CODE: 8 - Alternatives to Ten

Mười là con số quá đỗi quan trọng với loài người chúng ta. Mười là số  ngón tay hay ngón chân mà đa phần chúng ta có, và hẳn là chúng ta sẽ thích có đủ mười ngón hơn. Vì các ngón tay của ta thuận tiện cho việc đếm, nên loài người chúng ta đã phỏng theo đó để lắp đủ toàn bộ hệ số đếm dựa trên 10.

Như tôi đã đề cập ở chương trước, hệ sộ mà ta đang sử dụng được gọi là hệ cơ sở mười, hay hệ thập phân. Hệ số có vẻ như là sinh ra để dành cho ta nên sẽ hơi khó khi thử nghĩ đến việc tìm kiếm một sự thay thế khác. Thật ra, khi ta thấy số 10 ta không thể không nghĩ rằng con số này ám chỉ số lượng vịt sau:

Nhưng lý do duy nhất khiến số 10 ám chỉ số lượng vịt này là vì số vịt đúng bằng với số ngón tay của ta. Nếu loài người có một số lượng ngón tay khác vầy thì cách ta đếm sẽ khác đi, và 10 cũng sẽ mang một ý nghĩa khác. Cùng một số 10 có thể ám chỉ chừng này con vịt:

hay chừng này:

hoặc thậm chí chỉ cỡ này:

Khi ta đến được điểm mà 10 nghĩa chỉ là hai con vịt, khi đó ta đã sẵn sàng để tìm hiểu xem cách các công tắc, dây dẫn, bóng đèn và rơle (và mở rộng ra là máy tính) có thể biểu thị cho các con số.

Sẽ ra sao nếu loài người chỉ có bốn ngón trên mỗi bàn tay, giống như các nhân vật hoạt hình? Có lẽ chúng ta sẽ chẳng bao giờ nghĩ tới việc phát triển một hệ số dựa trên mười. Thay vào đó, ta sẽ cảm thấy bình thường, tự nhiên, hợp lý, hiển nhiên, không thể chối cãi và không thể phủ nhận tính đúng đắn của việc hệ số của chúng ta nay sẽ dựa trên tám. Ta sẽ không gọi nó là hệ thập phân. Mà sẽ gọi là hệ bát phân, hay hệ cơ sở tám.

Nếu hệ số của ta được tổ chức dựa trên tám chứ không phải mười, ta sẽ không cần đến ký tự này nữa:

Đưa nó cho các nhân vật hoạt hình và bạn sẽ nhận được câu đáp trả "Cái gì đó mày? Có ăn được không?" Và nếu bạn nghĩ về chuyện này một chút, ta cũng sẽ chẳng còn cần ký tự như thế này:

Trong hệ thập phân, không có ký tự đặc biệt nào cho mười cả, nên trong hệ bát phân cũng chẳng có ký tự đặc biệt cho tám.

Cách ta đếm trong hệ thập phân là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và 10.  Cách ta đếm trong hệ bát phân sẽ là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 và tới gì nữa? Ta hết ký tự rồi. Cái duy nhất còn có ý nghĩa là 10, và chính xác rồi đó. Trong hệ bát phân, số tiếp theo sau 7 là 10. Nhưng số 10 này không mang nghĩa là số ngón tay mà con người có. Trong hệ bát phân, 10 ám chỉ đến số ngón tay mà các nhân vật hoạt hình có.

Chúng ta có thể tiếp tục đếm tiếp bằng bàn chân bốn ngón:

Khi bạn làm việc với hệ số khác hệ thập phân, bạn có thể tránh nhầm lẫn nếu như bạn phát âm số giống 10 là một không. Tương tự, 13 được phát âm là một ba và 20 được phát âm là hai không. Để thật sự tránh việc lẫn lộn, ta có thể nói hai không cơ sở tám hay hai không bát phân.

Mặc dù ta đã dùng hết số ngón tay và chân, ta vẫn có thể đếm tiếp trong hệ bát phân. Về cơ bản là giống với hệ thập phân ngoại trừ việc ta bỏ qua mọi số có 8 hay 9 trong đó. Và tất nhiên, các con số thực tế ám chỉ tới các số lượng khác nhau:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22,
23, 24, 25, 26, 27, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 40, 41, 42, 43,
44, 45, 46, 47, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 64,
65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 100...

Số cuối cùng được đọc là một không không. Đó là số các ngón tay mà các nhân vật hoạt hình có rồi được nhân với chính nó.

Khi viết hệ thập phân và hệ bát phân, ta có thể tránh nhầm lẫn và tường tận từng số một bằng cách dùng một chữ nhỏ viết thụt xuống để chỉ việc dùng hệ số nào. Chữ MƯỜI viết thụt xuống nghĩa là hệ cơ sở 10 hay thập phân, và TÁM nghĩa là hệ cơ sở tám hay bát phân.

Thế nên, số chú lùn mà Bạch Tuyết gặp là 7MƯỜI hay 7TÁM
Số ngón tay các nhân vật hoạt hình có là 8MƯỜI hay 10TÁM
Số bản giao hưởng mà Beethoven viết là 9MƯỜI hay 11TÁM
Số ngón tay mà con người có là 10MƯỜI hay 12TÁM
Số tháng trong năm là 12MƯỜI hay 14TÁM
Số ngày của hai tuần là 14MƯỜI hay 16TÁM
Sinh nhật "ngọt ngào" (sinh nhật đánh dấu tuổi mà người con gái bắt đầu trưởng thành) được tổ chức vào tuổi 16MƯỜI hay 20TÁM
Số giờ trong ngày là 24MƯỜI hay 30TÁM
Số chữ cái trong bảng chữ cái Latin là 26MƯỜI hay 32TÁM
Số fluid ounces-fl oz (đơn vị đo thể tích chất lỏng trong hệ đo lường Anh, Mỹ, 1 fl oz = 29,57 ml) trong một quart (lít Anh) là 32MƯỜI hay 40TÁM
Số lá bài trong một bộ là 52MƯỜI hay 64TÁM
Số ô vuông trong bàn cờ vua là 64MƯỜI hay 100TÁM
Địa chỉ nổi tiếng nhất trên con đường Sunset Strip là 77MƯỜI hay 115TÁM
Số yard trong một sân bóng đá ở Mỹ là 100MƯỜI hay 144TÁM
Số lượng vận động viên nữ bắt đầu chơi tại Wimbledon là 128MƯỜI hay 200TÁM
Số dặm vuông trong Memphis là 256MƯỜI hay 400TÁM

Để ý có một ít các số bát phân tròn đẹp trong danh sách này như 100TÁM, 200TÁM và 400TÁM. Với thuật ngữ số tròn đẹp ta thường nghĩ tới một số có các số không ở cuối. Hai số không ở cuối số thập phân nghĩa là số đó là bội của 100MƯỜI, hay 10MƯỜI nhân với 10MƯỜI. Với hệ bát phân, hai số không cuối có nghĩa là số đó là một bội của 100TÁM hay 10TÁM nhân với 10TÁM (hoặc 8MƯỜI nhân 8MƯỜI, bằng 64MƯỜI).

Bạn cũng có thể nhận ra là những số bát phân tròn đẹp 100TÁM, 200TÁM và 400TÁM tương đương với các số thập phân là 64MƯỜI, 128MƯỜI và 256MƯỜI, tất cả đều là lũy thừa của hai. Điều này phải có ý nghĩa gì đó. Số 400TÁM (lấy ví dụ) là bằng 4TÁM nhân 10TÁM nhân 10TÁM, tất cả chúng đều là lũy thừa của hai. Và cứ mỗi lần ta nhân lũy thừa của hai với lũy thừa của hai ta được một lũy thừa nữa cũng của hai.

Bảng sau chỉ ra một vài lũy thừa của hai cùng với số thập phân và bát phân đại diện:

Các con số tròn đẹp ở cột bên phải là một lời gợi ý rằng các hệ chữ số  khác hệ thập phân có thể trợ giúp ta khi làm việc với mã nhị phân.

Hệ bát phân không khác hệ thập phân trong lối cấu trúc là mấy. Nó chỉ khác ở chi tiết thôi. Ví dụ, mỗi vị trí trong một số bát phân là một bội của tám:

Thế nên, một số bát phân như là 3725TÁM có thể viết tách ra là:

3725TÁM = 3000TÁM + 700TÁM + 20TÁM + 5TÁM

Có thể viết lại bằng nhiều cách. Dưới đây là một cách, dùng lũy thừa của tám ở dạng thập phân:

3725TÁM = 3 x 512MƯỜI +
7 x 64MƯỜI +
2 x 8MƯỜI +
5 x 1

Cũng tương tự như lũy thừa của tám được viết ở dạng bát phân:

3725TÁM = 3 x 1000TÁM +
7 x 100TÁM +
2 x 10TÁM +
5 x 1

Dưới đây là một cách viết khác:

3725TÁM = 3 x 8^3 +
7 x 8^2 +
2 x 8^1 +
5 x 8^0

Nếu như làm phép tính này trong hệ thập phân, bạn sẽ được 2005MƯỜI. Đó là cách bạn đổi từ số bát phân sang số thập phân.

Ta có thể cộng và nhân số bát phân tương tự như cộng và nhân số thập phân. Sự khác biệt thật sự ở đây chỉ ở việc ta dùng các bảng cộng và nhân khác cho từng con số một. Đây là bảng cộng cho các số bát phân:

Ví dụ, 5TÁM + 7TÁM = 14TÁM. Nên ta có thể cộng hai số bát phân dài hơn tương tự như cộng số thập phân:

Bắt đầu với cột bên phải, 5 cộng 3 bằng 10. Viết 0, nhớ 1. Một cộng 3 cộng 4 bằng 10. Viết 0, nhớ 1. Một cộng 1 cộng 6 bằng 10.

Tương tự, 2 lần 2 vẫn là 4 trong hệ bát phân. Nhưng 3 nhân 3 không còn là 9 nữa. Vậy thì bằng nhiêu? Thay vào đó 3 lần 3 sẽ bằng 11TÁM, tương đương với 9MƯỜI. Bạn có thể thấy toàn bộ bảng bội số bát phân ở trên cùng trang sau.

Ở đây ta có 4 x 6 bằng 30TÁM, nhưng 30TÁM lại bằng 24MƯỜI, cái mà 4 x 6 tương đương trong hệ thập phân.

Hệ bát phân là hệ số có giá trị như hệ thập phân. Thế nhưng hãy tiến xa hơn. Nãy giờ ta đã xây dựng một hệ số cho các nhân vật hoạt hình, giờ hãy xây dựng thứ gì đó thích hợp cho mấy chú tôm hùm. Tôm hùm chính xác thì không có các ngón tay, nhưng chúng có các gọng kìm ở cuối hai càng. Một hệ số thích hợp cho tôm hùm là hệ tứ phân, hay cơ sở bốn:

Việc đếm trong hệ tứ phân diễn ra như sau: 0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20,  21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 100, 101, 102, 103, 110 và cứ thế.

Tôi sẽ không tốn nhiều thời gian cho hệ tứ phân này vì chúng ta sẽ sớm tiến tới thứ khác quan trọng hơn. Nhưng lần này chúng ta có thể thấy cách mà mỗi vị trí trong một số tứ phân tương ứng với một lũy thừa của bốn:

Số tứ phân 31232 có thể được viết lại như sau:

31232BỐN = 3 x 256MƯỜI +
1 x 64MƯỜI +
2 x 16MƯỜI +
3 x 4MƯỜI +
2 x 1MƯỜI

cũng bằng với

31232BỐN = 3 x 10000BỐN +
1 x 1000BỐN +
2 x 100BỐN +
3 x 10BỐN +
2 x 1BỐN

Và nó cũng tương đương với

31232BỐN = 3 x 4^4 +
1 x 4^3 +
2 x 4^2 +
3 x 4^1 +
2 x 4^0

Nếu ta thực hiện phép tính trong hệ thập phân, ta sẽ thấy 31232BỐN bằng với 878MƯỜI.

Giờ chúng ta sẽ làm một bước nhảy vọt khác, và lần này sẽ là xa nhất. Hãy tưởng tượng rằng ta là các chú cá heo và chỉ trông cậy vào hai cái vây để đếm thôi. Đây là hệ số được biết đến là cơ sở hai, hay hệ nhị phân (từ chữ Latin là hai lần hai). Nó trông như là ta chỉ có hai con số, và chúng là 0 và 1.

Giờ, 0 và 1 không phải là gì to tát để toát mồ hôi suy nghĩ, và cần một vài bài tập để làm quen với hệ nhị phân. Vấn đề ở đây là bạn sẽ chóng  dùng hết các con số. Ví dụ, đây là cách cá heo đếm bằng vây của chúng:

Vâng, trong hệ nhị phân số kế tiếp sau 1 sẽ là 10. Thật sự sửng sốt phải  không nào, nhưng thật ra thì không đáng ngạc nhiên như vậy đâu. Dù cho ta có dùng hệ số nào đi nữa, hễ khi nào ta hết con số riêng lẻ nào thì số có hai chữ số đầu tiên luôn luôn là 10. Trong hệ nhị phân ta tính như thế này:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100,
1101, 1110, 1111, 10000, 10001,...

Những số này thoạt trông thì có vẻ lớn lắm, nhưng thực ra thì không đâu. Chính xác hơn thì nên nói các số nhị phân trở nên dài rất nhanh hơn là nói bự:

Số cái đầu mà một người có là 1MƯỜI hay 1HAI
Số vây mà cá heo có là 2MƯỜI hay 10HAI
Số teaspoons trong một tablespoon là 3MƯỜI hay 11HAI (đơn vị đo lường)
Số cạnh của hình vuông là 4MƯỜI hay 100HAI
Số ngón tay trên một bàn tay người là 5MƯỜI hay 101HAI
Số chân một con bọ có là 6MƯỜI hay 110HAI
Số ngày trong tuần là 7MƯỜI hau 111HAI
Số người viết nhạc trong một octet là 8 MƯỜI hay 1000HAI
Số hành tinh trong hệ mặt trời là (gồm cả sao Diêm Vương) là 9MƯỜI hay 1001HAI
Số gallons trong một cái mũ cao bồi là 10MƯỜI hay 1010HAI

và cứ thế.

Trong một số nhị phân có nhiều chữ số, vị trí các con số tương ứng với lũy thừa của hai:

Vậy nên bất cứ lúc nào ta có một số nhị phân là tổ hợp của 1 và theo sau đều là số 0, thì số đó chắc chắn là lũy thừa của hai. Số mũ của lũy thừa cũng bằng với số số 0 trong số nhị phân. Dưới đây là bảng mở rộng các lũy thừa của hai để chứng minh quy luật này:

Hãy cho là ta có một số nhị phân 101101011010. Nó có thể được viết lại là

101101011010HAI = 1 x 2048MƯỜI +
0 x 1024MƯỜI +
1 x 512MƯỜI +
1 x 256MƯỜI +
0 x 128MƯỜI +
1 x 64MƯỜI +
0 x 32MƯỜI +
1 x 16MƯỜI +
1 x 8MƯỜI +
0 x 4MƯỜI +
1 x 2MƯỜI +
0 x 1MƯỜI

Cũng có thể được viết theo cách này:

101101011010HAI = 1 x 2^11 +
0 x 2^10 +
1 x 2^9 +
1 x 2^8 +
0 x 2^7 +
1 x 2^6 +
0 x 2^5 +
1 x 2^4 +
1 x 2^3 +
0 x 2^2 +
1 x 2^1 +
0 x 2^0

Nếu chúng ta cộng hết các phần theo hệ thập phân, ta sẽ được 2048 + 512 + 256 + 64 + 16 + 8 + 2, bằng 2.906MƯỜI.

Để đổi từ số nhị phân sang thập phân được chính xác hơn, bạn có thể sẽ thích một phương pháp mà có sẵn khuôn mẫu như tôi đã chuẩn bị đây:

Mẫu này cho phép bạn đổi các con số lên đến tám chữ số nhị phân, và  chúng vẫn có thể dễ dàng mở rộng thêm nữa. Để sử dụng, đặt tám con số nhị phân vào 8 cái ô trên cùng, một chữ số vào một ô. Làm hết tám phép nhân và đặt các tích vào 8 ô phía dưới. Cộng hết chúng lại để được kết quả cuối cùng. Ví dụ này minh họa cho cách tìm ra số thập phân tương ứng với 10010110:

Đổi số thập phân sang nhị phân thì không được khoai cho lắm, nhưng dưới đây là một bộ khuôn cho phép bạn đổi các số thập phân từ 0 tới 255 sang nhị  phân:

Sự chuyển đổi ở đây thực ra cần tinh ý hơn so với bề ngoài đơn giản của nó, thế nên hãy cẩn thận mà làm theo hướng dẫn đấy. Đặt toàn bộ số thập phân (nhỏ hơn hoặc bằng 255) vào hộp góc trái phía trên. Chia số đó (số bị chia) cho số chia đầu tiên (128), như đã đánh dấu. Đặt thương vào ô bên dưới (ô ở phía dưới góc trái), và phần dư vào ô bên phải (ô thứ hai ở hàng trên). Số dư đầu tiên này sẽ thành số bị chia cho phép chia sau, mà số 64 sẽ là số chia. Tiếp tục làm theo phương pháp đó cho đến hết khuôn.

Ghi nhớ trong đầu là mỗi thương sẽ là 0 hoặc 1. Nếu số bị chia bé hơn số chia, thương sẽ là 0 và số dư đơn giản chuyển thành số bị chia. Nếu số bị chia lớn hơn hay bằng số chia, thương bằng 1 và số dư sẽ là hiệu giữa số bị chia và số chia. Đây là cách áp dụng với 150:

Nếu bạn muốn cộng hay nhân hai số nhị phân, có lẽ là sẽ dễ dàng khi thực hiện phép tính nhị phân hơn là đổi sang thập phân. Đây sẽ là phần mà bạn sẽ thực sự thích thú. Hãy tưởng tượng xem bạn sẽ thực hiện phép cộng nhanh như thế nào nếu như thứ duy nhất bạn cần ghi nhớ chỉ là bảng này:

Hãy dùng chính bảng đó để cộng hai số nhị phân:

Bắt đầu từ cột bên phải: 1 cộng 0 bằng 1. Cột thứ hai từ phải qua: 0 cộng 1 bằng 1. Cột thứ ba: 1 cộng 1 bằng 0, nhớ 1. Cột thứ tư, 1 (nhớ) cộng 0 cộng 0 bằng 1. Cột thứ năm: 0 cộng 1 bằng 1. Cột thứ 6: 1 cộng 1 bằng 0, nhớ 1. Cột thứ 7: 1 (nhớ) cộng 1 cộng 0 bằng 10.

Bảng phép nhân thậm chí còn đơn giản hơn bảng cộng bởi vì toàn bộ nó có thể được rút ra từ việc dùng hai quy luật đơn giản nhất của tính nhân: Nhân mọi thứ với 0 đều bằng 0, và nhân số nào với một cũng đều bằng chính nó.

Đây là phép nhân của 13MƯỜI với 11MƯỜI trong nhị phân:

Kết quả là 143MƯỜI.

Với những người hay làm việc với số nhị phân thường viết chúng với các số 0 ở đầu (đó là các số 0 nằm bên trái số 1) - ví dụ, sẽ viết 0011 hơn là chỉ 11. Điều này không làm thay đổi giá trị của số chút nào cả; chỉ để cho đẹp thôi ấy mà. Lấy ví dụ, dưới đây là mười sáu số nhị phân cùng với các số thập phân tương ứng:

Hãy nhìn vào bảng các số nhị phân này một lúc. Xem xét mỗi bốn cột dọc của các số không và một, và để ý cách mà các con số thay thế cho nhau chạy dần xuống theo cột:

•   Con số ngoài cùng bên phải so le giữa 0 và 1.

•   Con số thứ hai từ phải qua luân phiên cứ mỗi hai số 0 và hai số 1.

•   Con số tiếp theo luân phiên cứ mỗi bốn số 0 và bốn số 1.

•   Con số tiếp theo luân phiên mỗi tám số 0 và tám số 1.

Nhìn chúng rất trật tự có phải không nào?  Thật ra, bạn có thể dễ dàng viết tiếp 16 số nhị phân tiếp theo chỉ bằng việc lặp lại mười sáu số đầu tiên và thêm số 1 ở đằng trước nữa là xong:

Còn một cách nhìn nhận khác nữa: Khi bạn đếm trong hệ nhị phân, con số cuối cùng bên phải (cũng còn được gọi là con số có ý nghĩa nhỏ nhất), luân phiên thay đổi giữa 0 và 1. Cứ mỗi lần nó đổi từ 1 sang 0, con số thứ hai từ phải sang (hay số có ý nghĩa tiếp theo) cũng thay dổi, cả từ 0 tới 1 lẫn từ 1 tới 0. Vậy nên cứ mỗi lần một con số nhị phân thay đổi từ 1 sang 0, con số có ý nghĩa kế tiếp cũng thay đổi theo, cả từ 0 sang 1 hay từ 1 sang 0.

Khi ta viết các số thập phân lớn, ta dùng dấu chấm ở mỗi 3 con số để có thể dễ dàng biết ngay được con số đó mang nghĩa gì. Ví dụ, nếu bạn thấy 12000000, có thể là bạn sẽ đếm số con số, nhưng nếu bạn thấy 12.000.000 bạn sẽ biết ngay nó nghĩa là mười hai triệu.

Số nhị phân có thể dài ra rất là nhanh. Ví dụ, mười hai triệu trong nhị phân sẽ là 101101110001101100000000. Để làm cho nó dễ đọc hơn một chút, người ta tách cứ mỗi bốn con số bằng một dấu gạch, ví dụ  1011-0111-0001-1011-0000-0000 hay với khoảng trống: 1011 0111 0001 1011  0000 0000. Phần sau này của cuốn sách, ta sẽ nghiên cứu một cách chính xác hơn để diễn tả các số nhị phân.

Bằng cách giảm hệ số xuống còn nhị phân tức chỉ có 0 và 1, ta đã đi xa hết mức có thể. Ta không thể tìm hệ nào đơn giản hơn. Hơn nữa, hệ số nhị phân đã bắc một cây cầu đi qua khoảng trống giữa toán học và điện. Ở các chương trước, ta đã xem xét các công tắc, bóng đèn, dây dẫn và rơle, và mọi vật dụng này đều có thể đại diện cho các con số nhị phân 0 và 1:

Một dây dẫn có thể là một số nhị phân. Nếu có dòng điện truyền qua dây, số nhị phân là 1. Nếu không, số nhị phân sẽ là 0.

Một công tắc có thể là một số nhị phân. Nếu công tắc bật hay đóng, số nhị phân là 1. Nếu công tắc tắt hay mở, số nhị phân là 0.

Một bóng đèn có thể là một số nhị phân. Nếu bóng đèn sáng thì là 1. Nếu tối là 0.

Một rơle điện báo cũng có thể là một số nhị phân. Nếu rơle đóng, số nhị phân là 1. Nếu rơle nghỉ thì sẽ là 0.

Các số nhị phân có rất là nhiều điều để làm với máy tính.

Đâu đó khoảng năm 1948, nhà toán học người Mỹ John Wilder Tukey (sinh năm 1915) nhận thấy rằng từ binary digit thì gần như sẽ chiếm lấy một tầm quan trọng lớn hơn trong những năm tiếp sau khi máy tính càng ngày càng thịnh hành. Ông quyết định đặt một cái tên mới, ngắn hơn để thay thế năm âm tiết rề rà của binary digit. Ông đã xem xét giữa bigit và binit nhưng cuối cùng thay vào đó lại đến với một từ  ngắn, đơn giản, tao nhã và dễ thương một cách hoàn hảo, bit.