Rốt cục đạo hàm là cái quái gì?

Link bài gốc WordPress của mình: đây và đây.

Mình từ nhỏ đã thích Toán, thích tìm hiểu về Toán học, về các khái niệm và những con số (chính xác cụm "từ nhỏ" này là từ thời học bảng cửu chương chứ không phải thiên tài bẩm sinh gì). Khi tiếp xúc với khái niệm mới toanh, mình luôn dành ra nửa tiếng để hiểu và mở rộng thêm từ chúng những ý nghĩa sâu xa hơn. Điển hình nhất là cái "hằng đẳng thức đáng nhớ" gây ám ảnh bao thế hệ học sinh ấy. Hồi đó giáo viên cũng vứt cho 7, 8 cái hằng về nhà học, rồi mai lên trả bài. Sợ lắm.

Giáo viên dọa học vầy thôi chứ chẳng đứa nào nhớ rõ. Mai vô đứa nào cũng ấp úng mấy câu cà lăm như "a...aaa + b... bbbằng..." như đi khám răng miệng. Riêng mình thì cứ nhớ nhớ quên quên, lúc tự nhủ nên đặt dấu nhân vào đó lại nhầm sang dấu cộng. Cô giáo lúc đó nhìn mặt rất chán nản, bảo "ôi thôi tui thua mấy đứa rồi, học kiểu này chắc chớt". Mình nghe mà tức lắm. Không lẽ chịu thua, để cho Toán nó hả hê bốp bốp mấy cái vào mặt vầy sao.

Không được.

Tối đến. Giấy, viết, mực sẵn sàng. Chiến!!!

Bắt đầu từ cái số 1) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (huhu không biết chỗ ghi công thức ở đâu hết :(()

Đối với cái đầu trong sáng của một học sinh lớp 8, mình tổng kết vấn đề lại thành một câu hỏi: "Từ đâu, thứ thần kì nào đã giải phóng hai vị anh hùng a và b khỏi cái ách thống trị của hai cái ngoặc tròn vo để tạo thành thằng nhóc 2ab oái oăm kia?"

Như thói quen, mình giải theo từ trái sang phải, tức là sẽ bắt đầu từ vế trái của biểu thức. Đội mũ hai nghĩa là cả 2 cái ngoặc nhân lại với nhau, tức là (a+b)(a+b). Tiếp đến mình phá tung bức tường ngoặc đá bằng kiến thức lớp dưới, để rồi vế trái chỉ còn: a^2 +ab+ab+b^2. Đến đây thì mình hí hửng lắm, vì chỉ còn việc nhập hai thằng ab lại làm một: 2ab, là xong. Vấn đề đã được giải quyết! Hooray.

"Sao cô không giải thích theo kiểu này nhỉ? Dễ phết".

Với một quá trình tương tự, mình đã lập nên chiến công vang dội ở những cái tiếp theo, tiếp theo, và cuối cùng.

Ngày mai lên lớp, mình đã thuộc làu bảng hằng đẳng thức đáng nhớ ấy, và nhận được những con mắt trầm trồ và tràng vỗ tay tán thường (thực ra chỉ có trong tưởng tượng thôi vì những đứa khác đang vội vã học vì sợ sắp tới mình lên trả bài). Mình về chỗ, tinh thần sảng khoái yomost, cùng nụ cười trên môi trong không khí u ám của lớp học.

Mình vượt qua chương trình Toán cấp 2, cũng như Toán 10 và nửa đầu 11 như thế đấy. Dễ như bỡn.

Rối mình gặp kẻ thù mới. Trong làn bụi mù của miền viễn Tây xa xôi, Phát đã nhìn thấy con người ấy. Thoắt ẩn thoắt hiện trong làn khói trắng xóa, với cây súng lăm lăm trong tay có thể phát nổ bất cứ lúc nào, bóng hình tên tội phạm khét tiếng với mã hiệu LAN11 - Đạo hàm - hiện lên với thân hình khổng lồ. Một mình hắn thôi cũng đủ sức đè bẹp ngôi trường thân thương cùng hàng nghìn học sinh.

Hiệp 1, hắn có sự hỗ trợ đắc lực từ đồng nghiệp (mình không dùng từ đồng bọn đâu nhé), cô Toán lớp 11 (mình xin không xưng tên). Hai người kết hợp với nhau đã xả hàng trăm viên đạn công thức vào tụi mình, khiến đứa nào đứa nấy cũng lăn ra ngủ. Uy lực khủng khiếp đến kinh người. Chưa bao giờ học sinh lại đối diện với một tình huống éo le hơn cả chị Dậu như thế.

Câu chuyện rất thú dị phải không? Tuy chỉ là một chuyện tiếu lâm gây cười (ít nhất do mình nghĩ vậy), nhưng đó thật sự là những gì đã xảy đến với mình năm lớp 11. Hai từ đúng nhất cho cảm giác lúc ấy của mình là: KHÓ CHỊU. Phải đấy. Mình chẳng hiểu cái cóc khô gì cả. Bài tập thì nào cho hàm số rồi kêu lấy đạo hàm, trong khi mình chẳng biết đạo hàm là cái mô tê gì cả. Đạo hàm là cái chi, là cái chi?

Và hôm nay chúng ta sẽ bắt tay vô giải thích tên Đạo Hàm này.

Kiến thức Toán lớp 7 đã đưa chúng ta đến với khái niệm hàm số. Hàm số thực ra chỉ là biểu thức biểu diễn sự phụ thuộc của y theo x, tức là hễ x thay đổi thì y thay đổi, ta kí hiệu y=f(x).

Ví dụ: y=f(x)=x+2: ở đây nếu ta cho x=2 thì lập tức y trở thành 2+2=4.

Kiến thức lớp 7 chỉ cho ta biết cách tìm y với một số x bất kì. Điều này đưa đến một vấn đề: nếu x càng tăng thì y sẽ như thế nào? Cụ thể là: nếu x ta cho bằng 1,2,3,... thì liệu y có tăng hay giảm liên tục hay không, hay nó sẽ chuyển hướng tại một giá trị x nào đó? Chính vì vậy ta có khái niệm biến thiên.

Để việc hiểu đạo hàm trở nên dễ dàng hơn, hãy nhớ một điều thế này: bất kì thứ gì biến thiên (tăng hay giảm) thì cũng có đạo hàm.

Mình có đọc trên tuoitre.vn bài viết: Những 'bí ẩn' trong toán phổ thông: đạo hàm để làm gì?, thầy giáo Ngô Minh Đức có một câu rất hay: "Một năm sau ngày ra trường, bạn đi họp lớp và gặp lại đứa bạn ngồi cùng bàn. Quá bất ngờ vì cô bạn trở nên xinh đẹp, tự tin, khiến bạn phải thốt lên: 'Mới có một năm, sao bạn thay đổi nhiều quá dzậy?' Câu chuyện đơn giản trên đã ẩn chứa ý tưởng đạo hàm trong đó."

Mình sẽ giải quyết bài toán này. Ở đây mình gọi biến x là thời gian t (tháng), và y là mức độ đẹp (d) của cô bạn í, và hàm số được biểu diễn thế này: d=f(t). (Và thời gian t sẽ chạy trong khoảng [1;12] (tháng)).

Giả sử bạn là một người y như trong câu chuyện trên: tròn một năm sau mới gặp lại cô bạn gái ấy lần đầu tiên, sẽ như thế nào? Trong đồ thị thì bây giờ (t=0), bạn gái ấy có mức độ đẹp là -5 (mình xin lỗi bạn), thì sau 1 năm (t=12), mức đẹp của bạn í là 4. Nhưng có hai vấn đề! Thứ nhất là bạn không hề biết liệu mình đã được chiêm ngưỡng phiên bản đẹp nhất của bạn ấy hay chưa. Thứ hai, bạn ấy cứ đẹp lên dần đều à, vì chắc chắn ai cũng phải xấu đi một xíu ở một thời điểm nào chứ.

Để giải quyết hai vấn đề kể trên, ta chia thời gian ra nhỏ hơn, ví dụ cứ 1 quý (3 tháng) ta lại gặp bạn gái ấy một lần. Với quá trình "thống kê" tương tự, hai vấn đề ấy vẫn phát sinh!

Bạn sẽ nghĩ đến chuyện chia 12 tháng ra làm 12 phần, và khi bạn nhìn vào đồ thị và so sánh với những phép kiểm nghiệm trước, bạn nghĩ bạn đã tìm ra lời giải. Nhưng không, Toán học sẽ vả vào mặt bạn thêm một vấn đề mới: giữa một tháng bất kì và tháng kế tiếp, sao bạn có thể nhìn đồ thị mà nói rằng tháng này bạn ấy đẹp (hay xấu) nhanh hơn tháng kia cho được?

Vấn đề tưởng chừng đơn giản mà rất khó khăn này đưa đẩy chúng ta, nhân loại, đến với những khái niệm sơ khai nhất của môn khoa học trừu tượng: Giải tích. Ở đó, đạo hàm đóng vai trò tối quan trọng, là gốc rễ của mọi vấn đề trong Giải tích.

Xét lại bài toán trên. Những thất bại cay đắng khiến các bạn nghĩ đến chân lí: chia nhỏ thời gian ra vô hạn phần. Nhưng làm cách nào?

Quay trở lại với những lần thử thất bại trước, mà cụ thể ở đây là khi các bạn chia thời gian làm 12 phần (mỗi phần tương đương 1 tháng). Từ nhanh hay chậm sẽ làm các bạn nghĩ ngay đến khái niệm vận tốc. Trong toán học, vận tốc chẳng qua là tốc độ thay đổi của y so với x (sau đây mình sẽ dùng từ tốc độ). Vậy với vấn đề nan giải này thì tốc độ có ý nghĩa như thế nào? Là vầy: lượng y (xinh đẹp) tăng (hay giảm) trong 1 phần (1 tháng).

Ví dụ: tốc độ y từ tháng 4 đến tháng 5:

Từ tháng 4 đến tháng 5 cô ấy tăng 5 đẹp, tức tốc độ là 5 (đẹp/tháng). Tuy nhiên ở trên mình đã chứng minh, rằng chia thời gian lớn như vậy thì phép đo biến thiên sẽ cực kì thiếu chính xác. Cần chia thời gian ra thành vô hạn lượng! Nếu ta chia thời gian ra càng nhiều lượng thì thời gian trong mỗi lượng sẽ giảm, và khi số lượng là vô hạn thì thời gian bằng không!! Ý nghĩa của điều này là Δt trong công thức tốc độ sẽ tiến về 0, và vì nó nằm ở mẫu nên ta chỉ được phép sử dụng công thức giới hạn (lim).

Cuối cùng, ta có định nghĩa về đạo hàm như trong SGK lớp 11 (Nhìn 'đẹp' chưa kìa):

Định nghĩa đạo hàm: Bất kì thứ gì tăng hay giảm thì cũng có đạo hàm.