Dù bạn có tin hay không thì đây là một phép toán được áp dụng trong rất nhiều lĩnh vực vật lý, tiêu biểu có thể kể đến cuốn sách String Theory (Lý thuyết dây) nổi tiếng viết bởi Joe Polchiski.
Sau đây là cách chứng minh phép toán trên, sẽ chỉ tốn khoảng 3 phút tập trung của mọi người thôi ạ.
Đầu tiên, bạn cần nhìn vào 3 tổng dưới đây:
S' = 1-1+1-1+1-1+...
S"= 1-2+3-4+5-6+...
S  = 1+2+3+4+5+6+...
Như vậy, S chính là tổng mà chúng ta cần tính (nói cách khác là phải chứng minh S=-1/12). Để làm được điều này, chúng ta trước hết phải tính tổng của S' và S". Cụ thể như sau (phép nhân được mình kí hiệu bằng dấu *):
S'= 1-1+1-1+1-1+...
   = 1-(1-1+1-1+1-...)
   = 1-S' (vì phần trong ngoặc chính là tổng S')
=> 2*S'=1 =>S'=1/2
S"= 1-2+3-4+5-6+...
2*S"= 1- 2+3- 4+5- 6+... (S" lần thứ nhất)
              +1- 2+3- 4+5-6+... (S" lần thứ hai)
2*S"= 1- 1+ 1- 1+ 1-... =S'=1/2 (như chứng minh trên)
=> S"= 1/4
S-S"=1+2+3+4+5+6+...
       - (1-2+3-4+5-6+...)
       =0+4+0+8+0+12...
       =4+8+12+16+....
       =4*(1+2+3+4+....)
       =4*S (vì phần trong ngoặc chính là tổng S)
=> S-S"=4S => 3S=-S" => 3S=-1/4 => S=-1/12
Như vậy chúng ta đã chứng minh được 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12
Thực tế, bài toán này vẫn gây rất nhiều tranh cãi và bạn cũng có thể tìm hiểu một số video có thể chỉ ra những sai lầm trong cách chứng minh trên. Riêng mình thấy đây vẫn là một bài toán thú vị và thực sự ấn tượng bởi việc kết quả này được áp dụng trong ngành Vật lý.
Nguồn: Numberphile - một Youtube channel có thể khơi gợi niềm đam mê toán học ở trong bạn ;)