💡 Vài câu chuyện về toán học

Trong số chúng ta không ai là không biết đến toán cả. Chúng ta tập đếm từ thuở lọt lòng, chúng ta tập tính tiền để mua vài viên kẹo, hay chúng ta phải tính nghiệm phương trình để vượt qua một kì thi. Khi lớn lên, chúng ta lại bắt đầu tính về tiền sinh hoạt chi tiêu, hay to tác hơn là tính tiền lãi ngân hàng. Toán học xuất hiện trong mọi mặt của cuộc sống là thế, nhưng chúng ta có bao giờ tự hỏi liệu rằng chúng ta liệu có thể nhìn nhận toán học theo một góc nhìn khác hay không?

Chắc hẳn trong chúng ta ai cũng đã từng nghe qua câu chuyện về cậu bé chăn cừu và lời nói dối về con sói. Ở đây, chúng ta sẽ không nhắc lại việc làm của cậu bé đấy nữa, mà chúng ta sẽ đề cập đến một khía cạnh khác của câu chuyện: công việc chăn cừu của cậu bé. Công việc chăn cừu của cậu bé thật sự có yêu cầu rất đơn giản. Ban ngày cậu bé nhận đàn cừu từ chủ, dẫn chúng đi tìm thức ăn, thức uống và cuối ngày dẫn chúng về nhà. Việc khó khăn nhất của cậu bé là bảo vệ đàn cừu khỏi những con sói hung ác, đảm bảo mang đàn cừu về nhà đầy đủ số lượng. Việc đảm bảo số lượng cừu lúc đi và về thì rất dễ dàng, cậu bé chỉ cần đếm số cừu lúc nhận và lúc trả về, đảm bảo chúng bằng nhau. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu những con số điếm không tồn tại, tức là chúng ta không biết đến các con số như: 1, 2, 3...? Vậy làm sao cậu bé có thể đảm bảo số lượng cừu lúc nhận và lúc về là giống nhau?

Vào khoảng thiên niên kỉ 4 trước công nguyên, ở vùng Lưỡng Hà, người ta chưa hề biết đến sự tồn tại của các con số đếm. Để xác định số cừu đã giao cho người chăn cừu, người chủ sẽ dùng đến những que diêm, mỗi que diêm tương ứng với một con cừu trong đàn. Khi giao đàn cừu cho người chăn, người chủ giữ lại đúng số que diêm bằng với số con cừu trong đàn. Bằng cách này, người chủ có thể xác định được đầy đủ số cừu lúc được trả về. Nhưng có một điều cần xem xét, nếu trong quá trình đàn cừu rời khỏi nhà, người chủ gian lận bằng cách thêm vào vài que diêm, và khi mang đàn cừu về, người chăn cừu hoàn toàn phải bù bắp thiệt hại vì rõ ràng số cừu ít hơn số que diêm.

Họ bắt đầu nghĩ ra một cách khá thông minh, là vẽ hình con cừu lên một bản bằng gốm, cứ mỗi một con cừu được giao, thì lại vẽ một con lên bản gốm. Chúng ta có thể hình dung rằng, bản hình gốm chính là hợp đồng cam kết giữa chủ và người chăn cừu. Và cứ như thế, nếu đổi lại là bò không phải là cừu, thì họ sẽ vẽ lên bản gốm hình những con bò để theo dõi số lượng bò trong đàn. Sau này, người ta dần nhận ra rằng, việc vẽ hình cừu hay bò không quan trọng, quan trọng là có một kí hiệu để tượng trưng cho một con cừu hoặc một con bò. Biểu tượng này có thể tượng trưng cho bất kì con vật hay đồ vật nào khác, và đó chính là các con số đếm mà ta biết ngày nay.

Tam giác là một hình đa giác có ba cạnh và ba góc, vâng, tất cả chúng ta đều biết điều đó. Chúng ta đã quá quen thuộc với các định lý cũng như các nhà toán học vĩ đại liên quan đến hình tam giác. Điển hình là nhà toán học Py-ta-go và định lý py-ta-go lưu truyền muôn đời của ông. Bây giờ chúng ta sẽ không nói về nó nữa, chúng ta sẽ nói đến một điều kì diệu khác của hình tam giác. Một hình tam giác có ba góc và ba cạnh, nếu ta biết được độ dài của ba cạnh, ta có thể dựng được duy nhất một hình tam giác. Nhưng nếu ta biết được giá trị ba góc của tam giác, ta có thể dựng được vô số tam giác có 3 góc bằng nhau, và cách tam giác đó được gọi là các tam giác đồng dạng.

Các tam giác này đều có cùng giá trị của ba góc, và chúng ta có thể thu được vô số hình tùy ý bởi phóng to hoặc thu nhỏ chúng. Nhưng các nhà toán học còn phát hiện ra các đặc tính kì diệu hơn, nếu lấy độ dài cạnh dài nhất chia cho cạnh nhỏ nhất, tất cả cách tam giá sẽ cho ra cùng một con số không đổi và các tỉ lệ đó ta gọi là sin, cosin, và tan trong hình học lượng giác. Các hàm lượng giác giúp ta tính toán được độ dài các cạnh của tam giác khi ta biết số đo các góc của chúng. Điều này giúp tam giác và lượng giác trở thành bảo bối của các nhà trắc địa học.

Chúng ta hãy tưởng tượng rằng, làm thế nào để đo độ cao của một ngọn núi? Hay khoảng cách từ ngọn núi này đến ngọn núi khác? Các nhà trắc địa học đã ứng dụng tam giác và lượng giác để tính toán các khoảng cách tưởng chừng như không thể đó. Để tính được độ dài của ngọn núi, các nhà trắc địa sẽ dựng một hình tam giác vuông vó cạnh góc vuông là vách núi như hình bên dưới:

Chúng ta có thể thấy rằng, độ dài đoạn A là hoàn toàn có thể đo được. Các nhà trắc địa sẽ dựng cạnh huyền của tam giác vuông này bằng cách dùng ống nhòm nhìn về phía lá cờ trên đỉnh núi, và có thể đo được độ rộng của góc C. Vì là tam giác vuông nên ta dễ dàng suy ra giá trị của ba góc của tam giác. Áp dụng hàm lượng giác, các nhà trắc địa đã có thể tính toán ra độ cao của ngọn núi một cách ngoạn mục.

Vào thời trung cổ, có một nhà toán học sinh ra ở Pisa, Italy đã phát biểu một dãy số học chỉ bằng các con số và phép tính cộng. Dãy số đó bắt đầu từ 1 và 2, cứ số kế tiếp sẽ bằng tổng hai số trước nó. Cứ như vậy, ta lần lượt có dãy số như sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... và dãy số này dài vô tận. Thoạt nhìn, ta thấy đây chỉ là một dãy số bình thường, các con số cũng chẳng có gì đặc biệt. Nhưng bộ óc của con người thật vĩ đại, họ đã khám phá ra những nơi tồn tại của toán học vượt ra ngoài khuôn khổ của khoa học và lý thuyết, một cách ngạc nhiên thay, ta có thể tìm thấy dãy số trong tự nhiên.

Hãy bắt đầu với những bông hoa, có bao giờ bạn thắc mắc về số cánh hoa của các loài chưa? Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mai vàng có 5 cánh, hoa cải ô rô thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ thường có 13 cánh, hoa cúc tây thường có 21 cánh, ... Bạn có nhận ra điều gì đặc biệt không? Vâng, số cánh của các loài hoa kể trên vô tình lại tương ứng với các con số trong dãy số trên.

Một ví dụ khác, chúng ta sẽ nói đến một loại trái cây rất quen thuộc với chúng ta, đó là quả dứa. Nếu ta đếm các vòng xoắn ốc bao quanh quả dứa theo 3 chiều khác nhau: từ trái qua phải, từ phải qua trái, và từ trên xuống dưới thì lần lượt ta có kết quả là 8, 13, và 21. Và ta thấy rằng, ba con số này lại nằm trong dãy số phía trên.

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét một đặc tính khác của dãy số này xem sao. Ta lấy số từng cặp số, lấy số phía sau chia cho số phía trước:

Ta thấy rằng các phép chia cho ta kết quả gần bằng con số 1.6, và nếu ta tính toán với các cặp số lớn hơn: 144 / 89 = 1.61797, và với các cặp số càng lớn hơn nữa, ta có kết quả gần như không đổi và gần bằng con số 1.618034 - con số mà thế giới gọi là **tỉ lệ vàng**.

Trong tự nhiên, có một loài hoa được gọi là loài hoa tỉ lện vàng, đó là hoa hướng dương. Nhìn vào một bông hướng dương, nếu ta đếm các vòng xoắn ốc theo hai chiều: từ trái sang phải là từ phải sang trái, thì ta sẽ thu được kết quả là 21 và 34. Lấy 34 / 21 ta được con số xấp xỉ 1.618, chính vì vậy mà hoa hướng dương được gọi là loài hoa tỉ lệ vàng trong tự nhiên. Bạn có nghĩ rằng tạo hóa đã sắp đặt điều này? Hay đây chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên?

Nếu tự nhiên đã cho chúng ta thấy sự bí ẩn của tỉ lệ vàng, thì chính chúng ta, loài người đã áp dụng con số này vào kiến trúc và nghệ thuật từ rất lâu. Đền Parthenon ở Hy Lap - ngôi đền thờ thần Athena được xây dựng từ thế kỉ 5 trước công nguyên theo một tỉ lệ vàng. Vâng, bạn không nghe nhầm đâu, con người đã áp dụng tỉ lệ vàng vào kiến trúc từ thế kỉ thứ 5 trước công nguyên. Hay nói về thời hiện đại, khi phân tích logo của hãng Apple, chúng ta sẽ thấy tỉ lệ vàng và các số trong dãy số trên cũng được sử dụng để thiết kế nên logo của Apple hiện nay.

Dãy số thú vị kia được tạo nên từ những con số và một phép cộng đơn giản nhưng nó xuất hiện mọi nơi trong tự nhiên, kiến trúc, nghệ thuật, nó được gọi là dãy số Fibonacci được tạo ra bởi thiên tài toán học Leonardo Fibonacci. Thế giới đã dành ra một ngày trong năm để tưởng nhớ đến ông và vinh danh dãy số này, 23 tháng 11 hàng năm được gọi là ngày Fibonacci.

Còn tiếp...