II. Lịch sử toán học - The Historical

“Toán học là môn khoa học liên quan đến logic hình học, số lượng và sự sắp xếp. Toán học ở xung quanh chúng ta, trong mọi thứ chúng ta làm. Nó là nền tảng cho mọi thứ trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta, bao gồm thiết bị di động, máy tính,phần mềm, kiến ​​trúc (cổ và hiện đại), nghệ thuật, tiền bạc, kỹ thuật và thậm chí cả thể thao, …”

Có thể nhận thấy rằng, sự ra đời của hệ thống số đếm hiện đại gồm các số (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) như ngày nay chúng ta vẫn thường sử dụng chính là nền tảng của số học. Từ các chữ số trên, ta dễ dàng biểu diễn hay viết bất cứ số nào dù lỡn hay nhỏ. Nhưng tại sao lại chỉ là 10 chữ số đó? Và nguồn gốc phát triển của chúng bắt đầu từ đâu?

Nhu cầu để phát triển số đếm đã xuất hiện rất lâu về trước, trong những văn tự cổ, tạo tác nghệ thuật, … đã có những bức vẽ chứng minh kiến thức toán học từ khoảng năm 70.000 TCN bằng cách đo, định lượng thời gian dựa vào sao trời hay những vạch trên xương, trên đá mà những người phụ nữ xưa để đánh dấu chu kì kinh nguyệt hàng tháng, những văn tự về số liệu của các công trình xưa, qua đó, cho ta thấy những nỗ lực sơ khai cho sự ra đời của toán học định lượng thời gian và đo đạc thực tế.

Nhưng khi cuộc sống ngày càng phát triển, vai trò của toán học càng được củng cố khi chúng ta có nhiều thứ hơn cần phải đếm và những phương pháp sơ khai này là chưa đủ. Vì vậy, nhiều nền văn minh khác nhau đã có cho mình những hệ thống đếm như của Hy Lạp, hệ thống đếm của người Do Thái và Ai Cập, La Mã,... Là một sự tiến bộ của hệ thống kiểm đếm, với một bộ các kí tự thống nhất, cũng như các quy luật để sắp xếp kí tự và cho ra giá trị mong đợi tương ứng.

Xét cho cùng,nhiêu đó vẫn rất phức tạp cho việc viết một số lớn hay các con số đặc biệt. Chúng ta cần phương pháp dẫn tới biểu diễn hiệu quả và nhẹ nhàng hơn. Và giải pháp chính là “ký hiệu vị trí (positional notation)”.  Hệ thống trước đó cần thiết hình thành nên nhiều kí hiệu lặp đi lặp lại, tái sử dụng cùng một biểu tượng mà chúng lại có giá trị khác nhau phụ thuộc vào vị trí của nó trong dãy số, thay vì tạo ra một kí hiệu mới cho mỗi số lớn hơn.

Ngoài ra, còn có một số nước phát triển phương pháp ký hiệu vị trí một cách độc lập như Thành Babylon, Trung Hoa cổ đại, người Aztec.

Đến thế kỉ 8, các nhà toán học người Ấn Độ cũng đã hoàn thiện một thế thống giống vậy (nhưng khác với các hệ thống số đếm khác, hệ thống số đếm của ấn độ đã có khái niệm số 0). Số 0 đóng vai trò thế chỗ cho một đơn vị khi hàng đó không có giá trị trong con số. Ví dụ số, 402, có số không, nghĩa là không có giá trị nào ở hàng chục cả. Và trong những thế kỉ tiếp theo, các học giả, nhà thám hiểm hay thương gia bắt đầu lan truyền nó khắp châu Âu, Châu Mỹ. 

Những con số cũng như các khái niệm, quy luật về viết, đọc, hay biểu diễn toán học được ra đời và cải thiện dần theo thời gian theo nhu cầu của chúng ta về số đếm trong cuộc sống. Cuộc sống phát triển dần, chúng lại cần phải nâng cấp chúng trở nên hoàn hơn phiên bản trước. Cho đến nay, ngoài các số tự nhiên được ghép từ những chữ số ấy, còn có thêm nhiều loại số khác như số nguyên, số thực,…Tuy nhiên, khi nhìn một cách tổng thể, ta thấy rằng chúng đều dựa trên nền tảng phát minh vĩ đại (các số đếm căn bản) do xã hội loài ngườixa xưa đã khởi phát.

Khi các nền văn minh, và kiến thức đại số đã phát triển. Hình học bắt đầu xuất hiện.

Trong đời sống hằng ngày, con người đã tiếp xúc với các vấn đề đo đạc. Mỗi lần nước lụt từ các sông, phù sa lấp đầy các mảnh đất là làm mất đi vạch ngăn dùng cho phân định biên giới của các nông dân. Khi đó chúng ta cần phải chia lại ruộng đất, tạo điều kiện để phát triển cấc kiến thức về hình học diện tích.

Hay khi thu hoạch thóc gạo, Người Ai Cập chọn một cái thùng có dung tích được thừa nhận làm đơn vị rồi lường xem số thóc thu hoạch được gồm bao nhiêu thùng như vậy. Đó chính là phương pháp xác định các thể tích đầu tiên nó đưa đến vấn đề tương quan giữa các thể tích của nhiều vật thể khác nhau. _wikipedia_

Thành thử, hình học phát triển dần, tính toán diện tích, thể tích, góc, và các ứng dụng thực tế khác. Hình học đi đối với việc sử dụng các con số để tạo nên nhiều công thức tính hình tam giác, hình chữ nhật, hình thang. Ngoài ra còn có công thức tính thể tích các hình nón, hình trụ, hình lập phương. Mà nổi bậc nhất trong lĩnh vực hình học này, không thể không kể đến nhiều nhà toán học lỗi lạc của nền toán học Hy Lạp xưa

Khoảng từ thế kỷ thứ VII trước công nguyên đến thế kỷ IV. Các nhà toán học Hy Lạp sống rải rác tại các thành phố từ Đông Địa Trung Hải dến Bắc Phi. Nhưng giữa họ có sự thống nhất chung về văn hóa và ngôn ngữ. Đồng nghĩa với việc nền toán học miền đất Hy Lạp có điều kiện thuận lợi để phát triển vượt bậc. Sau được gọi là Toán học Hy Lạp, nghĩa là nền toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp

Nền toán học Hy Lạp cổ đại nổi danh là nơi ra đời của hàng loạt nhà toán học lỗi lạc như Euclid, Aristotle, Pythagore, Apollonius, Thales… Tạo nên một giai đoạn phát triển toán học rực rỡ nhất trong lịch sử nhân loại, và là nền móng của toán học hiện đại.

Giai đoạn này nổi bật với việc lập luận và chứng minh từ các kiến thức đơn lẻ về số học và hình học mà nhân loại đã biết từ trước thành các định lí, tiên đề toán học.

Tiêu biểu của thời kì này được thể hiện rõ nhất trong lĩnh vực hình học, và vật lý, bao gồm sự ra đời của định lý ta-lét, định lý Pi-ta-go, định luật Ác-si-mét, những tiên đề Ơ-cơ-lit, lượng giác.

Trong đó, các tiên đề về hình học của Euclid đã hệ thống hóa chặt chẽ các kiến thức hình học, cũng như đặt nền móng cho nền toán học cổ đại và hiện đại. Đây là một hệ thống toán học được Euclid miêu tả trong cuốn sách của ông (The elaments: cơ sở). Cuốn sách chứa các tiên đề của Euclid mang tính giả thiết và trực giác. Sau đó, ông suy ra các mệnh đề, định lý dựa trên cơ sở các tiên đề này.

Một số tiên đề trong hệ tiên đề Euclid:

+ Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.

+ Qua một điểm ở ngoài đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó

+ Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc trong cùng phía bù nhau.

Trong thời gian này, các nhà toán học cũng bắt đầu làm việc với lượng giác, nghiên cứu mối quan hệ giữa các cạnh và góc của tam giác và tính toán các hàm lượng giác, bao gồm sin, cosin, tiếp tuyến và nghịch đảo của chúng. Những kiến thức này được áp dụng trong thiên văn học và tính toán các góc trong thiên cầu.

Toán học được phát minh hay phát hiện? Đây là một câu hỏi hóc búa từ khi nótồn tại cho đến nay, câu trả lời cho nó cũng không còn nằm trong phạm trù toán học nữa. Ngược lại, nó mang tính triết học hơn. Nó trở thành vấn đề được bàn tán, gây tranh cãi mỗi khi được nhắc đến trong mọi cuộc luận chiến suốt hàng trăm hay hàng nghìn năm. Thế đâu là câu trả lời hợp lí nhất cho “bài toán” kì lạ này.

Phát minh nghĩa là việc con người hoặc một cá thể nào đó tạo ra thứ chưa từng tồn tại trong vũ trụ, trong tự nhiên. Sự vật, khái niệm ấy chỉ xuất hiện trong thế giới quan của chúng ta. Đơn cử như khi Thomas Edison phát minh ra bóng đèn sợi đốt, hay như các phát minh tivi, máy tính, điện thoại… điểm chung là chúng chưa từng tồn tại trong tiến trình lịch sử trước đó, và chỉ xuất hiện, có khái niệm khi chung được tạo ra bởi chúng ta.

Phát hiện là việc để chỉ con người tìm ra những sự vật chưa ai biết tới trong vũ trụ, chúng đã tồn tại từ lâu, là thứ đã có sẵn, chờ cho đến khi chúng ta tìm thấy. Lấy ví dụ khi Newton phát hiện ra lực hấp dẫn, các nhà khoa học khám phá thấy một loài sinh vật mới, hay khi Einstein khám phá thuyết tương đối…

Tuy không phải là một chuyên gia về lĩnh vực này, nhưng theo ý kiến chủ quan của tôi, đáp án cho câu hỏi gây tranh cãi này là toán học đã tồn tại từ trước đó, cùng lúc với khi vũ trụ được khởi sinh.

Hãy thử nghĩ xem trong định lý Pi-ta-go nêu rằng “trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông”. Điều này rõ ràng đúng với mọi tam giác vuông, cho dù định lý trước đó có được nêu ra hay không, ngay cả trước khi Pythagore được sinh ra thì định lý này cũng đã luôn đúng, Pythagore chỉ là cá nhân khám phá ra nó.

Hoặc khi một quả bóng được ném lên từ trên cao và rơi xuống, quả bóng đi theo một quỹ đạo có thể đoán trước được quyết định bởi trọng lực (bỏ qua sức cản không khí, và các tác động thứ cấp khác) toán học có thể cho ta dự đoán được quỹ đạo của quả bóng và nơi mà nó rơi xuống. Tuy nhiên điều thú vị là một con chó cũng có thể dự đoán vị trí rơi của quả bóng gần như ngay lập tức khi nó được ném. Để giải quyết hiện tượng này, chúng ta có hai góc nhìn trái ngược nhau.

Góc nhìn thứ nhất chính là chú chó ấy đã phát minh ra toán học, thông qua các trải nghiệm chủ quan của nó trong đời sống. Nó quan sát các mẫu trong ký ức của nó và hình thành nên cảm giác đáng tin cậy thông qua hoạt động xử lý lẫn tính toán của hàng loạt dây thần kinh rằng quả bóng sẽ rơi ở vị trí này hay vị trí kia.

Góc nhìn trái thứ hai hoàn toàn trái ngược và nghe đúng đắn hơn sẽ là toán học quyết định hành vi của chú chó. Chuyển động của các vật thể trong không gian luôn tuân theo các định luật vật lý, và nó vẫn luôn đúng từ mốc thời gian sơ khai nhất của vũ trụ. Toán học đã tồn tại lâu hơn cả loài chó, và những định luật này đã vô tình tạo nên bộ máy quyết định, điều khiển hành vi trong một con chó thông qua trải nghiệm của chúng.

Tất nhiên một con chó thì không thể biết gì về luật hấp dẫn hay chuyển động, nhưng chắc hẳn nó đang tuân theo một thuật toán đơn giản hơn nhiều mà cũng có thể dự đoán được vị trí rơi của quả bóng tennis đấy thôi, chỉ có điều là thuật toán này được hoạt động một cách không có sự kiểm soát hay quyết định của con chó, thậm chí nó còn không nhận biết được thứ gì đang xảy ra trong đầu nó.Và đương nhiên nó cũng không cần cầm giấy bút, hay máy tính để tính toán địa điểm rơi của quả bóng để rồi cầm nó đi chỉ bảo, giải thích cho những con chó khác, rồi cuối cùng khám phá ra luật hấp dẫn, có một công thức để tính nơi quả bóng sẽ rơi trong xã hội loài chó được.

Lý do tại sao câu hỏi này tồn tại là do mọi người nhầm lẫn giữa Toán học và ngôn ngữ mà chúng ta sử dụng để mô tả thiên nhiên.

Suy cho cùng, toán học đã luôn tồn tại trong cuộc sống của chúng ta. Điều tiến bộ của loài người chính là việc phát minh ra các con số, hay định luật vật lý, toán học để biểu diễn cho chúng ta về những hiện tượng trong tự nhiên, toán học chỉ là công cụ cho phép nhân loại ghi lại, mô tả, và giải thích những khám phá về tự nhiên. Kết hợp với chữ viết và ngôn ngữ giúp chúng ta tuyên truyền thông tin, kiến thức cũng như lưu giữ chúng cho thế hệ sau hiệu quả hơn. Tạo điều kiện thuận lợi cho nền toán học nhân loại phát triển không ngừng về sau.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

#English

     Mathematics is the science related to the logic of shape, quantity, and arrangement. Maths is all around us, in everything we do. It is the foundation for everything in our daily lives including mobile equipment, computers, software (ancient and modern), art, money, technicality, and even sports.Since the beginning of historical records, the discovery of mathematics has been a top priority in all civilized societies, and mathematics – the early science but the foundation for the development of modern science, has been used by even the earliest and earliest cultures.

It can be seen that the advent of the modern system of numbers (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) as we often use today is the foundation of mathematics. From the above numbers, it’s easy to perform or write any number. But why are those only 10 digits? And where did their developments begin?

  The need to develop counting numbers appeared a long time ago, in ancient texts, there have been drawings demonstrating mathematical knowledge from about 70,000 BC by measuring and quantifying time-based on the stars. Or the lines on the bones, on the rocks of the ancient women to mark the monthly menstrual cycle. Furthermore, the characters are also used by hunter and herd owners to make the herds, indicating the early attempt of mathematics to quantify time, quantity,...

But as life grows, the need for mathematics increases, and we have more things to count, and these primitive methods are not enough. Thus, many different civilized had themselves counting systems such as those of Greece, the counting of Jews and Egyptians, and Romans,… It’s an advancement of the tallying system, with more characters and rules for arranging characters and giving the corresponding expected value.

After all, that’s still very complicated for writing a big number. We need methods that lead to more efficient and gentle calculations. And the main solution is “positional notation”. The previous system needed to form multiple symbols over and over again, reusing the same symbols whose values depended on and their position in the sequence, rather than creating a new symbol for each larger number.

There are several countries that developed independent methods of position notation such as Babylon, the Ancient Chinese, the Aztecs.

By the 8th century, the Indian mathematician had completed a similar system ( but unlike other systems of counting, the Indian counting system had the concept of 0). Number 0 serves as a substitute for a unit, with no value in that number. For example, number 402, has a value in the tens that is zero. On the other hand, the birth of the number 0 also helps us to understand that this is the number 506, not 56. And in the decades that followed, scholars, explorers, or merchants began spreading it throughout Europe and America.

Numbers, as well as concepts and rules of writing, reading, or performance were born and improved over time according to our need for counting in life. Life develops gradually, they need to upgrade to become more complete than the previous version. Until now, in addition to the natural grafted from those numbers, there are many other types of numbers such as integers, real numbers,…However, when we look at them as a whole, we see that they are all based on the great invention (basic numbers) initiated by ancient human society.

As civilizations and algebraic knowledge have developed. Mathematicians began to work with geometry.

In daily life, people have been exposed to measurement problems. Each time water floods from rivers, alluvium fills the land, removing the dividing line used to demarcate the borders of the farmers. Then we need to redistribute the land, creating conditions to develop knowledge of area geometry.

Or when harvesting rice, the Egyptians chose a barrel of a recognized capacity as a unit and then measured how many such barrels the harvest consisted of. It was the first method of determining volumes that led to the problem of correlations between the volumes of different bodies. _wikipedia_

As a result, geometry evolved, calculating areas, volumes, angles, and other practical applications. Geometry goes for using numbers to create many formulas for calculating triangles, rectangles, and trapezoids. There are also formulas for calculating the volume of cones, cylinders, and cubes.

From the 7th century BC to the fourth century. Greek mathematicians lived scattered in cities from the Eastern Mediterranean to North Africa. But there is a general unity of culture and language between them. This means that the mathematicians of the Greek land have favorable conditions to develop greatly. The latter is called Greek Mathematics, which means that mathematics is written in Greek.

Ancient Greek mathematics was famous for being the birthplace of a series of brilliant mathematics such as Euclid, Aristotle, Pythagore, Apollonius, Thales… It created the most brilliant period of mathematical development in human history and was the foundation of modern mathematics.

_Thales_

This stage stands out for the argument and demonstration of the single knowledge of arithmetic and geometry that humanity has known before into mathematical theorems and axioms. Typical of this period is most evident in the field of geometry, and physics, including the birth of Thales theorem, Pythagore theorem, Euclid, and Trigonometry.

In particular, Euclid’s geometric axioms have closely codified geometric knowledge, as well as laid the foundation for ancient and modern mathematics. This is a mathematical system described by Euclid in his book (The elements). The book contains Euclid’s axioms that are hypothetical and intuitive. Then. He infers propositions and theorems based on these axioms.

Some axioms in the Euclid axiom system:

+ Through any two points, always draw a straight line.

+ Through a point outside the line, there is only one line parallel to that line.

+ If a straight line cuts two parallel lines, the two internal staggered corners are equal, the two isotope angles are equal, and the two inner corners on the same side compensate for each other.

During this time, mathematics also began to work with trigonometry, researching the relationship between the sides and angles of the triangle and calculating trigonometry, including sine, cosine,  tangential, and inverse aspects of them. This knowledge is applied in astronomy and the calculation of angles in the celestial sphere

Invention means that a person or an individual creates something that has never existed in the universe or nature. Notions that only exist in our fictitious universe. Like Thomas Edison's inventions of the incandescent light bulb, television, the computer, and the telephone... the common point is that they have never existed in the historical process before, and appear only when collectively created by mankind.

Discovery is discovering things that no one else knows. However, they are already there and have existed for a long time, waiting for us to find them. For example, when Newton discovered the Law of Universal Gravity, scientists discovered a new species of organism, and when Einstein discovered the theory of relativity.

Although not an expert in this field, in my opinion. The answer to this controversial question is pre-existing mathematics, at the same time the universe was born.

Let’s think about the Pythagoras theorem: “In a right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides”. This is obvious for all right triangles whether this theorem is stated. Before Pythagoras was born, this theorem was always true. Pythagoras is just the individual who discovered that theorem.

Or when the ball is thrown high and then falls, gravity causes the ball to fall in a predictable path (ignore the effects of air resistance and other factors). We can use math to forecast the ball's trajectory and where it will fall. On the other hand, a dog can nearly instantly predict where the ball will fall when it is thrown. To deal with this phenomenon, we have two different perspectives.

The first point of view is that the dog invented math through its experiences in life. In its memory form a sense of trust through the processing and computation of the nerves that the ball will drop here or there.

The second point of view is the complete opposite but it sounds more correct that the math determines the behavior of dogs. The mobility of objects in space is always governed by physical rules, and it has been true since the very beginning of the universe. Mathematics has outlived dogs, and these laws have inadvertently created machines that control dogs' behavior through their life experiences.

Of course, a dog doesn't know about Newton's laws of motion or the law of universal gravitation, but it is certainly following a simple algorithm that can still predict where the tennis ball will fall, however, this algorithm is implemented without the dog's control or decision, it doesn't even know what's going on in its head. and of course, it doesn't hold paper, pen, or calculator to calculate where the ball falls then went to teach other dogs and then discovered the law of gravitation to figure out where the ball would land in canine society.

The reason this question exists is that people confuse Math, the language, and the mechanism we are using to describe nature itself.

As a matter of fact, mathematics has always existed in our lives. The advancement of homo sapiens is the invention of numbers or physical and mathematical laws to represent phenomena in nature. Mathematics is only a tool that allows mankind to record, describe and explain discoveries about nature combined with writing and language to help us propagate information and knowledge to store them for future generations.