Toán học còn có nhiều thứ hơn là mỗi sự chặt chẽ và chứng minh

Lịch sử của mọi nền văn minh lớn trong vũ trụ có xu hướng đi qua ba giai đoạn tách biệt và dễ nhận dạng, đó là Sinh Tồn, Tự Vấn, và Tinh Tế, hay còn được biết đến là các giai đoạn Bằng Cách Nào, Tại Sao, và Ở Đâu. Ví dụ, đặc trưng của giai đoạn đầu là câu hỏi “Chúng ta sẽ ăn bằng cách nào?”, giai đoạn hai bằng câu hỏi “Tại sao chúng ta lại ăn?” và giai đoạn ba với câu hỏi, “Trưa nay chúng ta ăn ở đâu?”

Giai đoạn “tiền chặt chẽ”, khi mà môn toán được dạy một cách trực quan, phi hình thức, dựa trên các ví dụ, ý niệm mập mờ, và những lập luận bỏ bước¹. (Ví dụ, bộ môn giải tích ban đầu thường được giới thiệu qua các khái niệm như độ dốc, diện tích, độ thay đổi, v.v.) Thứ được nhấn mạnh ở đây là cách tính toán hơn là lý thuyết. Giai đoạn này thường tồn tại cho đến những năm đầu của đại học.Giai đoạn “chặt chẽ”, khi mà một người giờ được học rằng để làm toán một cách “chính thống”, người đó cần làm việc và suy nghĩ theo một phương cách tỉ mẩn và hình thức hơn rất nhiều (ví dụ, xây dựng lại giải tích qua epsilon và delta ở mọi nơi). Thứ được nhất mạnh ở đây chủ yếu lại là lý thuyết, và người học được trông chờ là có khả năng thao tác các đối tượng toán học trừu tượng một cách thoải mái mà không cần để ý quá nhiều vào việc những đối tượng này thực sự có “nghĩa” gì. Giai đoạn này thường bao trùm những năm cuối của bậc đại học và những năm đầu của cao học.Giai đoạn “hậu chặt chẽ”, khi mà người học đã trở nên hoàn toàn thoải mái với các nền tảng chặt chẽ trong phân ngành mà người đó đã chọn, và bây giờ đã sẵn sàng để quay lại và hoàn thiện các trực giác tiền chặt chẽ trong phân ngành, nhưng lần này với một trực giác được nâng đỡ chắc chắn bằng lý thuyết chặt chẽ. (Ví dụ, trong giai đoạn này người học có thể thực hiện các phép tính trong giải tích vectơ nhanh chóng và chính xác bằng cách so sánh với giải tích vô hướng, hoặc sử dụng các khái niệm vi phân, kí hiệu O lớn, v.v, một cách không hình thức hoặc bán chặt chẽ, và có thể chuyển tất cả những tính toán này thành một lập luận chặt chẽ bất cứ khi nào cần thiết.) Thứ được nhấn mạnh ở đây là các các ứng dụng của việc tính toán, trực giác, và “bức tranh toàn cảnh”. Giai đoạn này thường ở những năm cuối của cao học và về sau. Bài viết của Bill Thurston, “Về chứng minh và tiến bộ trong toán học”; “Trực giác và logic trong toán” của Henri PoincareBài phát biểu này của Stephen Fry về một hiện tượng tương tự rằng ngôn ngữ còn có nhiều thứ hơn là mỗi ngữ pháp và chính tả; vàCác giai đoạn phát triển đạo đức theo Kohlberg (cho rằng (ngoài một số thứ khác) đạo đức còn có nhiều thứ hơn là mỗi phong tục tập quán và sự chấp thuận của xã hội).Những người làm toán ở giai đoạn tiền chặt chẽ thường có các lỗi sai hình thức vì họ không hiểu hình thức luận toán học chặt chẽ hoạt động như thế nào, và thường áp dụng các quy tắc hình thức hoặc suy luận tắt một cách mù quáng. Thường có thể sẽ rất khó để những người làm toán này tự sửa các lỗi của họ, kể cả khi các lỗi đó được trực tiếp chỉ ra.Những người làm toán ở giai đoạn chặt chẽ vẫn có thể có các lỗi sai hình thức vì hiểu biết hình thức của họ vẫn chưa được hoàn thiện, hoặc họ chưa đủ khả năng để kiểm tra nhanh² trực giác hoặc các nguyên tắc thông dụng (rule of thumb) khác, ví dụ như nhầm dấu, hoặc họ thất bại trong việc kiểm chứng một giả thiết quan trọng trong một công cụ nào đó. Tuy nhiên, các lỗi này thường có thể được phát hiện dễ dàng (và thường được sửa lại) ngay khi chúng được chỉ ra.Những người làm toán ở giai đoạn hậu chặt chẽ cũng không phải không bao giờ sai được, và vẫn có khả năng phạm các lỗi hình thức trong khi viết. Nhưng điều này thường là vì họ không còn cần đến hình thức luận để có thể làm toán ở trình độ cao, và thực sự là họ tiến bước chủ yếu thông qua trực giác, rồi sau đó dịch lại nó thành ngôn ngữ toán hình thức (có thể không chính xác).