Mình là một người kém về môn Toán, trong suốt thời gian đi học mình luôn luôn sợ, ghét và có thành tích bết bát ở môn này (điểm thi Đại học mình chưa được 5 điểm mặc dù tập trung ôn thi duy nhất một khối A). Nhưng Toán thì nó cứ ám ảnh mình tới tận bây giờ vì việc học hành không thể thoát khỏi nó. Gần đây mình có việc dùng tới và xem lại một chút kiến thức về Xác suất-Thống kê và thật may mắn khi một công thức “xấu xí” và một đường cong hình chuông nhàm chán (Hình 1) lại mang cho mình một ý tưởng đáng suy nghĩ về cuộc sống (không phải về toán học :))). Phải chăng đường cong hình chuông nhàm chán kia là thứ mô tả chính xác cộc đời nhàm chán của chúng ta?

Tìm hiểu về lịch sử của Phân phối chuẩn cũng thật là thú vị, người đặt nền móng cho phân phối này được cho là nhà toán học người pháp Abraham de Moivre (1667-1754). Ông đã tìm ra một phân bố hình chuông (normal curve) khi mà ông nghiên cứu phân phối xác suất của việc tung đồng xu để tư vấn cho những người chơi cờ bạc một cách khoa học. Thật may là ông không chỉ dùng quy luật ôngtìm ra để tư vấn cờ bạc, ông đã công bố kết quả của mình trong nghiên cứu: Notes on the Doctrine of Chances năm 1978 [1]. Sau đó một ông mà chúng ta chắc đều quen tên là nhà toán học Laplace (cũng người Pháp) đã mở rộng và khái quát hóa ý tưởng trên thành định lý giới hạn trung tâm trong cuốn sách Théorie analytique des probabilités [2]. Tiếp theo, người mà đã được đặt tên cho Phân phối chuẩn-Phân phối Gauss là nhà khoa học người Đức Carl Friedrich Gauss, ông đã hoàn thiện và ứng dụng ý tưởng trên cho việc nghiên cứu về sai số của các quan sát thiên văn của mình [3].

Mình sẽ cố giải thích lại về Phân phối chuẩn theo kiểu thường thức. Trong Hình 1, trục y thể hiện tần suất xuất hiện của một giá trị trên trục x (trục x thể hiện cái mà chúng ta quan tâm ví dụ trong trường hợp này mình để là mức độ “hạnh phúc”), đường cong hình chuông thể hiện tần suất của giá trị cụ thể của hiện tượng x. Từ giá trị bất kỳ ở trục x chiếu lên đường cong sau đó chiếu sang trục y giúp cho ta biết được giá trị đó có tần suất xảy ra cao hay thấp. Chúng ta thấy đường cong cao nhất ở giữa và thấp dần về 2 phía có nghĩa là tần suất xảy ra những giá trị thấp và cao là ít hơn, chủ yếu những giá trị trung bình ở giữa là có tần suất xảy ra cao nhất. Đường cong trên được khái quát hóa thành hàm mật độ xác suất, chúng ta có thể hiểu một cách đơn giản là những giá trị ở trục x mà tương ứng với những điểm cao nhất của đường cong thì có xác suất xuất hiện cao nhất và giảm dần sang hai bên. Chúng ta sẽ có 2 bên của hình chuông đối xứng nhau và phần diện tích ở trung tâm của đường cong được tô màu xanh (Hình 1) thể hiện phần có xác suất xảy ra cao nhất.

Quay lại ví dụ của Hình 1, đó là phân phối của sự hạnh phúc mà mình đã tự cho nó là chuẩn bởi những quan sát của mình rút ra trong cuộc sống (tất nhiên là mình chưa thể và có lẽ không thể chứng minh một cách khoa học). Mình suy nghĩ thế này, phân phối của “hạnh phúc” (trục x) có thể được thống kê theo 2 khía cạnh.

Thứ nhất là thống kê theo số lượng người. Chúng ta đi hỏi (ví dụ 1000 người) rằng bạn có hạnh phúc không?, hãy chọn 1 trong 5 cấp độ sau: Bất hạnh/ Hơi bất hạnh/ Bình thường/ Hơi hạnh phúc/ Rất hạnh phúc. Kết quả theo Phân phối chuẩn sẽ là số người trả lời là  Bất hạnh và Rất hạnh phúc là ít nhất và tương đương nhau, số lượng người trả lời là Hơi bất hạnh và Hơi hạnh phúc sẽ nhiều hơn và bằng nhau, và số lượng người trả lời là Bình thường là nhiều nhất. Nếu chúng ta hỏi một người bất kỳ câu hỏi trên thì xác suất cao là họ nằm trong số người cảm thấy Bình thường. Hay chúng ta tự hỏi bản thân rằng mức độ hạnh phúc của ta là gì có phải là ở mức Bình thường và ta đang đi tìm kiếm hạnh phúc không? Và nếu câu trả lời là Bình thường thì chúc mừng bạn chúng ta đang nằm trong số đông và điều đó là “bình thường”. Bạn cũng không nhất thiết phải nghe theo những người động viên thúc giục bạn đi tìm kiếm Hạnh phúc hay bạn phải Hạnh phúc bởi vì nếu Hạnh phúc thì bạn sẽ nằm trong số ít (bất thường) và trên con đường bạn đi tìm Hạnh phúc đó biết đâu bạn lại rơi xuống nhóm Bất hạnh thì sao? hãy chỉ làm điều đó khi mà bản thân bạn mong muốn.

Thứ hai là thống kê theo thời gian trong cuộc đời của một người, đây cũng là cái làm mình suy nghĩ nhiều nhất. Trong toàn bộ thời gian sống của một người chúng ta có thể thấy rõ ràng rằng đôi lúc chúng ta sẽ buồn, gặp phải bất hạnh, khi khác ta lại thấy yêu đời vui vẻ và hạnh phúc nhưng có lẽ chúng đều ngắn ngủi như nhau Những điều đó có thể kéo dài trong 1 ngày, một tháng, vài tháng hay vài năm nhưng nếu đem so với cả một đời người thì nó cũng chỉ là hai đầu của phân phối hình chuông mà mình vẽ ở trên mà thôi. Vậy phần thời gian còn lại là gì? chẳng phải là những lúc bình thường hay sao. Mình thấy rằng phần lớn cuộc đời của chúng ta sẽ trải qua là bình thường và có phần nhàm chán, thỉnh thoảng đan xen chút vui buồn. Như vậy mục tiêu mà chúng ta cần tập trung để đối phó là khoảng thời gian bình thường có phần nhàm chán kia. Để có một cuộc sống “tốt” chắc hẳn chúng ta phải có khả năng chịu được sự bình thường này nhưng có lẽ càng ngày nó càng khó. Nỗi đau, bất hạnh được mang ra tiếp thị quá đà, cùng với đó hạnh phúc, thành công cũng được buôn bán, dạy dỗ sôi động không kém làm cho chúng ta sẽ có lúc thấy mình không bình thường khi mà không hạnh phúc, chưathành công cũng không đau khổ gì cả, tự nhiên ta lại rơi vào một trạng thái trống rỗng nào đó.

Nếu chúng ta đưa Phân phối chuẩn vào một số góc cạnh khác của cuộc sống chúng ta có thể thấy thêm những gì? Khi đi xe máy, tốc độ chúng ta hay sử dụng nhất có lẽ trong khoảng từ 30-50 km/h thỉnh thoảng ta đi 10km/h để ngắm cảnh, đôi khi phóng 70 80 km/h tới nhà người yêu. Trong tình yêu những lúc hạnh phúc hay khổ đau là không nhiều so với những lúc bình thường chúng ta có nên cường điệu hóa những điều đó hay không? Một cuốn sách hay khi có vài trang ấn tượng được làm nền bởi những trang sách dẫn dắt, giải thích bình thường khác. Những nhà văn, nhà thơ, nhà soạn nhạc, họa sĩ lớn… họ chỉ có vài khoảnh khắc được vinh danh hay trình diễn trên sân khấu, còn phần lớn thời gian họ vùi mình trong phòng với những trang giấy, phím đàn chả có gì thú vị. Ngày hôm qua chúng ta có bữa tiệc vui quá trời, hôm nay tự nhiên hụt hẫng và buồn quá nhưng 10 ngày tới đây là những ngày quay lại đi học đi làm như thói quen cũ. Càng nghĩ chúng ta sẽ càng thấy sự bình thường là điểm làm chuẩn của tạo hóa, những gì có tính chất cực trị (lớn-nhỏ, cao-thấp, nhiều-ít…) đều có xu hướng tiến tới điểm ở giữa. Có lẽ dù ta có giàu có hay giỏi giang tới mức nào thì khi mà thống kê trên diện rộng chúng ta cũng chỉ là một điểm nhỏ trong phần trung bình của một Phân phối chuẩn mà thôi. Chúng ta sống nhất định phải học hỏi và rèn luyện để có khả năng chịu đựng sự bình thường này. Vậy bạn sẽ hỏi mình là đằng nào cũng là trung bình thì tôi sống vì cái gì, phấn đấu làm gì? Thực sự thì mình cũng đang đi tìm câu trả lời nhưng mình đã nhìn thấy cái gì đó rằng trong đồ thị của Phân phối chuẩn kia chúng ta có 2 nửa phải chăng cũng là bình thường nhưng chúng ta phấn đấu để nằm về nửa bên phải của đường trung bình có nghĩa là chúng ta phấn đấu để tăng một chút xác suất cho sự tốt đẹp hơn, hạnh phúc hơn (để tăng xác suất cho sự tích cực hơn chúng ta có cách tiếp cận khá hay dựa theo tư duy “cập nhật hóa thông tin” của lý thuyết Bayes, có thể mình sẽ viết ở bài sau).

Như vậy sự “bình thường” chiếm trọn cuộc đời chúng ta, cuộc đời xấu xí và phức tạp như phương trình mô tả Phân phối chuẩn nhưng nó lại vẽ cho chúng ta một đường cong rất cân, rất đẹp và khúc đẹp nhất là khúc cong mềm mại trên đỉnh của đồ thị như muốn nói rằng cuộc đời đẹp nhất khi ta tận hưởng được sự bình thường.

References

1. Peirce, C.S.J.D., Notes on the doctrine of chances. 1978: p. 237-245.

2. marquis de Laplace, P.S., Théorie analytique des probabilités. Vol. 7. 1820: Courcier.

3. Forbes, E.G., The astronomical work of Carl Friedrich Gauss (1777–1855). Historia Mathematica, 1978. 5(2): p. 167-181.