trông lệch hướng nhau thấy rõ. Thế là thằng bé nhận ra sai lầm của mình, và nó lại nghĩ tiếp.
Giải pháp tiếp theo nó nghĩ ra là cứ mỗi lần đi một đoạn ngắn, nó sẽ lại vẽ một mũi tên tương tự, song song và dài bằng mũi tên trước. Thế là về sau, bất kể đi xa đến đâu, nó cũng sẽ có thể tái tạo mũi tên gốc. Nhưng một lần nữa, ông bố lại bắt bí nó: làm thế nào nó biết được mũi tên mới sẽ song song và bằng với mũi tên gốc?
Nghe hỏi vậy, thằng bé nhìn lại quả cầu, và nhận thấy quả đúng là trên một mặt cầu thế này thì khó đảm bảo 2 yếu tố trên được thật. Nghĩ một hồi bí quá, nó quyết định tạo ra một mặt phẳng để nghiên cứu thử trước, sau đó tính cách bê nó vào không gian 3D sau.
Trên mặt phẳng mới, thằng bé nhận ra cách ổn áp nhất để làm điều ấy là vẽ một hình bình hành. Thế rồi, với sự hỗ trợ của bố nó, nó đã luận ra chính cái phương pháp Schild’s Ladder đã nói ở trên, và từ đấy biết cách dịch chuyển mũi tên trên mặt phẳng 2D với lượng công cụ bổ trợ tối thiểu.
Với công cụ mới ấy, nó quay lại với khối cầu 3D. Cái khó bây giờ là Schild’s Ladder đòi hỏi nó phải vẽ được các đoạn thẳng để nối các điểm vào với nhau, nhưng trên bề mặt một quả cầu 3D thì toàn các cung cong thôi, vẽ thế nào được bây giờ?
Một lần nữa, nhờ có bố dìu dắt, thằng bé nhận ra để vẽ một đoạn thẳng trên một mặt cầu, nó cần tạo ra một mặt phẳng đâm xuyên qua tâm của quả cầu, đồng thời cũng chứa luôn cả hai điểm mình cần kẻ (hay nói cách khác là một mặt phẳng tạo ra từ tâm quả cầu và hai điểm cần kẻ thẳng). Mặt phẳng ấy khi giao với bề mặt mặt cầu sẽ tạo thành một đường “xích đạo” tròn, đi xuyên qua 2 điểm cần kẻ. Mẩu “xích đạo” nằm giữa hai điểm này sẽ chính là đoạn thẳng nó đang tìm kiếm.
Và cứ như thế, sau khi tạo ra một loạt các mặt phẳng phù hợp, nó sẽ vẽ được Schild’s Ladder ở không gian 3D, và mang được mũi tên gần như nguyên vẹn đi khắp hành tinh.
Sau buổi học toán ngẫu hứng giữa đêm khuya này, ông bố đã quay lại với câu hỏi gốc của thằng bé. Ông khẳng định nó quả sẽ không bao giờ ngừng thay đổi đâu, nhưng điều đó không đồng nghĩa với việc nó phải buông bản thân trôi nổi bất định theo chiều gió. Mỗi ngày, thằng bé đều có thể nhìn lại bản thân và những điều mới mẻ mình đã chứng kiến, để từ đấy đưa ra lựa chọn riêng về con người mình nên trở thành vào ngày mai. Nếu vừa đi vừa dựng Schild’s Ladder như vậy, nó sẽ có thể không ngừng thay đổi, nhưng vẫn liên tục mang được cốt tủy của bản thân theo cùng mình suốt chặng đường.
Tuy nhiên, ông bố cũng cảnh báo nó về một vấn đề của Schild’s Ladder. Ông bảo nó hãy dựng một cái Schild’s Ladder mới xem liệu có mang được mũi tên đi giống hệt như hồi trước không. Vì Schild’s Ladder thực chất chỉ là một phương thức mang tính ước đoán, thế nên bất chấp có vẽ ra bao nhiêu cái Schild’s Ladder mới, thằng bé vẫn không tài nào tạo ra được một mũi tên cuối cùng giống hệt với mũi tên mình từng tạo ra ở cuối cái Schild’s Ladder đầu tiên. Luôn luôn có một thay đổi nho nhỏ nào đó, khiến hai mũi tên không còn trùng khớp được với nhau nữa.
Cũng từ đây, ông bố dạy nó thêm một bài học nữa: Schild’s Ladder có thể cho phép nó duy trì bản chất của mình, nhưng đừng kỳ vọng nó sẽ không thay đổi trong mắt người khác, hay nghĩ rằng người khác về cơ bản sẽ vẫn là con người y như nó từng nhớ nếu họ cũng bắt chước nó thực hiện phương pháp Schild’s Ladder. Hai con người “leo” hai Schild’s Ladder khác nhau tất yếu sẽ trở nên xa lạ trong mắt nhau, kể cả nếu xuất phát điểm của họ có trở nên giống nhau. Cách duy nhất để những người thân quen không bị biến thành kẻ lạ là phải luôn ở bên nhau, cùng nhau thay đổi, và cùng nhau sánh bước leo chung một Schild’s Ladder.
Mặc dù về sau (và cả trước đó nữa, vì phần giải thích về Schild’s Ladder xuất hiện khá muộn), tác phẩm gần như chẳng lôi tên cái Schild’s Ladder ra nói làm gì, nhưng cái theme về sự thay đổi và lựa chọn giữa duy trì hay biến thể luôn luôn xuất hiện và được bàn đến một cách cực kỳ tinh tế.
Đầu tiên ta có cái “hủ tục” Slowdown như mình đã mấy lần nhắc đến đấy, với cả một hành tinh cùng cho nhịp sinh học của mình chạy chậm lại để chờ đón chỉ một thành viên duy nhất của mình đi thăm thú một vì sao khác. Khi cái người xa xứ kia trở về sau hàng trăm năm di chuyển dưới dạng một chùm dữ liệu vô tri vô giác, họ sẽ thấy hành tinh vẫn chẳng hề đổi thay gì cả, và tất cả lại có thể ung dung leo chung Schild’s Ladder với nhau. Trong phần này, bên cạnh việc được khám phá một phương pháp thú vị để khắc phục yếu điểm của Schild’s Ladder, ta còn được chiêm nghiệm việc liệu hy sinh một khoảng thời gian lớn như thế chỉ vì một người liệu có đáng không.
Một vụ khác xoay quanh những người quyết định ở im trên một hành tinh lập gia đình với những người thích đi đây đi đó. Kể cả nếu những người thích chu du có chấp nhận ở im trên một hành tinh tận mấy trăm năm, không sớm thì muộn họ cũng sẽ muốn rời đi. Và một khi họ đã rời đi rồi, các thành viên gia đình xác định luôn là sẽ trở thành người dưng nước lã. Bất chấp việc đôi bên có tìm cách giữ liên lạc với nhau, Schild’s Ladder của họ cũng đã tẽ nhánh rồi, thế nên không ai còn có thể nhận ra ai được nữa. Một nhân vật đã đề ra giả thuyết rằng sở dĩ một người ở im lại sẵn sàng kết hôn với người thích chu du là bởi bản thân họ cũng muốn thay đổi, nhưng lại quá nhút nhát không dám làm gì chủ động cả. Chính thế, họ cưới một người chắc chắn rồi sẽ bỏ đi và trở thành xa lạ, để từ đó cuộc đời mình có một sự thay đổi, dù bản thân chẳng làm gì hết.
Trên thực tế, nhân vật đề ra giả thuyết này còn đi xa hơn, bảo là khi cái novo-vacuum, thế lực đang dần hủy diệt vũ trụ, lan đến hành tinh của những người ở lại, có khi một số người sẽ chẳng buồn di dời đi nơi nào khác, mà sẽ vui vẻ đón nhận nó. Bởi lẽ bất chấp bản chất kinh dị của nó, cái novo-vacuum này cũng đại diện cho một sự thay đổi, và cũng như những người thích chu du kia, nó sẽ giúp những người ở im được trải nghiệm thay đổi trong cuộc đời của mình mà chẳng phải động chân động tay làm gì cả.
Và tiện thể nhắn đến novo-vacuum, bản thân cái thằng này cũng liên quan đến theme thay đổi. Nó là một vùng không gian mới hoàn toàn, phá tung tất cả những gì con người biết về vật lý, và thậm chí còn thách thức sự tồn vong của nhân loại. Tuy nhiên, phản ứng của con người trước cái hiện tượng này lại bị chia thành 2 phe. Một phe chỉ đơn thuần thấy đây như một con ngáo ộp và muốn triệt tiêu hoàn toàn nó, trả vũ trụ về lại như cũ; còn một phe thì muốn tìm cách sống chung với nó như sống với lũ, hoặc tìm cách ghìm cho nó đứng im thôi chứ không hủy diệt hoàn toàn, bởi vì nó đại diện cho một sự thay đổi vô tiền khoáng hậu, hứa hẹn sẽ tạo ra một sân chơi mới cho con người nghiên cứu. Hai phe này quật đi quật lại nhau rất hăng, với mỗi bên đều có lý do hợp lý cả, nhất là khi ta ngày một có thêm bằng chứng về sự độc đáo và dị thường của vùng novo-vacuum, và càng lúc càng nhìn nhận nó dưới dạng một làn sóng thay đổi thay vì một thế lực hủy diệt.
Ngoài mấy ví dụ trên ra thì còn khá nhiều thứ khác trong này cũng liên quan đến theme thay đổi và giữ gìn bản chất, nhưng kể hết ra thì quá bằng diễn xuôi lại truyện, thế nên xin tạm dừng ở đây thôi nhé.
Và nhân tiện, vì mấy phần diễn giải toán bên trên do một thằng bị thiểu năng khối A thực hiện, thế nên chưa biết chừng sẽ có những chỗ giải thích vụng hay thậm chí còn sai lệch. Anh em nếu muốn tìm hiểu thêm về thủ pháp Schild's Ladder trong hình học vi phân thì tham khảo đây nhé:
-----
Xem bài viết gốc tại:
24
963 lượt xem
24
1
1 bình luận