CODE: 7 - Our Ten Digits

Ý tưởng cho rằng ngôn ngữ chỉ là một dạng mã có vẻ như dễ dàng được chấp nhận. Chắc hẳn là nhiều người trong số chúng ta ít nhất một lần cũng đã thử học một ngoại ngữ nào đó ở bậc đại học, nên chúng ta sẽ sẵn lòng mà thừa nhận rằng con vật mà ta gọi là "cat" trong tiếng anh hay "mèo" trong tiếng việt cũng có thể là con gato, chat, Katze, KOIIIKa hay Kάττα.

Các con số tuy nhiên thì dường như ít biến đổi hơn dù trong các nền văn hóa khác nhau. Bất kể ngôn ngữ nào mà ta dùng để nói hay cách ta phát âm các con số có khác nhau đi nữa, thì mọi người mà ta bắt gặp trên hành tinh này đều viết chúng cùng một cách:

Đâu phải như không mà người ta gọi toán học là "ngôn ngữ của vũ trụ"!

Các con số chắc chắn là các mã trừu tượng nhất mà chúng ta hay gặp. Khi ta thấy một con số

chúng ta không cần phải liên hệ nó với thứ gì ngay. Ta có thể hình dung ra 3 quả táo hay 3 vật khác, tuy nhiên chúng ta cũng khá thoải mái mà nghiệm ra từ ngữ cảnh rằng số đó đang ám chỉ tới sinh nhật của một cậu bé, một kênh truyền hình, một điểm số khúc côn cầu hay số cốc bột mì trong công thức làm bánh. Bởi vì các chữ số của chúng ta rất trừu tượng khi bắt đầu học, nó càng khó hơn cho chúng ta để hiểu rằng số lượng quả táo

không nhất thiết phải được ký hiệu là

Toàn bộ chương này và chương sau sẽ được dùng để thuyết phục chính chúng ta là số quả táo này

có thể được biểu thị bằng cách viết

Trước hết hãy bỏ đi cái ý tưởng rằng có gì đó vốn đặc biệt về số mười. Và rằng hầu hết các nền văn minh đều đặt nền tảng số học của họ quanh số mười (hay đôi khi là năm) thì đều không có gì đáng ngạc nhiên cả. Vì ngay từ buổi sơ khai, con người đã dùng các ngón tay để đếm. Nếu giống  loài của ta trong lúc phát triển chỉ sở hữu tám hay mười hai ngón thì cách chúng ta đếm đã khác đi một chút. Không phải trùng hợp gì mà từ digit có thể ám chỉ các ngón tay hay ngón chân hay các con số cũng như từ five và fist đều có chung nguồn gốc.

Nên theo nghĩa đó, sử dụng hệ số mười, hay hệ thập phân, hệ thống số hoàn toàn là ngẫu nhiên. Thế nhưng ta lại cấp cho các con số thập phân ấy một ý nghĩa gần như là kỳ diệu và cho chúng những cái tên đặc biệt. Mười năm là một thập kỷ; mười thập kỷ là một thế kỷ; mười thế kỷ là một thiên niên kỷ. Một ngàn ngàn là một triệu; một ngàn triệu là một tỉ. Các con số này đều là lũy thừa của mười:

10^1 = 10
10^2 = 100
10^3 = 1000 (ngàn)
10^4 = 10.000
10^5 = 100.000
10^6 = 1.000.000 (triệu)
10^7 = 10.000.000
10^8 = 100.000.000
10^9 = 1.000.000.000 (tỉ)

Đa phần các nhà sử học tin rằng các con số ban đầu được phát kiến ra là để đếm các vật, như con người, tài sản, và các giao dịch trong buôn bán. Ví dụ, nếu ai đó có bốn con vịt, có thể ghi lại bằng cách vẽ ra bốn con vịt:

Sau cùng cái người mà nghề của họ là vẽ mấy con vịt ấy mới nghĩ, "Tại sao mình lại vẽ ra bốn con vịt chi cho khổ vậy? Sao mình không vẽ một con thôi rồi dùng cách gì đó để biểu thị là có bốn con, mình không biết nữa, một đường rạch thì sao ta?"

Và cũng đến một ngày có một cha nào đó có 27 con vịt, và các vết rạch khi đó trông thật nực cười:

Chả nói, "Phải có một cách gì hay hơn chứ mày", và thế là một hệ chữ số mới đã ra đời.

Trong tất cả các hệ số có sớm, chỉ các con số La mã là vẫn còn được dùng phổ biến. Bạn thấy chúng trên mặt các đồng hồ, được dùng cho ngày trên các đền và tượng, cho các trang đánh số trong sách, cho các vật phẩm trong tiệm, và - khó chịu nhất - cho các thông báo bản quyền trong phim. (Câu hỏi  "Tấm ảnh này được chụp vào năm nào?" chỉ có thể trả lời được khi có ai đó đủ nhanh để dịch MCMLIII khi phần đuôi của đoạn hậu kì đi qua.)

Hai mươi bảy con vịt trong hệ số La mã là

Ý nghĩa ở đây dễ òm: chữ X đại diện cho 10 vết rạch và chữ V đại diện cho 5 vết rạch.

Các ký hiệu số La mã còn tồn tại đến hôm nay là

Chữ  I cho một. Nó có thể xuất phát từ một vết rạch hay một ngón tay riêng lẻ. Chữ V, có lẻ là ký hiệu cho bàn tay, đại diện cho năm. Hai chữ V tạo thành một chữ X, đại diện cho mười. Chữ L là năm mươi. Chữ C xuất phát từ centum, là chữ Latin cho một trăm. D là năm trăm. Cuối cùng, M bắt nguồn từ chữ Latin mille, hay một ngàn.

Mặc dù có thể ta không đồng ý, nhưng trong một khoảng thời gian dài hệ số La mã được xem là dễ cộng và trừ, và đó là lý do tại sao chúng tồn tại rất lâu ở Châu Âu trong sổ sách kế toán. Thật ra, khi cộng hai số La mã, bạn đơn giản chỉ việc gộp tất cả các ký hiệu từ các số rồi tối giản kết quả bằng một vài quy ước: Năm chữ I thành một chữ V, hai V thành một X, năm X thành một L và cứ thế.

Nhưng để nhân và chia chữ số La mã thì khó đấy. Nhiều hệ chữ số nguyên sơ khác (như của Hi lạp cổ đại) thì tương tự cũng không đủ để tính toán các con số theo một cách tinh vi. Trong khi người Hi lạp phát triển một môn hình học phi thường mà vẫn còn được dạy nguyên sơ không đổi ở các trường đại học ngày nay, thì người Hi lạp cổ lại không được biết đến bởi môn số học của họ.

Hệ số đếm ta dùng ngày nay được biết đến là hệ Hindu-Arabic hay Indo-Arabic. Nó là của người Ấn Độ gốc nhưng được mang đến Châu Âu bởi các nhà toán học Ả rập. Có lẽ vị học giả nổi tiếng đó là nhà toán học người Ba Tư Muhammed  ibn-Musa al-Khwarizmi (từ algorithm xuất phát từ tên của ông) là người viết một cuốn đại số dùng hệ đếm Hindu khoảng năm 825 sau công  nguyên. Một bản dịch Latin có từ 1120 sau công nguyên và đã ảnh hưởng đến quá trình truyền lan trên khắp châu Âu việc dịch từ chữ số La mã sang hệ Hindu-Arabic hiện tại mà ta dùng.

Hệ số Hindu-Arabic khác với các hệ số trước nó ở ba điểm:

•   Hệ số Hindu-Arabic được cho là có tính thứ tự, có nghĩa là một con số cụ thể đại diện cho một số lượng khác nhau phụ thuộc vào vị trí mà nó được tìm thấy trong số. Nơi mà các chữ số xuất hiện trong một số có ý nghĩa như (thực tế là hơn) chính các con số ấy. Cả hai số 100 và 1.000.000 đều có một số 1 trong đó, nhưng chúng ta đều biết một triệu thì lớn hơn nhiều so với một trăm.

•   Thật ra thì tất các hệ số trước đó đều có một thứ mà hệ Hindu-Arabic không có, đó là một ký tự đặc biệt cho số mười. Trong hệ chữ số của ta, không có ký tự đặc biệt nào cho mười cả.

•   Mặt khác, thì cũng hầu như tất cả các hệ chữ số trước đều thiếu một thứ mà hệ chữ Hindu-Arabic có, và nó trở nên rất quan trọng hơn cả một ký tự đại diện cho số mười. Đó là con số không.

Vâng, số không. Không gì khác ngoài số không chính là một trong những phát minh quan trọng bậc nhất trong lịch sử số và toán học.  Nó hỗ trợ ký hiệu theo thứ tự vì nó áp dụng sự khác nhau giữa 25 với 205 và 250. Số 0 làm dễ đi nhiều phép tính toán học mà trông sẽ rất vụng về trong hệ số không có thứ tự, cụ thể là cho việc nhân và chia.

Toàn bộ cấu trúc hệ số Hindu-Arabic được tiết lộ qua cách ta phát âm chúng. Lấy số 4825 làm ví dụ. Ta nói "bốn ngàn, tám trăm, hai mươi lăm". Đó có nghĩa là

bốn ngàn
tám trăm
hai mươi và
năm.

Hay ta có thể viết các phần tử như sau:

4825 = 4000 + 80 + 20 + 5

Hay làm thêm bước nữa, ta có thể viết thành:

4825 = 4 x 1000
8 x 100 +
2 x 10 +
5 x 1

Hoặc, sử dụng lũy thừa của mười, số đó có thể viết lại là:

4825 = 4 x 10^3 +
8 x 10^2 +
2 x 10^1 +
5 x 10^0

Nên nhớ rằng bất kể số nào lũy thừa 0 đều bằng 1.

Mỗi vị trí trong một số nhiều chữ số có một ý nghĩa cụ thể, được nêu ra trong sơ đồ sau. Bảy hộp được vẽ ra dưới đây cho chúng ta đại diện mọi con số từ 0 tới 9.999.999:

Mỗi vị trí tương ứng với một số mũ của mười. Ta không cần một ký tự đặc biệt cho mười vì ta đặt số 1 trong một vị trí khác và dùng số 0 như là một chỗ thế.

Một thứ thực tế cũng đẹp đẽ nữa đó là việc các phần số hữu tỉ được viết bên phải dấu phẩy thập phân cũng theo cùng một khuôn mẫu như vậy. Số 42.705,684  là

4 x 10.000 +
2 x 1000 +
7 x 100 +
0 x 10 +
5 x 1 +
6 ÷ 10 +
8 ÷ 100 +
4 ÷ 1000

Số này cũng có thể được viết mà không có phép chia như sau:

4 x 10.000 +
2 x 1000 +
7 x 100 +
0 x 10 +
5 x 1 +
6 x 0,1 +
8 x 0,01 +
4 x 0,001

Hay dùng lũy thừa của mười sẽ được

4 x 10^4 +
2 x 10^3 +
7 x 10^2 +
0 x 10^1 +
5 x 10^0 +
6 x 10^-1 +
8 x 10^-2 +
4 x 10^-3

Để ý cách các số mũ hạ dần xuống không rồi chuyển thành số âm.

Ta đều biết rằng 3 cộng 4 thì bằng 7. Tương tự, 30 cộng 40 được 70, 300 thêm 400 là 700 và 3000 thêm 4000 được 7000. Đó chính là vẻ đẹp của hệ Hindu-Arabic. Khi bạn cộng các số thập phân bất kể dài thế nào, bạn chỉ việc làm theo một phương pháp để chia nhỏ vấn đề thành từng bước một. Các bước ấy thì không có gì phức tạp hơn là cộng các cặp số đơn lẻ. Đó là lý do vì sao cách đây rất lâu vài người bắt bạn phải nhớ bảng phép cộng này:

Tìm hai số mà bạn muốn cộng ở hàng trên cùng và cột bên trái. Nhìn theo đường dọc và ngang để tìm ra tổng. Ví dụ, 4 cộng 6 bằng 10.

Tương tự, khi bạn muốn nhân hai số thập phân, bạn làm theo phương pháp hơi phức tạp một chút nhưng cũng vẫn là chia nhỏ vấn đề để bạn không cần làm gì khác rắc rối ngoài việc cộng hay nhân các số thập phân đơn lẻ. Ở các bậc học sơ đẳng có thể còn bắt phải nhớ bảng nhân:

Điều tốt nhất về hệ thứ tự của ký hiệu không phải là việc nó hoạt động tốt thế nào, mà là nó có dùng tốt cho các hệ đếm không phải hệ thập phân không kìa. Hệ chữ số của ta không nhất thiết phải phù hợp cho tất cả mọi người. Một vấn đề lớn với hệ mười chữ số của ta là nó không có tí gì liên quan tới các nhân vật hoạt hình cả. Đa phần các nhân vật hoạt hình chỉ có bốn ngón trên mỗi bàn tay (hay chân), nên chúng sẽ thích hệ chữ số dựa trên tám hơn. Thú vị làm sao, những gì ta biết về hệ đếm mười có thể ứng dụng được cho hệ số thích hợp hơn với các nhân vật hoạt hình của chúng ta.