Ở phần trước trong Toán Học Hại Não, chúng ta đưa ra 3 cách tính toán cho tổng 1-1+1-1+1-1... với 3 kết quả khác nhau là 0, 1, 1/2. kết quả 1/2 là kết quả cuối cùng và được áp dụng vào các lĩnh vực như toán học, thiên văn học, vật lý lượng tử, hóa học... tại sao ư? Vì các nhà toán học đã chứng minh được rằng tổng này có vẻ như tiến tới 1/2 và họ công nhận kết quả 1/2 cho tổng này. Cách chứng minh thì khá là dài nếu bạn nào muốn tìm hiểu thì có thể google từ khóa: Sum of 1-1+1-1... Còn ở phần này, chúng ta sẽ sử dụng kết quả đó để tìm ra đáp án cho tổng của các số nguyên dương. Spoiler: nó không bằng vô cực đâu. À nhân tiện, bạn không được phép nói 1 phép tính bất kì có kết quả BẰNG vô cực. Vô cực không phải là 1 số, nó là 1 đặc tính của toán học. bạn chỉ có thể nói: giới hạn TIẾN TỚI vô cực, Hàm số này có cực trị TẠI vô cực. phép tính 1 chia 0 KHÔNG bằng vô cực mà là phép tính này không có ý nghĩa. Bạn không thể lấy 1 số cộng, trừ, nhân, chia... với vô cực. nói 1 chia 0 bằng vô cực cũng giống như bạn đang nói 1 chia 0 bằng màu xanh vậy.

1, Tìm hiểu 1 số tổng thành phần

Ta gọi tổng cần tính là S = 1+2+3+4+5...

Ta đặt S1 = 1-1+1-1+1.... = 1/2 (như bài trước đã nói)

ta đặt S2 = 1-2+3-4+5-6+7....

với 2 tổng phụ: S1 và S2, ta có thể chứng minh tổng S bằng -1/12 nhưng trước hết ta phải tính tổng S2 đã. ok, vậy tổng S2 tính như nào? đầu tiên chúng ta copy ra 1 tổng S2 nữa và cộng chúng lại với nhau. tuy nhiên, cách chúng ta cộng thì hơi đặc biệt 1 chút.

có:                          S2 = 1-2+3-4+5-6+7....

            cộng với   S2 =     1-2+3-4+5-6+7......

chúng ta lấy phần tử đầu tiên của S2 bên dưới cộng với phần tử thứ 2 của S2 bên trên. nghĩa là dịch lệch đi 1 phần tử và chúng ta có tổng của 2 S2 = 1 + (-2+1) + (3-2) + (-4+3).....

                                                                               <=>2 S2= 1 +    (-1)   +    1    +   (-1).....

                             thực hiện phá ngoặc, ta có:        2 S2= 1 -1 + 1 - 1 + 1 - 1.....

vậy hiện tại vế bên phải đã trở thành dạng tổng S1 => 2 S2 = S1 = 1/2 <=> S2 = 1/4

nếu bạn chưa tin, hãy thử với 1 tổng đơn giản hơn như là: S3 = 1-2+3-4. tổng này có giá trị là -2 đúng không? hãy thử tính nó bằng cách ta tính tổng S2 nhé. lấy S3 + S3 và dịch chuyển các phần tử qua 1:            2 S3 = 1 + (-2+1) + (3-2) + (-4+3) + (-4)

                            2 S3 = 1 - 1 + 1 - 1 - 4

                            2 S3 = -4 => S3 = -2 (khớp với kết quả ban đầu) 

vậy phép cách chúng ta tính tổng S2 hoàn toàn không có lỗi và tổng S2 thực sự bằng 1/4

2, Bắt tay vào tính tổng của các số nguyên dương nào.

Ở phần trên chúng ta đã có S2 = 1/4, bây giờ chúng ta sẽ tính S.

Đầu tiên, ta lấy S trừ đi S2 (thực hiện trừ từng phần tử của 2 tổng cho nhau như phần trên nhưng không dịch chuyển phần tử)

                                            S - S2 = 1+2+3+4+5+6....

                                                       - (1-2+3-4+5-6....)


                                           S - S2 = (1-1) + (2-(-2)) + (3-3) + (4-(-4)) + (5-5) + (6-(-6))....

                                                      =    0    +      4      +    0    +     8       +    0    +    12  ....

                                                      = 4 + 8 + 12 + 16 + 20....

Với việc lấy tổng S trừ đi tổng S2, chúng ta được tổng mới gồm các phần tử là bội số của 4. chúng ta rút 4 ra và đặt ra ngoài ngoặc, hiệu của S trừ đi S2 có dạng:       4(1+2+3+4+5+6...)

Để ý vế trong ngoặc bây giờ đã trở thành tổng S vậy phương trình trở thành:

                    S - S2 = 4(S)

        <=>     -3S = S2 = 1/4

        <=>     S = -1/12

Kết quả của S = -1/12 đã được sử dụng rất rộng rãi và nó còn đặt nền móng cho 1 lý thuyết vật lý mới đang đi lên: String theory với hi vọng thống nhất cả Cơ học lượng tử và thuyết tương đối lại với nhau. ngoài cách chứng minh này ra, tổng S = -1/12 còn 1 cách khác nhưng nó thực sự rất dài và khó giải thích cũng như trình bày cho các bạn hiểu nên tôi tạm thời dừng nó ở đây. chúc các bạn hại não vui vẻ.