Ba giai đoạn của quá trình học toán

Người ta có thể đại khái chia giáo dục toán học thành ba giai đoạn:

    1.Giai đoạn “tiền nghiêm ngặt”, trong đó toán học được dạy một cách thân mật, trực quan, dựa trên các ví dụ, các khái niệm mờ nhạt và cái vẫy tay. Ví dụ, giải tích thường được giới thiệu đầu tiên dưới dạng độ dốc, diện tích, tốc độ thay đổi, v.v. Trọng tâm là tính toán nhiều hơn là lý thuyết. Giai đoạn này thường kéo dài cho đến những năm đầu đại học.

    2.Giai đoạn "nghiêm ngặt", trong đó bây giờ ta được dạy rằng để làm toán "đúng cách", ta cần phải làm việc và suy nghĩ theo một cách chính xác và chính xác hơn rất nhiều so với trước kia. Ví dụ: làm lại phép tính bằng cách sử dụng epsilon và delta trên địa điểm. Bây giờ chủ yếu là về lý thuyết và ta được kỳ vọng có thể thao tác thoải mái các đối tượng toán học trừu tượng mà không cần tập trung quá nhiều vào ý nghĩa thực sự của các đối tượng đó. Giai đoạn này thường chiếm những năm sau đại học và sau đại học.

    3.Giai đoạn "sau nghiêm ngặt", trong đó một người đã trở nên thoải mái với tất cả các nền tảng nghiêm ngặt của lĩnh vực mà họ đã chọn và bây giờ đã sẵn sàng để xem lại và tinh chỉnh trực giác trước đó của họ về chủ đề này, nhưng lần này với trực giác được củng cố vững chắc bởi lý thuyết chặt chẽ. Ví dụ như trong giai đoạn này, người ta sẽ có thể thực hiện nhanh chóng và chính xác các phép tính trong phép tính vectơ bằng cách sử dụng phép loại suy với phép tính vô hướng, hoặc sử dụng không chính thức và gần như chặt chẽ, nghiêm ngặt các phép tính không chính xác, ký hiệu O lớn, v.v. và có thể chuyển đổi tất cả các phép tính như vậy thành một lời giải có sự lập luận chặt chẽ bất cứ khi nào được yêu cầu. Giờ đây, trọng tâm là ứng dụng, trực giác và “bức tranh toàn cảnh”. Giai đoạn này thường chiếm những năm sau đại học trở lên.

Quá trình chuyển đổi từ giai đoạn đầu tiên sang giai đoạn thứ hai được biết đến là khá đau thương, với “những câu hỏi dạng chứng minh” đáng sợ là vấn đề nan giải của nhiều sinh viên toán đại học. Nhưng sự chuyển đổi từ thứ hai sang thứ ba cũng quan trọng không kém, và không nên quên.

Tất nhiên, điều tối quan trọng là bạn phải biết cách suy nghĩ nghiêm túc, vì điều này giúp bạn có kỷ luật để tránh nhiều lỗi phổ biến và loại bỏ nhiều quan niệm sai lầm. Thật không may, điều này có hậu quả không mong muốn là tư duy “mờ ” hoặc “ sự trực quan” (chẳng hạn như suy luận heuristic, phép ngoại suy sáng suốt từ các ví dụ hoặc phép loại suy với các bối cảnh khác như vật lý) bị coi là “không nghiêm ngặt”. Thông thường, một người sẽ bỏ đi trực giác ban đầu của mình và chỉ có thể xử lý toán học ở cấp độ chính thức, do đó bị đình trệ ở giai đoạn thứ hai trong việc học toán của một người. Trong số những thứ khác, điều này có thể ảnh hưởng đến khả năng đọc các bài giải toán học trên các bài báo của một người; nếu tư duy quá theo nghĩa đen có thể dẫn đến “lỗi biên dịch” khi người viết bài báo gặp một lỗi đánh máy hoặc sự súc tích và một chút mơ hồ của người viết trong một bài báo như vậy.

Mục đích của sự chặt chẽ không phải là loại bỏ hoàn toàn trực giác, mà là để loại bỏ những trực giác tệ hại và lọc ra những trực giác tốt. Chỉ với sự kết hợp của cả chủ nghĩa hình thức chặt chẽ và trực giác tốt, người ta mới có thể giải quyết các vấn đề toán học phức tạp; người ta cần cái trước để xử lý chính xác các chi tiết nhỏ, và cái sau để xử lý chính xác bức tranh lớn. Nếu không có cái này hay cái kia, bạn sẽ mất rất nhiều thời gian để tìm hiểu sai lầm trong bóng tối (điều này có thể mang tính hướng dẫn, nhưng rất kém hiệu quả). Vì vậy, một khi bạn hoàn toàn thoải mái với tư duy toán học nghiêm ngặt, bạn nên xem xét lại trực giác của mình về chủ đề này và sử dụng các kỹ năng tư duy mới của bạn để kiểm tra và tinh chỉnh những trực giác này thay vì loại bỏ chúng. Một cách để làm điều này là tự hỏi bản thân những câu hỏi ngớ ngẩn (nhưng đừng ngớ ngẩn đến nỗi hỏi 1+1=?); hoặc là học lại lĩnh vực của bạn đang học và nghiên cứu.

Trạng thái lý tưởng để đạt được là khi mọi lập luận heuristic tự nhiên đề xuất đối chứng chặt chẽ của nó, và ngược lại. Sau đó, bạn sẽ có thể giải quyết các vấn đề toán học bằng cách sử dụng cả hai nửa não bộ của bạn cùng một lúc - giống như cách bạn đã giải quyết các vấn đề trong “cuộc sống thực”.

Có lẽ cần lưu ý rằng các nhà toán học ở cả ba giai đoạn phát triển toán học nêu trên vẫn có thể mắc những lỗi chính thức khi viết toán học của họ. Tuy nhiên, bản chất của những sai lầm này có xu hướng khá khác nhau, tùy thuộc vào giai đoạn nào của lỗi đó:

    1.Người làm toán ở giai đoạn trước sự chặt chẽ thường mắc những lỗi hình thức vì họ không hiểu cách vận hành của tính hình thức trong toán học, và áp dụng những quy tắc hình thức hoặc suy luận heuristic một cách mù quáng. Rất khó để người làm toán ở giai đoạn này có thể nhận ra  và sửa những lỗi đó, ngay cả khi có người khác chỉ ra rõ ràng cho họ.

    2.Người làm toán ở giai đoạn của sự chặt chẽ vẫn có thể mắc những lỗi hình thức vì họ chưa hoàn toàn kỹ năng tư duy hình thức, hoặc không có khả năng thực hiện các suy luận kiểu kiểm-tra-tính-lý-trí của các trực giác (sanity check), hoặc một lỗi do bất cẩn như sai dấu, bỏ sót giả thiết quan trọng,... Tuy nhiên, họ thường phát hiện (và thường sửa được) khi được chỉ ra những lỗi đó.

    3.Người làm toán ở giai đoạn sau của sự chặt chẽ không phải là bất khả chiến bại. Họ vẫn có thể mắc những lỗi hình thức khi viết. Tuy nhiên lí do thường là vì họ không còn cần tính hình thức để có thể suy luận toán học ở trình độ cao, và thường thực hiện quá trình tư duy phần lớn nhờ trực giác, thứ mà sau đó được dịch (có thể là, một cách không chính xác) thành ngôn ngữ toán học hình thức.

Sự phân biệt giữa ba loại lỗi có thể dẫn đến hiện tượng một người làm toán mắc các lỗi "địa phương" (lỗi chính tả, lỗi trình bày, v.v.). Nhưng suy luận toàn cục là hợp lý, và các lỗi địa phương có thể lây lan một chút trước khi tự triệt tiêu lẫn nhau (điều này có thể gây khó khăn với người đọc ở trình độ thấp hơn). Ngược lại, khi không được kiểm nghiệm bởi một trực giác lành mạnh, một sai sót của môt người làm toán ở giai đoạn nhỏ hơn 3 có thể lây lan đến mức không thể kiểm soát nổi, và sau cùng là một lời giải vô nghĩa.