Ai cũng biết Lev Tolstoy là nhà văn lớn của nước Nga (1828 – 1910). Nhưng ít người biết rằng ông đồng thời cũng là tác giả của nhiều bài toán hay. Tư duy văn học hình tượng và tư duy toán học chính xác cùng hòa chung trong bộ óc của ông.
Bá tước Lev Nikolayevich Tolstoy (1828-1910) là tiểu thuyết gia người Nga, nhà triết học, người theo chủ nghĩa hoà bình, nhà cải cách giáo dục, và là một thành viên có ảnh hưởng của gia đình Tolstoy. Lev Tolstoy được yêu mến ở khắp mọi nơi. Ông đặc biệt nổi tiếng với các kiệt tác “Chiến tranh và hoà bình” và “Anna Kare- nina”, hai tác phẩm đỉnh cao của tiểu thuyết hiện thực. Chiến tranh và hoà bình được đánh giá là một trong những tiểu thuyết vĩ đại nhất của văn học thế giới.
Lev Nikolayevich Tolstoy
Lev Nikolayevich Tolstoy
Sinh thời Tolstoy rất yêu thích môn toán. Ông rất thích thú với những bài toán đố dân gian, với lối suy luận chặt chẽ của số học. Thích đến mức ông cố gắng đưa những bài toán nhỏ, vui vào truyện của mình bất cứ lúc nào có thể được, như để thỏa mãn lòng say mê toán học ấp ủ lâu ngày nay mới có dịp phô bày ra. Tư duy văn học hình tượng và tư duy toán học chính xác cùng hòa chung trong bộ óc của ông. Trong truyện nổi tiếng “Một người cần bao nhiêu ruộng đất ?", ông viết về một cảnh mua bán đất thời xưa rất độc đáo và cũng rất đau lòng. Pakhon là một cố nông rất nghèo, cần đất để canh tác. Chủ đất bán đất cho Pakhon theo phương thức: 1000 rup (ruble) cho “một ngày đất”. “Một ngày đất" là phần đất nằm trong đường biên kín do Pakhon chạy vạch ra từ lúc mặt trời mọc, cho đến khi mặt trời lặn. Vấn đề đặt ra là Pakhon chạy càng nhanh càng tốt, chạy theo một đường như thế nào để khi về đến chỗ xuất phát thì diện tích phần trong đường biên là lớn nhất. Trong truyện Tolstoy đã tả cảnh Pakhon chạy như sau:
“Anh ta cắm đầu, cắm cổ mà chạy... Áo quần ướt đẫm mồ hôi, dính chặt vào thân thể, miệng khô đắng, ngực thở dồn dập như kéo bễ, tim đập thình thịch như nhịp trống liên hồi... Pakhon dồn hết chút sức lực cuối cùng để chạy. Mặt trời cũng đã lăn sát đến đường chân trời, hoàng hôn sắp đến... Một phần mặt trời đã mất hút sau đường chân trời. Dồn hết chút sức lực cuối cùng, Pakhon hít một hơi thật căng chạy về phía đỉnh gò, nơi có chiếc mũ đánh dấu nơi xuất phát buổi sáng. Khi đã nhìn rõ chiếc mũ, đôi chân Pakhon chạm vào nhau và anh ta ngã xuống, đôi tay duỗi về phía trước, với tới chiếc mũ.
"Giỏi quá! Pakhon đã chiếm được rất nhiều đất" – Già làng kêu lên.
Một nông dân chạy đến nâng Pakhon dậy nhưng miệng anh ta ộc ra máu. Pakhon đã tắt thở,"
Căn cứ vào hành trình mà Pakhon đã thực hiện, anh ta chạy theo một hình thang vuông có chu vi là 40 versta (dặm Nga, 1 versta bằng 1,067 km ) với hai đáy lần lượt là 2 và 10 versta ; đường cao 13 versta; cạnh bên 15 versta). Diện tích đất mà Pakhon đạt được là
img_0
Bỏ qua khía cạnh khác, vấn đề ta nói ở đây là yếu tố toán học của câu chuyện: Một bài toán cực trị trong hình học, bài toán đẳng chu .
“Đẳng” là bằng nhau, là không thay đổi. “Chu” là vòng khắp, là vòng quanh, là một vòng xung quanh. Bài toán Đẳng chu là một trong các bài toán cơ bản của phép tính biến phân, có nội dung như sau: “Trong tất cả các đường cong có độ dài đã cho, tìm đường làm cho một đại lượng nào đó, là phiếm hàm của các đường, lấy giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất”.
Trong Hình học phẳng, bài toán Đẳng chu được phát biểu như sau: “Trong tất cả các hình phẳng có chu vi bằng nhau, tìm hình có diện tích lớn nhất”.
Như vậy, câu hỏi đặt ra rằng với độ dài đường chạy đó, Pakhon đã đạt được diện tích lớn nhất chưa?
Trong bộ môn hình học sơ cấp chúng ta đã biết, trong tất cả các hình lồi cùng chu vì thì hình tròn có diện tích lớn nhất. Vậy vì sao ta có thể khẳng định được diện tích hình tròn là lớn nhất ? Định lí đẳng chu đã được chứng minh sau một quá trình suy luận khá dài và phức tạp. Tuy nhiên, định lí này cũng có thể được chứng minh từ bổ đề sau đây (bổ đề này có nhiều cách chứng minh, trong đó cách chứng minh sau đây rất độc đáo vì chỉ dùng những kiến thức hết sức sơ cấp!)
Bổ đề 9 Với mọi đa giác có chu vi L và diện tích A, ta có bất đẳng thức sau
img_1
Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đối với đa giác lồi là đủ. Giả sử ABM . . . .Z là một đa giác lồi (xem hình bên dưới).
img_2
Từ đỉnh A của đa giác, ta kẻ đường thẳng AQ chia đa giác này thành hai đa giác sao cho
img_3
Gọi O là trung điểm của AQ và M là đỉnh cách xa O nhất của đa giác ABM . . . PQA. Đặt OM = R. Dựng đường tròn (O,R). Từ A và Q kẻ các đường thẳng vuông góc với OM, cắt đường tròn lần lượt tại A' và Q'.
Do tính chất của phép đối xứng, phần của hình tròn AA'MQ'QA có diện tích F bằng một nửa của diện tích hình tròn, tức là
img_4
Bắt đầu từ cạnh AB, dựng ra phía ngoài đa giác ABM...PQ một hình bình hành sao cho cạnh đối của cạnh AB tiếp xúc với đường tròn, còn cặp cạnh đối còn lại vuông góc với đường thẳng OM, tức là cùng phương với các đường thẳng AA' và QQ' . Tiếp theo, từ cạnh BM, tiếp tục dựng các hình bình hành như thế, cho đến hình bình hành cuối cùng có một cạnh là PQ.
<i>Đoạn này gõ trên word vì có nhiều kí hiệu toán học </i>
Đoạn này gõ trên word vì có nhiều kí hiệu toán học
trong đó r là bán kính của một đường tròn có chu vi bằng chu vi L của đa giác. Vì mỗi đường cong khép kín đều là giới hạn của các đa giác, khi số cạnh của đa giác dần ra vô cùng, nên bất đẳng thức được suy rộng thành nội dung của Định lí đẳng chu.
img_5
Như vậy dấu "=" xảy ra khi là diện tích của hình tròn.
Có một cách chứng minh khác của định lí đẳng chu với phương pháp thuần túy giải tích và do đó đây là cách chứng minh khá chặt chẽ khi không sử dụng những hình vẽ cụ thể và những suy luận "cảm tính" mỗi khi một đa giác nào đó được chuyển qua giới hạn để trở thành một đường cong.
Từ chứng minh trên ta đi tính diện tích hình tròn sau đây.
img_6
Ta có diện tích hình tròn xấp xỉ khoảng 127 versta vuông, hơn diện tích mà Pakhon đã chạy khoảng 127 - 78 = 49 versta vuông . Nếu Pakhon chạy bớt một chút và chạy theo đường tròn thì vẫn có lợi về sức khoẻ và về diện tích đất thu được. Tiếc thay Pakhon không có kiến thức hình học để có được kinh nghiệm này.
Nói đến Tolstoy với toán học, không thể không nói đến bài toán cắt cỏ mà ngày nay quen gọi “Bài toán cắt cỏ của Tolstoy". Bài toán thú vị vì tính “rắc rối” bề ngoài và tính “đơn giản” về thực chất nội dung toán học của nó. Bài toán có nội dung như sau:
Một đội cắt cỏ trên hai cánh đồng, cánh đồng lớn có diện tích gấp đôi cánh đồng nhỏ. Cả đội cắt cỏ ở cánh đồng lớn được nửa ngày thì nửa đội tách ra cắt cỏ ở cánh đồng nhỏ. Đến hết ngày hôm đó, cánh đồng lớn được cắt xong, cánh đồng nhỏ còn lại một phần, một người trong đội được giao cắt nốt phần đó trong cả ngày hôm sau. Tính số người của cả đội ( năng suất của mỗi người như nhau ).
Bài toán có thể giải bằng phương pháp đại số hoặc suy luận số học, phù hợp dành cho bạn học sinh các cấp giải quyết.
Nhà nghiên cứu Yuri Ooclop ở Tbilisi, thủ đô Gruzia, khi nghiên cứu các tác phẩm của các nhà văn, trong đó có Lev Tolstoy, khẳng định rằng, Lev Tolstoy đã sáng tác theo những quy luật toán học. Sau khi nghiên cứu tiểu thuyết Chiến tranh và Hòa bình (viết những năm 1863 - 1869), truyện vừa Bản sonata Kreytser (viết những năm 1887- 1889) và nhiều tác phẩm khác của Tolstoy, Ooclop đã tìm ra những quy luật toán học chi phối cấu trúc tác phẩm, bảo đảm tính hài hoà cho các phần hợp thành tác phẩm đó. Những tìm tòi của Ooclop tuy mới là một giả thiết sử dụng những quy luật toán học trong văn học, nhưng có nhiều triển vọng hứa hẹn thành công
Các bài toán của L.Tolstoy đặt ra, thật gần gũi với suy nghĩ đơn giản của những người nông dân Nga mà ông mô tả trong các tác phẩm của mình. Phải chăng chính tư duy logic của môn toán làm cho nhiều chuyện kể của ông có kết cấu chặt chẽ, mang tính triết lí sâu sắc? Và phải chăng những cảm xúc của nhà văn đã làm cho nhiều bài toán và cách giải của ông giàu tính thẩm mĩ và rất nên thơ?
Xin dẫn ra đây câu nói thú vị của Tolstoy bàn về tính khiêm tốn:
“Con người ta là một phân số mà tử số là giá trị thật, còn mẫu số là giá trị mà người ta tưởng là mình. Nếu mẫu số càng lớn thì phân số càng nhỏ. Nếu mẫu số là vô tận thì phân số bằng 0”
Thật khó mà phân biệt được đó là phát biểu của một nhà văn hay của một người nghiên cứu toán học nữa. Chất toán và chất văn đã hòa làm một trong con người Lev Tolstoy.
Đọc thêm