Thế rốt cuộc, tại sao 1+1=2 và chúng ta học Toán làm cái gì?

Hôm nọ tôi có một cuộc trò chuyện vui với đứa cháu con ông anh, mới thi đỗ vào chuyên Toán Trường chuyên Đại học Sư Phạm, cũng là nơi cấp 3 tôi học trước kia (lúc bấy giờ chưa phải là trường mà chỉ là Khối chuyên Toán-Tin thuộc ĐHSP Hà Nội). Nếu nói đến chuyên toán Sư phạm thì không thể thiếu các lớp chuyên đề, và khi nói đến các lớp chuyên đề thì không thể thiếu những "quái kiệt" chuyên luyện đội tuyển HSG thời đấy. Hình có thầy Nguyễn Minh Hà, Đại có thầy Nguyễn Minh Đức, và đặc biệt Số có thầy Hà Duy Hưng. 

- Thế cháu có học thầy Hưng ở lớp chuyên đề không?

- Có ạ  

- Thế đang học chuyên đề gì thế? 

- Chuyên đề về tập hợp chú ạ.

- Thế có được nghe về bài tại sao 1+1 = 2 không? - Tôi cười hỏi.

- Có chú ạ.

- Thế có hiểu gì không? 

- Không ạ - Cu cháu tỏ vẻ ái ngại. 

Thực ra hồi đấy chúng tôi cũng không mấy người hiểu, không, thực ra là chẳng có ai hiểu thì đúng hơn. Đến lượt cháu con ông anh thì chắc cũng phải mười lăm mười sáu thế hệ các thể loại học chuyên đề không hiểu được bài giảng đấy của thầy rồi. 

Nhưng sau cuộc trò chuyện đấy, tôi ngồi suy nghĩ tương đối nhiều về việc đấy, về việc "tại sao 1+1 = 2". Tôi cố gắng dựa vào lời của cậu cháu con anh bạn tôi để nhớ lại thầy Hưng từng dạy gì, cũng như hỏi một vài người bạn của tôi hiện tại vẫn theo đuổi ngành Toán để có được một câu trả lời thỏa đáng cho tôi. Một câu trả lời ở mức độ một người không còn đi theo Toán thuần túy như tôi có thể hiểu được, và diễn giải được cho những người có hứng thú với vấn đề này hiểu được. 

Đầu tiên phải nói rằng, 1 + 1 = 2 không phải tiên đề như nhiều người vẫn nghĩ. Trên thực tế 1 + 1 = 2 là một mệnh đề có thể chứng minh được nếu như có các điều kiện đi trước (tiên đề) quy định những khái niệm trong mệnh đề này. Vì vậy trước khi đi vào việc đấy thì ta cần tìm hiểu một vài khái niệm trước. 

"Chúa tạo ra số nguyên, tất cả những thứ còn lại là sản phẩm của con người"  - Leopold Kronecker

Để nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một hình thức đếm các sự vật tự nhiên của con người. Việc đếm này có thể xuất phát từ những quy luật trong sự quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu như sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu về quy luật đếm này thông qua ví dụ như sau:

- Một là số lượng mũi mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.

- Hai là số lượng mắt mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có. 

(Ở đây không đi sâu vào việc từ nguyên của các khái niệm mũi, mắt, mèo... mà chỉ dùng ví dụ này để giải thích cho việc quan sát tự nhiên. Các khái niệm trên đều có thể quy định theo cách khác, nhưng đấy là việc của ngôn ngữ học và xin không bàn trong bài viết này.)

Việc đếm này hoàn toàn mang tính chất định lượng, không có tính định tính. Có nghĩa là trong khi đếm, chúng ta đã mặc định rằng những vật được đếm có cùng "tính chất" như nhau. Việc quy định tính chất này, khi đặt ngoài phạm trù Toán học, thì có thể rất linh hoạt, nhưng khi đưa vào trong Toán học thì buộc phải có sự đồng nhất. Giả sử chúng ta đếm một rổ quả, thì rổ đó có thể có 5 quả cam, nhưng cũng có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh. Nếu như chúng ta quy định rằng việc đếm dành cho riêng tính chất "cam" của quả và "chanh" của quả thì chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh nhưng nếu như chúng ta quy tất cả những vật trong rổ đều cùng một tính chất "quả" thì chúng ta vẫn sẽ có 5 "quả". Trong toán học thuần túy, việc đếm được mặc định là không có các tính chất trên, hay là mặc định đồng nhất về tính chất (cho công bằng trong những trường hợp trao đổi chẳng hạn). Và để biểu thị cho việc định tính này, lịch sử loài người chứng kiến các phương thức khác nhau của các nền văn minh/dân tộc khác nhau: 

- Người Ai Cập áp dụng hệ thống chữ tượng hình của họ cho việc đếm:

- Người La Mã sử dụng hệ thống số La Mã:

- Và hệ thống số Ả-rập được sử dụng rộng rãi trong Toán học hiện đại: 

Các chữ số hiện tại chúng ta dùng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chẳng qua chỉ là một loại ký hiệu nhằm biểu thị việc đếm mà thôi. Tuy nhiên, khi nhìn ở khía cạnh Toán học thì chúng không chỉ đơn thuần là đếm nữa mà chúng trở thành đối tượng Toán học (mathemetical object). Và khi đã là đối tượng Toán học, thì ngoài chức năng đếm, chúng còn phải đảm bảo thêm hai điều: 

- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các suy diễn logic

- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh trong toán học

Có một câu hỏi là: liệu chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu khác thay cho 0, 1, 2, 3... hay không thì câu trả lời là CÓ. Tuy nhiên việc sử dụng các ký hiệu khác không có tính ứng dụng, do các quy chuẩn như quy chuẩn về ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, ngoài ra còn một điểm quan trọng nữa là chúng phục vụ tốt mục đích của chúng. 

Một trong những nhánh đầu tiên của Toán học cổ đại là Số học sơ cấp, với sự ra đời của các phép toán sơ cấp. Phép toán là những phép tính lấy đầu vào là hai hay nhiều toán hạng (hoặc phần tử) để đưa ra một ra trị đầu ra. Các phép toán của số học sơ cấp bao gồm:

- Phép cộng: Biểu hiện việc thêm vào, được ký hiệu bằng "+"

- Phép trừ: Biểu hiện việc giảm đi, và là đảo ngược của phép cộng, được ký hiệu bằng "-"

- Phép nhân: Biểu hiện việc nhân bản (scaling operation), cho phép hiển thị phép cộng nhiều toán hạng giống nhau thông qua số lượng toán hạng và ký hiệu "x"

- Phép chia: Là phép đảo ngược của phép nhân, và được ký hiệu là ":"

Vào thế kỷ thứ 19, nhà toán học Giuseppe Peano (27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932) đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và phép toán số học sơ cấp để đưa ra các định đề nhằm xác định các tính chất của số tự nhiên, gọi chung là hệ tiên đề Peano. Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề :

Định đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là một số tự nhiên:

1. 0 là một số tự nhiên

Bốn định đề tiếp theo mô tả quan hệ bằng nhau 

2. Với mỗi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau có tính phản thân (reflexive)

3. Với tất cả các số tự nhiên x và y, nếu như x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng

4. Với tất cả các số tự nhiên x, y, và z, nếu như x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu

5. Với mỗi a và b, nếu b là một số tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Với phép bằng nhau, tập hợp số tự nhiên là một hệ đóng.

(Một tập hợp đóng trong điều kiện phép toán a là khi thực hiện phép toán a lên các phần tử của tập hợp ta chỉ được kết quả là một phần tử của tập hợp đấy)

Các định đề còn lại định hình tính chất phép toán trong tập hợp số tự nhiên. Nếu coi tập hợp số tự nhiên là đóng trong điều kiện hàm tiết triển đơn trị S:

(Hàm tiết triển (successor function) là hàm cho phép đưa ra kết quả tiếp theo trong dãy , còn Hàm đơn trị (single-valued) là hàm mà qua hàm, với mỗi phần tử thuộc tập nguồn chỉ tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập đích.)

6. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) là một số tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp đóng đối với điều kiện hàm S. 

7. Với mỗi số tự nhiên m và n,  m = n khi và chỉ khi S(m) = S(n). S là một hàm đơn ánh

8. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0.

9. Nếu K là một tập hợp mà: 

Nếu như chiếu theo hệ định đề Peano, chúng ta có thể hiểu rằng, 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là sản phẩm của hàm S. Có thể hiểu như sau:

Ta có dãy N bắt đầu bằng 0. 

Phần tử tiếp theo của dãy N là sản phẩm của hàm tiết triển S đối với 0, ký hiệu là S(0). Theo quy tắc như thế, chúng ta sẽ có sản phẩm tiếp theo là S(S(0)), S(S(S(0)))... Và dãy N sẽ như thế này: 

N = 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ... 

Các phép toán trong hệ số tự nhiên bao gồm phép Cộng và Nhân, được xây dựng như sau:

a + 0 = a

a + S(b) = S(a+b)

a . 0 = 0

a . S(b) = (a . b) + a

Trước khi sử dụng hệ tiên đề Peano để chứng minh: 1 + 1 = 2, xin nói rằng đây không phải là cách duy nhất. Trên thực tế, còn có những cách khác để giải quyết vấn đề này: 

1.  Định danh/Định nghĩa: Không phải chứng minh mà sử dụng việc gán định nghĩa. Tức là 2 := 1 + 1. Ở đây ta sử dụng ký hiệu "2" để gán cho kết quả của phép biến đổi "1 + 1". Cách này sẽ trả lời cho một câu hỏi phát sinh: Tại sao " 1 + 1 " lại " = 2" chứ không phải " = 3"? Với việc gán định nghĩa này, thì bằng 3, 4, 5, hay 6 đều được, nhưng chúng không có ý nghĩa về mặt toán học. 

Lý do: Nếu như sử dụng việc định nghĩa, thì "1 + 1 = 2" gần với ngôn ngữ tự nhiên hơn là ngôn ngữ Toán học. Khi đó thì hoàn toàn có thể hiểu rằng "phép thêm vào giữa một với một cho ra một kết quả, kết quả đó được đặt tên là hai". 

Và vì như vậy, với một biến đổi khác, chúng ta lại phải lặp lại quy trình định danh/định nghĩa trên. Trong khi đó, nếu như "1", "2" , "+", "=" là các đối tượng Toán học, thì chúng còn phải có thể sử dụng để thực hiện các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học nữa. Mà để thực hiện được các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học thì chúng ta cần phải đặt ra các "điều luật cơ bản" về các yếu tố trong một hệ thống logic (Toán học là một dạng hệ thống logic). Các điều luật cơ bản này được gọi là hệ tiên đề/tiên đề. 

Chúng ta công nhận hệ tiên đề không phải vì chúng tuyệt đối đúng, mà vì chúng là những điều luật cơ bản để từ đó chúng ta phát triển được các phép biến đổi khác trong hệ thống sử dụng những điều luật này. Có thể so sánh việc này với chơi cờ vua vậy. Kỳ thủ sẽ không hỏi "Tại sao lại có luật này?" mà sẽ chỉ sử dụng các điều luật đó để đạt được những kết quả mà hệ thống luật đấy cho phép. 

Nhiều người nói rằng đây là cách chứng minh 300 trang, nhưng thực ra thì không phải. Chỉ có một phần trong cuốn sách này được dùng để chứng minh 1 + 1 = 2 thôi. Và đấy là trang này: 

Trong đó, mệnh đề " 1 + 1 = 2" được viết lại bằng ngôn ngữ logic như sau: 

Và nếu viết bằng ngôn ngữ logic hiện đại hơn chút thì sẽ thế này: 

Tôi sẽ không giải thích cách chứng minh này ở đây mà sẽ để dành cho một bài viết khác, khi tôi thực sự có thể hiểu hết những gì viết ở mấy dòng trên. 

*

Bây giờ quay trở lại với chứng minh "1 + 1 = 2" thông qua hệ tiên đề Peano. Để tóm gọn lại, với một hàm tiết triển đơn trị S, quan hệ bằng nhau và phép cộng, ta có: 

(1) Với mỗi m và n, S(m) = S(n) khi và chỉ khi m = n 

(2) Với tập hợp số tự nhiên N là tập hợp đóng dưới hàm S, với mỗi a nằm trong tập hợp N thì hoặc là a = 0, hoặc là a = S(b) với b cũng nằm trong N

(3) Không có tồn tại số n nào trong tập N mà S(n) = 0

(4) Phép cộng trong tập N được biểu diễn như sau: 

a + 0 = a

a + S(b) = S(a + b)

Nếu như coi S(0) = 1 và S(1) = 2. Chúng ta sẽ cần phải chứng minh: S(0) + S(0) = S(1)

Ta có:

Từ (4):

S(0) + S(0) = S(S(0) + 0) (5)

S(0) + 0 = S(0) (6)

Từ (1) và (5):

S(S(0) + 0) = S(S(0)) (7)

Từ (5) và (7):

S(0) + S(0) = S(S(0)) hay 1 + 1 = 2 (điều phải chứng minh)

"Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless marks on paper." - David Hilbert

"Toán học là một trò chơi dựa theo những luật lệ nhất định cùng những ký hiệu vô nghĩa trên giấy."- David Hilbert

Việc chứng minh "1 + 1 = 2" như đã trình bày là các bước hoàn chỉnh để xây dựng một hệ thống logic bằng ngôn ngữ Toán học có ý nghĩa. Việc này rất quan trọng bởi chúng biến các quan sát tự nhiên của con người (các số tự nhiên) thành một hệ thống mà ở đó chỉ có logic thuần túy làm chủ và hoàn toàn khách quan (hệ tiên đề peano). Sự khách quan này tạo ra một hệ thống hình thức (formal system) mà ở đó:

1. Người ta có các luật lệ để dựa vào đó tạo ra những kết quả khác nhau

2. Người ta có thể kiểm định khách quan những kết quả đấy

Và hệ thống hình thức đó có những yếu tố để đảm bảo cho hai điều trên, đấy là: 

1. Một tập hợp hữu hạn các ký hiệu, hay là hệ chữ alphabet, để tạo ra công thức, nên công thức là một chuỗi hữu hạn các ký hiệu từ bảng chữ cái alphabet.

2. Một loại ngữ pháp bao gồm quy tắc để tạo ra công thức dựa vào những công thức đơn giản hơn. Một công thức dạng chuẩn (well-formed) là một công thức hình thành từ việc sử dụng quy tắc của ngữ pháp hình thức (formal grammar). Sẽ có một quá trình kiểm định để đảm bảo một công thức là chuẩn hay không.

3. Một tập hợp các tiên đề, hoặc hệ tiên đề, bao gồm những công thức dạng chuẩn.

4. Một tập hợp các quy tắc suy luận. Một công thức dạng chuẩn có thể được suy luận từ các tiên đề được coi là định lý trong một hệ thống hình thức.

Khi nhìn vào đây, thì chúng ta hiểu rằng, kết quả của một nghiên cứu Toán học nói riêng và nghiên cứu Khoa học nói chung không đơn giản chỉ là kết quả. Kết quả rất quan trọng, nhưng quá trình xây dựng các hệ thống để chứng minh và kiểm định những thứ dẫn đến kết quả đấy cũng quan trọng không kém, bởi chúng cho ta biết được phương pháp luận của một nghiên cứu Toán học nói riêng và Khoa học nói chung. 

Không phải tự nhiên mà Toán học là xương sống của khoa học tự nhiên, vì Toán học là nơi mà ở đó, sự đúng sai mang tính chính xác rất cao (đôi khi là tuyệt đối) nhưng cũng đồng thời cho phép sự sáng tạo, nếu như sự sáng tạo đó tuân theo các quy tắc của một hệ thống hình thức. Sự sáng tạo trong Toán học luôn luôn là sự sáng tạo có ý nghĩa, vì cho dù thế nào đi chăng nữa, người ta sẽ luôn tìm được cách để đối chiếu và kiểm chứng sự sáng tạo đó, chứ không phải muốn làm gì thì làm. Tính chất "thuần khiết" (pure) của Toán học cũng vì thế mà phản ánh sự khách quan tách rời khỏi ngôn ngữ tự nhiên và cần phải được bảo tồn, bởi chúng khiến cho việc phát triển Toán học luôn được diễn ra theo những quy tắc sinh ra Toán học. 

Và chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng một phần cách thức suy nghĩ như vậy trong quá trình tư duy của chúng ta. Theo tôi, có một sự khác biệt lớn giữa người làm Toán và người học Toán. Định nghĩa về người làm Toán của tôi là những người sử dụng giải thuật để đưa ra kết quả và chứng minh, còn người học Toán là những người còn nghiên cứu cả về nguồn gốc và các vấn đề trừu tượng trong Toán học nữa. Chúng ta thường học Toán theo cách thức của người làm Toán, tức là chỉ học giải thuật mà không học bản chất của giải thuật (hệ thống hình thức), thế nên chúng ta cảm thấy Toán học cứng nhắc và khó chịu, không có sự sáng tạo. Nếu như thực sự học Toán theo cách thức của một người học Toán, thì chúng ta sẽ luôn có thể đặt ra những câu hỏi có ý nghĩa kể cả đối với một vấn đề tưởng chừng như đơn giản nhất. Tư duy Toán học ở mức độ trừu tượng không chỉ đơn thuần là giải thuật, mà là:

- Phát hiện được những nhân tố cơ bản

- Đưa ra được quy tắc tương tác của những nhân tố cơ bản đấy

- Xây dựng một hệ thống suy luận dựa vào những tương tác của các nhân tố cơ bản 

Và để trả lời cho câu hỏi "Tại sao lại cần học Toán" thì điều này không chỉ hữu dụng trong Toán học, mà còn hữu dụng cả trong đời sống hàng ngày nữa. Sự thiếu khách quan trong cách đánh giá của một con người thường là do họ không hiểu được sự vận hành về mặt bản chất của một sự vật hiện tượng, và họ hoàn toàn không tò mò về việc đấy. Trong khi đó sự vận hành về mặt bản chất lại đòi hỏi việc phải mày mò, tìm tòi về cách thức xây dựng nên sự vật hiện tượng đó, chỉ không chỉ đơn thuần mà kết quả của chúng đem lại cho chúng ta. Và kể cả khi chúng ta tìm ra được, thì còn phải thử nghiệm, kiểm chứng để xem những thứ chúng ta suy nghĩ có đúng hay không nữa. Cách thức suy nghĩ có hệ thống như vậy, không chỉ giúp chúng ta có thể giải quyết được vấn đề ở mức độ bản chất (không hoàn toàn vì những sự vật, hiện tượng trong xã hội đôi khi có quá nhiều yếu tố ảnh hưởng) mà còn có thể cho phép chúng ta tái tạo lại phương pháp luận của cách thức giải quyết đấy, từ đó sử dụng chúng như một con đường để đào tạo những người mà chúng ta cảm thấy phù hợp. 

Cách tư duy theo hệ thống khách quan cũng rất quan trọng trong việc xây dựng tư duy độc lập, vốn là một thứ ngày càng khuyết thiếu trong xã hội mà con người tiếp thu thông tin nhiều hơn kiến thức và coi trọng kết quả hơn quá trình. Nhưng đây là một câu chuyện dài khác, tôi xin đề cập trong bài viết tháng sau. 

Đây là một bài viết mà tôi định viết từ lâu nhưng nháp đi nháp lại không hoàn thành. Cho đến khi tôi đọc bài viết này của Gwens:

Mặc dù tôi vẫn là một người học và sử dụng Toán, nhưng vì những lý do về hoàn cảnh và quỹ thời gian mà thường phải đi tắt, mà sự đi tắt đấy đôi khi nguy hiểm vì nếu đi tắt quá nhiều, đến một lúc tôi sẽ không có khả năng tự kiểm nghiệm những kết quả mình tạo ra nữa mà chỉ có thể đi theo người khác. Đoạn sau của bài viết trên là thứ khiến cho tôi không chỉ phải nhìn lại quá trình đấy mà còn là nhân tố thúc đẩy tôi hoàn thành bài viết này: 

Cho nên, phần đầu chủ yếu là để giải thích, Tại sao hệ thống hình thức lại quan trọng như vậy trong Toán học thông qua câu chuyện 1 + 1 = 2.

Người thứ hai tôi muốn dành lời cảm ơn là thằng bạn nối khố của tôi, Tiến sỹ Toán thống kê ứng dụng Hoàng Hồng Quân, bởi vì ngoài việc tôi nhờ nó đọc kiểm lại bài này (mặc dù đến giờ đọc vẫn chưa xong nhưng tôi vẫn cứ đăng trước, đính chính sau để tranh thủ bú fame) để không bị hớ do lâu không đụng đến lý thuyết Toán thuần túy thì nó còn là một trong những người luôn cho tôi thấy được sự "thuần khiết" của Toán học thông qua cách giải quyết vấn đề liên quan đến Toán cũng như niềm yêu thích với Toán. 

Đọc thêm: