Trước khi vào bài, tôi xin trích dẫn một "tiên đề" trong toán học, mà bất cứ ai trong số chúng ta khi trải qua chương trình toán học cấp 2 đều đã học qua.
Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho                                                                                                                                                                                             - Euclid -

Tiên đề của Euclid về hai đường thẳng song song
Và "tiên đề" thì luôn đi kèm với một câu: "Chúng ta thừa nhận điều này, vì không thể chứng minh". Vậy tại sao chúng ta lại phải tin vào một điều mà không ai có thể chứng minh rằng nó đúng, tính đến thời điểm hiện tại?
Để trả lời cho câu hỏi đó, bài viết này bàn đến định nghĩa, các phương pháp chứng minh Logic và chứng minh rằng có một kẽ hở trong chứng minh Logic, mà các ví dụ trong đó, chúng ta vẫn gặp được hàng ngày. Đầu tiên, chúng ta đến với định nghĩa của chứng minh.

1. Chứng minh là gì? Muốn chứng minh một quan điểm chúng ta cần gì?

Nguồn Google Images
Chứng minh là hoạt động tư duy logic để chứng minh tính đúng đắn của một quan điểm.
Để chứng minh, chúng ta cần:
a) Luận đề: Vấn đề mà chúng ta đi chứng minh. Luận đề luôn phải đảm bảo tính xuyên suốt trong quá trình chứng minh, và không được phép đánh tráo luận đề (Tức là đưa ra quan điểm một đằng, chứng minh một nẻo).
VD: Facebook không hề an toàn; Tuyến xe bus BRT và tàu điện MRT là tất yếu trong công tác giảm thiểu ô nhiễm môi trường và chống kẹt xe tại đô thị Việt Nam; ...
b) Luận cứ: Những cơ sở mà dựa vào đó chúng ta chứng minh cho quan điểm đã được làm rõ tại Luận đề. Luận cứ phải thỏa mãn các điều kiện sau:
_Đã được chứng minh riêng rẽ từ trước đó. 
VD: Định lý Ferma, định luật bảo toàn động lượng...
_Không mắc các lỗi cơ bản về Logic: sử dụng bạo lực (Đe dọa, sử dụng sức mạnh), xen lẫn tình cảm, dựa vào số đông. 
VD: Hầu hết người Việt Nam đều nghĩ rằng ra trường có việc làm là rồi lập gia đình an phận là đủ, dẹp bỏ bán hàng rong trên vỉa hè sẽ giết chết hàng trăm ngàn con người cơ cực ngoài kia.
_Luận cứ phải đủ và đúng đắn. Các luận cứ đúng nhưng quá ít, không đủ để chứng minh cho Luận đề sẽ bị bác bỏ.
c) Luận chứng: Cách dẫn dắt vấn đề, trình bày Luận đề, đưa ra các Luận cứ và kết luận tính đúng sai của Luận đề. Yêu cầu phải nhất quán không lòng vòng.

2. Các phương pháp chứng minh

Mặc dù có rất nhiều phương pháp chứng minh được suy rộng ra và sử dụng, nhưng về cơ bản, chỉ có 3 phương pháp chứng minh sau đây là nguyên thủy và bao quát nhất:
a) Phương pháp chứng minh trực tiếp: Sử dụng những luận cứ đã chứng minh trước đó để trực tiếp chứng minh luận đề là đúng.
VD: các định lý toán học được chứng minh trong suốt khoảng thời gian phổ thông.
b) Phương pháp chứng minh phản chứng: Đưa ra quan điểm trái ngược hoàn toàn với Luận đề, sau đó chứng minh quan điểm này sai, suy ra Luận đề đúng.
VD: Chứng minh A=B, ta đi chứng minh A lớn hơn B hoặc A nhỏ hơn B là sai
c) Phương pháp chứng minh quy nạp: Đưa ra một trường hợp cơ sở đã được chứng minh là đúng, sau đó đưa ra nhiều trường hợp khác để suy ra một chuỗi trường hợp luôn đúng. Cách chứng minh này hay được dùng để chứng minh các trường hợp dãy số có tính liên tục vô hạn.
VD: Biết rằng các số chẵn đều có đuôi là 0,2,4,6,8. Gọi số chẵn hiện có là A, thì A+2 luôn luôn là số chẵn. Dù cho dãy số kéo dài đến bao giờ thì A+2 luôn là số chẵn.
Phương pháp chứng minh quy nạp cũng thường hay được áp dụng trong nghiên cứu về các vấn đề của xã hội, khi mà đối tượng chính của nghiên cứu là các hành vi của con người, vốn đa dạng và khó để chứng minh. Chính vì thế trong những bài nghiên cứu này, người ta thường sử dụng phương pháp Survey tìm ra số đông rồi quy nạp để chứng minh cho luận điểm của họ với một mức độ "sai số" bias theo tỉ lệ phần trăm. Số lượng người tham gia nghiên cứu càng đông thì con số tỉ lệ bias này càng giảm xuống, nhưng không bao giờ bằng 0. Vậy tức là có những trường hợp không hề xảy ra đúng với luận đề.
Tính chắc chắn của các phương pháp chứng minh giảm dần từ trên xuống dưới.

3. Kẽ hở của Logic.


Thuyết tương đối của Einstein sẽ được chứng minh sai trong thời gian sắp tới?!
Về căn bản,Logic là cách lập luận của con người, vốn là một tồn tại hữu hạn để đi chứng minh những sự vật, sự việc, hiện tượng tự nhiên, vốn là những cái vô hạn. Cũng giống như Einstein ngồi trên bàn giấy tại trái đất cố gắng chứng minh thuyết tương đối vậy. Logic do chính con người lập ra và tu bổ theo thời gian, nên có những luận cứ chưa hề được tìm ra đủ để chứng minh cho một số quan điểm. Nhưng chưa hề có một ai có thể chứng minh rằng quan điểm đó sai, nên người ta chấp nhận quan điểm đó.
Quay lại ví dụ về tiên đề Euclid về hai đường thẳng song song:
_Chứng minh trực tiếp: Không hề có một cách nào để chứng minh trực tiếp được.
_Chứng minh phản chứng: Không hề có trường hợp đối lập nào để lấy ra chứng minh được.
_Chứng minh quy nạp: Chỉ có đúng 1 đường thẳng và 1 điểm thôi. Dù có vẽ ở đâu, vẽ theo cách nào, vẽ điểm và đường thẳng gần nhau hay cách xa cả cây số thì nó vẫn chỉ là 1 đường thẳng và 1 điểm, không hề có trường hợp khác.
Vậy nên với sự "hữu hạn" hiện tại của con người, chúng ta chấp nhận những kẽ hở đó trong Logic, chấp nhận những "tiên đề" mà không thể nào chứng minh được, tính ra đến thời điểm hiện tại. Chính vì thế mà nhà triết học, toán học, logic học đoạt giải Nobel Bertrand Russell đã từng nói:

The whole problem with the world is that fools and fanatics are always so certain of themselves, and wiser people so full of doubts.  -Bertrand Russell-
Thế nên trong đầu tôi luôn tâm niệm câu nói:"Dựa vào những luận cứ đã xác minh tính đến thời điểm hiện tại, chúng ta tạm kết luận rằng Luận đề A là đúng" để khỏi trở thành một kẻ ngu xuẩn.
Còn bạn nghĩ sao?
Thinking_Out_Loud Tâm_lý_học